Le produit de deux infiniment petits
p = kr- (1 + e). p' = A'c:«' (i + t')
OBJET DE l/ ANALYSE INFINITÉSIMALE 9
dont l'un est dordrc /i, Taulre d'ordre n\ peut s'écrire
y; désignant un infiniment petit. Ce produit est donc un infiniment petit d'ordre n-\-ii\ et sa valeur principale est égale au produit des valeurs principales des facteurs.
O. Si deux infiniment petits
P = Ax« (i + e), fi' = AV (i + e')
sont du môme ordre, leur rapport
a une limite -y- déterminée et difl'érente de zéro.
Réciproquement, si le rapport de deux infiniment petits g et g' a une limite A*, déterminée et différente de zéro, les infiniment petits sont du même ordre ; car les relations
dans lesquelles s et s, sont des infiniment petits, donnent
qui est de laforme A'V(lH-e'), s' désignant un infiniment petit et k une quantité kk^ déterminée et différente de zéro. ' En particulier, si deux infiniment petits ont la même valeur principale, leur rapport a pour limite Tunité et réciproquement. Il suffit de faire dans la proportion directe qui précède k =k\ et, dans la réciproque, A^=l.
Quand deux infiniment petits ont la même valeur principale, on dit, pour abréger le langage, qu'ils sont équivalents.
Principes relatifs ù. la substitution des infiniment petits
lO. On n'altèrr pas la limite du rapport de deux infiniment petits en substituant à chacun d'eux un infiniment petit équivalent.
En d'autres termes, si les infinioient petits a et a , 3 et J' satisfont aux conditions
lim*' = i, Um|=<, (i)
on aura
lim p = lim ^- (5)
En effet, les conditions (4) peuvent être mises sous la forme
£ et y; désignant des infiniment petits. On en déduit la relation
ÎL — ï i + 6 ^'"'P'i+V
qui, à la limite, se réduit à (5).
11. On n altère pas la limite d'une somme de quantités positives infiniment petites dont le nombre croît indéfiniment^ quand on remplace chacune d'elles par un infiniment petit équivalent .
En d'autres termes, soient a,, x^,... a,„ des infiniment petits positifs dont la somme a une limite finie ,v lorsque leur nombre croît indéfiniment. Si g,, g^i--- 3m désignent d'autres infiniment petits satisfaisant aux conditions
lim^=l, lim Sa = 1,... lim^=l, (6)
OBJET DE l'analyse INFINITÉSIMALE H
on aura
lim (p, + p, + ... M = s, (7)
En effet, on peut donner aux conditions (6) la forme
Pi = *I (1 + «l). P2 = «2 (i + eo), ... p.. = *m (1 + £m),
ej,£2... 6m désignant des infiniment petits. On en déduit
Pi +Pi + ---+?«* = (^i4-*a+'-- + */«)+(»!«< 4- «2«2+--- +*/««//.)•
La première parenthèse du second membre ayant pour limite s^ il suffit de prouver que la seconde parenthèse a pour limite zéro. Or, si Ton désigne par s la plus grande des valeurs absolues de s,, s^,... s„„ on voit que la somme
est inférieure au produit
dont les deux facteurs ont Tun pour limite .ç, Tautre pour limite zéro. Cette somme est donc nulle à la limite.
12. Les deux théorèmes qui précèdent peuvent être énoncés de la manière suivante .
Quand on cherche la limite du rapport de deux infiniment petits ou la limite d'une soynme d'infiniment petits positifs dont le nombre croît indéfiniment^ on peut^ dans chaque terme du rapport ou de la somme ^ ne conserver que les parties infiniment petites de V ordre le moins élevé.
Par exemple, si Ton propose de trouver la limite du rapport •
sina? -|- 5 sin^a? -[- 7 sin^a?
lorsque x tend vers zéro, on peut remplacer ce rapport
par
ce qui montre immédiatement que la limite cherchée est -•
Ces propositions sont d'un usage très fréquent, vu (n°4)lamanière dont les infiniment petits interviennent dans l'évaluation de grandeurs déterminées. L'avantage considérable qu'elles offrent tient à ce qu'elles permettent de supprimer dans les infiniment petits considérés la partie qui rendrait leur comparaison ou leur sommation difficiles.
Uéfliiilioii do la ooiiliiiuilô
13. Une fonction y = f [x) nest bien définie dans un intervalle donné {a, b) que si à chaque valeur de j- comprise entre a et b correspond une valeur dfUerminév de y et une seule.
Lorsque la relation qui unit y à .r laisse à y la faculté de prendre plusieurs valeurs pour chaque valeur de x appartenant à un intervalle donné, la définition de la fonction, dans cet intervalle, doit Mre complétée par l'adjonction d'autres conditions propres à lever toute ambiguïté. Nous reviendrons sur ce sujet. Mais il doit être entendu d'ores et déjà que, lorsque nous parlerons d'une fonction, il s'agira toujours d'une fonction bien définie dans un intervalle indiqué.
Observons, en outre, que jusqu'à nouvel ordre il ne sera question que de fonctions réelles de variables réelles.
On dit qu'une fonction / (.r) est continue pour x =^c lorsque f {c -^ h) a pour limite / (c) de quelque manière que h tende vers zéro; ou, en termes plus précis, on dit qu'une fonction / {x) est continue pour x = c, si, à tout nombre positifs aussi petit qu'on veut, correspond un nombre positif r, tel que l'inégalité
1^1 <yï
14 CHAPITRE n
entraîne
Iric + ZO -/•(£?;! <S (i)
Une fonction est dite continue dans un intervalle quand elle est continue pour toute valeur de x comprise dans cet intervalle.
Toute fonction non continue est dite discontinue,
