ev

et par suite, puisque M est (n** 163) moindre que ^» et que h

est inférieur à 1,

Nous avons supposé que les logarithmes fournis par la table étaient exacts; en réalité, ils sont entachés d'une erreur en plus ou en moins qui peut atteindre une demiunité du septième ordre décimai, et de ce fait seul résulte sur la valeur de log (m -h A) une erreur qui peut s'élever à une unité de cet ordre (voir Ylntroduction aiix Tables de Schrôn, n** li). Cette erreur étant notablement supérieure à celle que nous venons de calculer et qui provient de la proportion (42), l'emploi de cette proportion se trouve pleinement justifié.

Développeineni de arctgj:

165. Comme dernière application de la formule de Maclaurin, cherchons le développement de

y = arc i^x.

Nous entendons par là Tare compris entre — ^ et '^^ dont

la tangente est égale à x.

Si Ton pose

on a (n*» 80)

/^«) [x] = (— 1)'* -^ (n — 1) ! sin^w sinnw.

Mais, par hypothèse, quand x est nul, y Test aussi et, par suite, M est égal à - ; on a donc

/^«)(o) = (— !)"-< (w— 1)! sinn|, c'est-à-dire

si n est pair, et

si n est impair.

La formule (13) devient donc ici

Le terme complémentaire a d'ailleurs pour expression R = ( — 1)" '* — sin^Mi 9Ïi\ nu^^

OÙ Wj est Tare compris entre — TJ ®t ^' satisfaisant à la relation

colgM^ -^ Oa?,

dans laquelle 6 est compris entre 0 et 1.

Il suit de là que, si x est, en valeur absolue, inférieur ou égal à 1, R tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment.

Par suite on a pour le développement de arclg./- en série convergente

arclgor =--- + - -y+... .,44,

Celte série est d'ailleurs divergente jiour | j: | > 1 ; car le rapport d'un terme au précédent a pour limiter-, qui, dans ce cas, est supérieur à 1.

Calcul de z

166. En partant du développement de arctgj', on parvient à une formule qui permet de calculer rapidement le rapport r de la circonférence au diamètre.

Désignons par p Tare dont la tangente est égale à -' on

aura successivement

L'arc 4y; est donc un peu plus grand que ^ et, si l'on appelle q la différence de ces deux nombres, on a

120 , ~ 239 ÏÏ9 + ^

De là résulte la relation

- = 4 arclK g - arclg ^,

c'est-à-dire, en appliquant la formule. (44),

c'est la relation que nous avions en vue. Il suffît par exemple de calculer 11 termes de la première série et 3 termes de la seconde pour obtenir, pour le nombre r, la valeur

approchée avec quinze décimales exactes.

Méthode d'approximation de \e\vton

167. La formule de Taylor trouve une application intéressante dans la méthode indiquée par Newton, puis complétée par Fourier, pour trouver des valeurs de plus en plus rapprochées d'une racine d*une équation donnée algébrique ou transcendante.

Supposons que, par des substitutions convenablement dirigées, on soit parvenu à séparer une racine x^ de Téquation f (x) = 0, c'est-à-dire à trouver deux nombres a el ^ comprenant cette racine inconnue x^^ et n'en compreniuit aucune autre.

Nous supposerons en outre les nombres a et g assez rapprochés pour que la dérivée seconde f" {x) conserve un signe constant dans l'intervalle (a, ^^); alors, comme /(a) et f (3) sont de signes contraires, Tun des nombres (a, g) n^ndra le produit /(.r) /"'(x) positif, tandis que l'autre rendra ce produit négatif.

Cela posé, la méthode d'approximation dont il s'agit consiste dans la proposition suivante :

Si ton désigne par a celai des deux nombres 7. et ^ qui

rend f (x) et f [x) de même signe ^ la quantité '

sera comprise entre a et Xq.

En effet on a

o==n^,)==na+a^o-a)=r{a)+'^r{a)+^'^^ (47)

X étant un nombre inconnu compris entre a et Xq, D'ailleurs /'(a) est différent de zéro, sans quoi la relation précédente deviendrait

ce qui ne peut être, puisque, d'après nos hypothèses, les deux termes du second membre ont le même signe. On peut donc diviser par /'(a) Téquation (47) et la mettre sous la forme

On déduit de (46) et de (48)

(•'^0 - «.) («. - «) - %^ r wri") ;

le produit

{Xq — a^) {a^ — a) •

est donc positif, et par suite les quantités

a, a^, Xq

sont rangées par ordre de grandeur (croissante ou décroissante), ce qui démontre le théorème énoncé.

168. Ce théorème permet de passer d'une valeur approchée a à une autre a^ plus approchée que la première et dans le môme sens qu'elle.

[*our rappliquer, on commencera par chercher une limite supérieure de la valeur absolue \ Xq — «^ | de Terreur que Ton commet en prenant a^ pour nouvelle valeur approchée.

A cet effet, désignons par M la plus grande valeur absolue de fi-r) dans l'intervalle (a, 3)» ^1 posons

on aura d'abord évidemment par la formule (48)

Mais la même formule (48) donne aussi

et par suite, eu égard à (i9),

Le second membre de cette inégalité paraît compliqué ; mais il n'est pas nécessaire de le calculer exactement, il

suffit de déterminer la puissance de rr qui lui est immédiatement supérieure.

Soit — cette puissance et k la valeur par défaut à moins

de — du quotient

Si a est par défaut, la quantité — ^rW sera positive, et l'on aura a, = « -f- A- + g ; si a est par excès, la quantité — Tii sei'a négative, et l'on aura «, = a — k — s. On

prendra donc pour nouvelle valeur approchée a ± A-, en adoptant le signe + ou le signe — suivant que a est par défaut ou par excès.

Prenons l'exemple choisi par Newton lui-môme ; il s'agit de l'équation

qui, d'après le théorème de Descartes, ne peut avoir qu'une racine positive et qui en a effectivement une puisque le dernier terme est négatif. Proposons-nous d'évaluer cette racine.

On a

/ (x) == œ^ 2ôe — 5,

r{x) = Qx;

on voit immédiatement que /(2) est négative et / (2, 1) positive : d'ailleurs f (x) est positive pour toute valeur positive de X, Nous aurons donc ici, d'après les notations que nous avons adoptées,

a=:2, fi =^2,1, a=^2,i 0,061

et par suite le second membre de l'inégalité (50) sera moindre que

11 faut donc évaluer le quotient

par défaut à moins d'un dix millième et retrancher de 2,1 le nombre 0,0054 ainsi obtenu ; cela donne, pour la racine cherchée, la valeur 2,0946 approchée à moins d'un dix millième par excès.