La formule

log{i + .)=.-{j^^, (52)

OÙ X est compris entre — 1 et H- 1, trouve une application intéressante dans la recherche des conditions de convergence des produits d'un nombre infini de facteurs. On dit qu'un tel produit

est convergent si le produit

tend vers une limite déterminée P différente de zéro, lorsque n croît indéfiniment.

Pour que le produit (53) soit convergent y il faut que ses fadeurs tendent vers l'unité quand leur rang augmente indéfiniment. On a en effet :

et, par suite, lim 2/„ = 1, puisque les deux termes de la fraction précédente ont l'un et Tautre P pour limite. On est ainsi conduit à poser

W/i = i + ««, c'est-à-dire à considérer seulement les produits de la forme

Ceci posé, voici un théorème fondamental : Le produit (54) converge vers une limite différente de zéro^ si les deux séries

sont l'une et l'autre convergentes ; il a au contraire zéro p offr limite si la série (55) est convergente et la série (56) divergente.

En effet, si Ton pose

on a :

l0gP„ = l0g(l + «,) + l0g(i H- «,) -f- ... + l0g(i + a„),

OU, en vertu de la formule (52),

logP„ = (a, +«, + ... + «0 (57)

2 1(1 + ô,a,)'^ ^ (i + e,,,)2 ^ - ^- (1 + e,,,)aj

Or, les quantités 1 -h ô^a^, 1 -+- 02a2, ..., 1 + e„a„, étant positives et ayant Tunité pour limite, la série dont les n premiers termes forment le crochet qui figure au second membre de (57) est (n** 123) convergente ou divergente en même temps que la série (56).

Donc, en premier lieu, si, la série (55) étant convergente, la série (56) Test aussi, les deux parties dont se compose log Pn auront l'une et Taulre une limite finie, et par suite P„ aura une limite finie et différente de zéro.

En second lieu, si la série (55) étant convergente, la série (56) est divergente des deux parties dont se compose logP„, la première aura une limite finie et la seconde tendra vers — 00 . Log P„ aura donc — x pour limite, et par suite P^ aura pour limite^ zéro.

171. Le second cas de Ténoncé précédent ne peut pas se présenter lorsque a^, a^, ..., a,,, ..., sont tous de même signe. En d'autres termes, dans cette hypothèse, si la série (55) est convergente, la série (56) Test aussi, puisque, dès que les quantités a deviennent moindres que 1 en valeur absolue, la seconde série a ses termes respectivement inférieurs aux termes correspondants de la première.

De là ce théorème : Les produits

oîï les quantités a^a,, ..., a„ ..., sont toutes positives^ convergent vers une limite différente de zéro^ si la série

est convergente,

1 7â. Exemples :

l*" Le produit

où a est compris entre — 1 et + 1, converge vers une limite différente de zéro, car les deux séries

sont convergentes.

2" Le produit

a pour limite zéro, car les seconds membres des binômes forment une série convergente

mais leurs carrés forment la série harmonique, qui est divergente.

173. Les propositions précédentes servent le plus souvent à ramener la recherche de la convergence d'un produit à la recherche de la convergence d'une série. Mai.s, parfois, on peut au contraire rattacher la recherche do la convergence d'une série à celle d'un produit. Par exemples soit le produit :

on a

Le produit considéré a donc zéro pour limite ; par suite, lît série formée par les seconds termes des facteurs binômes iic saurait (n* 171) être convergente. C'est ce qui a lieu en ellot, puisque cette série est la série harmonique.

Dernières remarques sur la formule de Taylui'

174. Lorsque /'*~*(j:) n'est pas nul, on peut prendre h assez petit pour que le terme

yn^\)\

de la formule de Taylor l'emporte en valeur absolue sur h* reste correspondant

En effet, puisque (n** 147) /" {x + eA) est finie, il suilil, pour satisfaire à l'inégalité

de prendre h inférieur à la valeur absolue de la quanlité

w/'*-^ ix)

qui, dans noire hypothèse, est finie et différente de zéro.