On en conclut en particulier pour n
log{i + co) = 0?— eÇ (36)
formules souvent utiles, où x. 6, 6' sont compris entre U el 1 . Formules pour le calcul des logarithme**
162. Soient p et q deux nombres positifs quelconques ; p étant le plus grand des deux, si Ton pose
X sera compris entre 0 et 1, et Ton aura
On en déduit
logp — log</ = log (1 -f. a?) - log (i — co). ou, en vertu de (32) et (33),
logl. - log, = 2 p + f + ï + ... + £^ -f -I (39)
Cette formule, très convergente dès que x est notablement inférieure à 1, permet de calculer le logarithme \\v p connaissant celui de q.
L'erreur commise, lorsqu'on se borne aux K premiers termes de la série, est évidemment inférieure à
OU à
et enfin à
(2K + 1) (i — x^) On peut donc écrire
T+I+ |+-+feri+(2K+f)(i-.^)]' f-*^)
e étant compris entre 0 et 1 et j: ayant la signification indiquée par la formule (38).
Par exemple, pour jo =;.N + A, y = N et K = 1, il vient
log,N + ^)-logN = ^^(i+^-^^^^). (41)
163. Tout ce qui précède se rapporte aux logarithmes népériens. Pour passer aux logarithmes vulgaires, il suffit (n° 22) de multiplier les logarithmes népériens par le nombre
loglO
dont on trouve la valeur de la manière suivante : La formule (40) où Ton fait p = \0, y = 8, et par suite
a: = -1 donne
La même formule où Ton fait /> == 2, y = 1 , et par- suite
X =- donne»
On a donc
i = logl0 = 6(i + 3-i-. + ^+...)
En calculant chaque terme du second membre avec 28 décimales, puis divisant 1 par la somme ainsi obtenue, on a, avec 25 décimales exactes,
M = 7-^. = 0,43429 44819 03251 82765 11289. log 10
Remarque sur l'emploi des tables de logaritlimies
104. Soit n + h unjQombre positif dont la partie entière n est comprise en lOOOO et l()0<)00; on trouve, dans la table supposée à 7 décimales, le logarithme de n ainsi que la différence tabulaire
a = log {n -\- i) — logn.
Cela étant, quand on veut calculer log {n -+- h) ou, ce qui revient au môme, la différence
B = log {n + h) — logw,
on prend pour valeur approchée de cette différence la quantité $1 fournie par la proportion
Il est facile de voir que Terreur o — c^ ainsi commise est moindre que le quart d'une unité du huitième ordre décimal.
En effet, Texpression
