Si / (,r) = sinj:, et ç [x] ==cosj:, on a ïn
r«) (a.) = sin (^ + î|), :p'«) {x) = ces (x + ^)>
et par suite
/^«) (^o) = sm ~7 <p^'*J (o) = cos ^'
La formule (14), quand on adopte pour le reste la forme due à Lagrange, donne donc
s.n^= --3-, -l--,-...+-,sm- + ^-^j^pjyy8m(^6..+ ^- . j, (21 )
Dans chacune de ces formules, le reste esl moindre on valeur absolue que
il tend donc vers zéro (n"" 146), quand n croil imléfinimciit, pour toute valeur déterminée de x, et i*on a, jïur saiW, pour les développements de sin j:- et de cosr, les séries convergentes
X X' , X" ,-rt
sin.rz=-^ + g^- ... (23,
Remarques
155. On peut affirmer que la formule de Taylor (1) est applicable toutes les fois que la fonction considérée/' (5)
CALCUL LNFLMTéSIMAL. H
est telle que toutes ses dérivées successives soient continues dans l'intervalle (a, x) et restent, dans cet intervalle, moindres en valeur absolue qu'un nombre positif donné quelconque A. En effet, le reste (8) est alors moindre que
(x — af
ni
et par suite (n° 146) tend vers zéro quand n croit indéfiniment. La même observation a lieu pour la formule de Maclaurin (17).
Nous aurions pu, en profitant de cette proposition, quiest évidemment applicable à e'^ sins, cos2, éviter le calcul du reste pour établir les formules (19), (23) et (24). Mais il ne faudrait pas se faire illusion sur la portée de la susdite proposition ; elle ne trouve guerre d'application en dehors des trois fonctions précédentes, et d'ailleurs, môme dans ce cas, la connaissance du reste est utile pour un grand nombre de
recherches.
1 56. On doit bien se garder de croire que les formules (1) j
et (17) de Taylor et de Maclaurin soient applicables dès que i
les seconds membres sont des séries convergentes. Ces I
séries pourraient avoir une somme autre que/(.r). Si Ion se reporte, en effet, aux formules (10) et (li), on voit que R dépend à la fois de x et de n, et il peut se faire que, pour n infini, ce reste ait une limite F(x), différente de zéro; alors les séries en question ont évidemment pour somme non plus / (.r), mais la différence f {x) — F (.r).
Ainsi l'exactitude des formules (1) et (17) ne peut être établie que par la considération du terme complémentaire R. Toutefois, comme ce reste R ne peut ôtre nul sans que les séries de Taylor et de Maclaurin soient convergentes (vu qu'une série divergente ne représente aucune fonction), il y a tout intérêt à chercher d'abord entre quelles limites ces séries sont convergentes afin de n'avoir à discuter ce reste que pour les valeurs de x comprise entre ces limites. C'est de la sorte que nous procéderons dans les exemples suivants.
Développement de (1 + x)'"
157. Lorsque Texposant m est un nombre enli» t »! positif, le développement de (1 -(- x)"" se compose liin nombre de termes limité; c'est la formule du binâmr i[iu« Ton démontre en algèbre élémentaire.
Nous laisserons ici m quelconque, et nous supposerons in outre a: > — 1 ; la fonction
aura de la sorte un sens bien net, vu que à chaque viiliin' de X répondra alors pour /(j?) une seule valeur réélit* ('l positive.
En prenant les dérivées successives de (1 +^)'", on Iri^nvr sans aucune difficulté
/•»'«) (x) = w (w — 1) ... {;ûi — n + 1) (i -f .7-)'«-",
et par suite,
/•(«) (o) = m (m — 1) ... (m — n + 1). La formule (14) devient donc ici
le reste R ayant pour expression, si Ton adopte la Un^m^^ due à Cauchy,
Or, si Ton considère la série
on voit que le rapport d'un terme au procèdent a pour expression
et par suite a pour limite — x lorsque n croit indéfiniment; la série (27) est donc divergente si x est, en valeur absolue, supérieure à 1, et il suffit d'étudier le reste (26) dans l'intervalle ( — 1, -f- 1) ; nous exclurons même les valeurs extrêmes — 1 et + 1, nous réservant d'étudier plus tard le cas oixx = ±i 1 .
Le reste (26) est un produit de trois facteurs : Dans notre hypothèse | .r | < l, le premier facteur a pour limite zéro (n° 14(V, le second a une valeur absolue au plus é^ale à 1, et le dernier est inférieur au nombre fixe (l -]-«>'')'""*• L.^ reste tend donc vers zéro, et Ton a pour toute valeur de j: comprise entre — 1 et + 1
