Considérons la fonction

fix) — logfi + *'^).

qui (n° 21) prend une valeur réelle unique pour chaque

FORMULES DE TAYLOR ET DE MACLAURIN iG5

valeur de x supérieure à — 1. Ou a

r ix) := (i + XY\ fin) (^) ^ ( !)«-! (,, - i) ! (i 4- x)-\

el par suite

La formule (14) devient alors

le reste R ayant pour expression

si l'on adopte la forme due à Cauchy.

La série

est divergente pour toute valeur de x dont le module esL supérieur à 1, car le rapport

d'un terme au précédent tend vers — x lorsque a croit indéfiniment; elle est d'ailleurs divergente pour x = — 1, puisqu'elle se réduit alors à la série harmonique. II suffit donc d'étudier le reste dans Tintervalle

Or, pour ^ = 1, l'expression (30) est indéterminée; mais

le reste de Lagrange

tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment, parce que It* second facteur reste fini, tandis que le premier tend vers zéro.

Pour x compris entre — 1 et 1, le reste (30) est le produit de trois facteurs dont les deux premiers ne peuvent, en valeur absolue, surpasser l'unité, tandis que le dernier tend vers zéro, quand n croit indéfiniment.

Le reste R tend donc vers zéro dans l'hypothèse (31), et Ton a alors

log(l+a,)=f-f + !*... (32)

160. Au lieu de la formule unique (32), où x varie entre — 1 et 1, on peut ne faire varier x que de 0 à 1 et joindre à la formule (32) la suivante :

-log(l-a;) =2 + | + Y+- (^3)

Les restes peuvent alors recevoir des formules plus simples.

En efifet, on peut, dans notre hypothèse, appliquer à la . série (32) le théorème relatif aux séries alternées. Le reste est donc moindre en valeur absolue que le premier terme négligé, et l'on a, 6 étant compris entre 0 et 1,

log(l+^)=f-f+f+...H-(-l)»-'f;; + (-i)''-'v- (34)

En second lieu, la somme des termes qui dans la série (313) suivent le [n — 1)*"* est moindre que

et l'on a, 8' étant compris entre 0 et 1,

-iog(i-.) = i+T+T+...+^ + e'-^ (35)