Terminons ce sujet par une remarque importante

/(ûj) et f{a) ayant le môme signe, il en sera de même de /(«,) et de /"(ai); on peut donc appliquer à la valeur approchée a^ la règle de Newlon-Fourrier, ce qui donne une nouvelle valeur approchée «2? ®t ainsi de suite.

On obtient ainsi, par Inapplication répétée de la règle en question, une suite indéfinie de valeurs

de plus en plus approchées de la racine vTq et approchées toujours dans le même sens.

Mais pourra-t-on de la sorte approcher autant qu'on voudra de la racine j:^)? En d'autres termes, la suite (51) a-t-elle pour limite x^l La réponse est affirmative.

En effet, supposons, pour fixer les idées, que a soit par défaut; les nombres (51) vont en croissant et restent inférieurs à Xq; ils ont donc une limite X. D'ailleurs on a

Or, d'une part, le premier membre tend vers X — X, c'està-dire vers zéro, quand n croit indéfiniment. D'autre part, f[a^ ne peut être infini, puisque, ["[x] ne changeant pas de signe dans l'intervalle (a, g), f [x) varie dans le môme sens

entre/' (a) et /'(&).

On a donc

lim / («;,) =: (),

c'est-à-dire

Le nombre X est donc une racine de l'équation proposée, et, comme il est compris entre a et g et que l'équation n'a qu'une racine Xq dans cet intervalle, on doit avoir

Convergence des produits d'une infinité de facteurs