Posons
r (-r) = y et
les quantités
seront les différentielles successives
dy, d^y, ..., d^'-^y
de y. Si, de plus, on représente par d*'y Texpression Ay* (n + ôA), qui est la valeur de la différentielle ri^^ dey correspondant à la valeur ^ + OA de la variable, la formule de Taylor devient
Si Ton suppose A = dx infiniment petit du premier ordre, dy-» d^y-» •••» ^"~*y» ^'V/ seront en général des infiniment petits ayant pour ordres respectifs 1, 2, ...,/? ^- 1, n. Quand on s'arrête dans le développement de Ay à un certain terme, on a une valeur approchée de l'accroissement infiniment petit de Ja fonction, et Terreur commise correspondante est un infiniment petit d'un ordre supérieur à celui du dernier terme conservé.
FORMULES DE TAYLOR ET DE MACLAURIN POUR LES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
Formule de Taylor pour les fonctions de plusieurs variables
176. Soit/ (X, Y) une fonction de deux variables indépendantes dont les dérivées partielles, jusqu'à Tordre n inclusivement, sont continues tant que X reste compris dans un certain intervalle (A, A') et que Y reste compris dEins un intervalle (B, B).
X eix -\- h étant deux nombres pris à volonté entre A el A', et y et y + A- deux nombres choisis arbitrairement entre B et B', on se propose de développer
suivant les puissances entières positives et croissantes de h et de A*.
L'expression précédente est la valeur que prend, pour / = 1, la fonction de / définie par les relations
9(0=/-(a, p), a = a?-f-/^^ \i = ij + k(. (2)
On obtiendra donc le développement cherché en appli-
quant à ç (/) la formule de Maclaurin
puis, faisant / = 1, ce qui donne
e étant compris entre 0 et 1.
Il reste à calculer 9^'"^(/).
On y parvient en appliquant la règle de différentiation de la fonction composée ç(a, g), lorsque les fonctions composantes a et p sont, comme ici, des fonctions linéaires de t. On sait que cette règle se traduit (n° 87) par la formule symbolique
qui, en vertu des relations
doL z= hdt, d^ = kdt, devient
On en déduit
ICn)
OÙ t/ et V désignent respectivement a: + GA et y + 6A\
Il suffit alors de porter ces valeurs dans (3) pour obtenir la formule
qui est celle de Taylor étendue au cas de deux variables.
177. L'extension au cas d'un nombre quelconque de variables n'offre aucune difficulté ni pour le raisonnement, ni pour la composition de la formule.
On donne le nom de reste au dernier terme du second membre; si ce reste tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment, le second membre de la formule (5) devient une série indéfinie qui est convergente et qui a pour somme
Il importe d'observer que cela a toujours lieu lorsque aucune des dérivées de la fonction f[x, y) ne devient infinie quand on y remplace x par a: + OA et y par y + 0A\ Alors, en effet, on peut assigner un nombre X qui l'emporte en valeur absolue sur la valeur de toutes les dérivées qui figurent dans l'expression du reste; par suite, ce reste était moindre en
valeur absolue que ; — X'*(A 4- kY, tend vers zéro
lorsque n croît indéfiniment.
Aiitro f firme de la formule de Taylor I7B, X et f/ (^tanldes variables indépendantes, on a
L'I symboliqui^DK^nt si donc on pose
\r=ra: -j-h,t/ + M) — ri^, yi.
et si Ton désigne par tf'*f ce qui devient la différentielle ftf quand on y remplace J" j^ar .r -\- Hh et y par t/ -+- ûk^ ia formule i5) devient
Elle a la même forme qiu^ dans le sens d'une seule variable (n^ 175 1.
Si h = dx, k =r dfj sont des infiniment petits du premier ordre^ cliaque terme du second membre est en générai infiniment petit par rapport a celui qui le précède, et si l'on s'arrfile an [n — 1)'"* terme, le reste, c*est-à'dire Terreur commise, est nn îiinnimenl petit d'ordre n.
1 70. Dans le cas d'une seule variable, la formule de Taylor (n" li?) n'exige la continuité que des n — i premières dérivées et n'impose h la dérivée /i"" (celte qui figure dans le reste) (jue la condition d'r'ti'c déterminée. Mais, dans le cas de plusieurs va ri a Ij les, c'est-à-dire dans le cas de la formule (r>j, la Cf^itinuito des dérivées de Tordre n est néccssaiix% puisque cette foi-mule est fondée sur la dilïéreutiation des fonctions composées.
Extension de la formule de Maclaurin au cas de plusieurs variables
180. Pour étendre la formule de Maclaurin aux fonctions de plusieurs variables, il suffit de faire x = o ety = q dans la formule (5), puis d'y remplacer respectivement les lettres h et k par x et y.
On obtient de la sorte
Le reste, lorsqu'on s'arrête au n"" terme inclusivement, est ce qui devient l'expression
D'Yl ^' + - + ^4}
lorsqu'on remplace, dan^ les dérivées qui y figurent^ x et y respectivement par ^x et 6y, 0 désignant un nombre conve* nablement choisi entre 0 et 1.
Fonctions homogènes
181. On dit qu'une fonction f{x^ y, z) de plusieurs variables est homogène et du degré 7?i, lorsque, chaque variable étant multipliée par une indéterminée /, la fonction se trouve multipliée par /"'; en d'autres termes, lorsqu'on a, quel que soit /,
f[tœ,ty,tz) = V-f[x,y, z), (9)
Par exemple:
Aa;» + 2Bxy + Cy», "! ~" ^ , -^-P- sin ^
-r :fn-yi ^3 — y3 X -}- y x
sont des fonctions homogènes, dont les degrés sont respec-
tivement égaux à 2, — 2, -•
On voit immédiatement que :
V La somme algébrique de plusieurs fonctions homogènes, de degré /w, est une fonction homogène du même degré;
2^ Le produit de plusieurs fonctions homogènes est une fonction homogène dont le degré est égal à la somme des degrés des fonctions proposées;
3* La puissance d'indice quelconque jjl d'une fonction homogène de degré m est une fonction homogène dont le degré est /«[x.
1 8à2. Si, dans l'identité (9\ on fait / =-> on obtient
fi^.y^^)
K''ti)='(l';)^ "<"
doïic une fonction homogène de degré m, divisée par la puissance m de l'une des variables, ne dépend plus que des rapports des autres variables à la première.
La réciproque est vraie; si Ton multiplie par a:"* une fonction quelconque du rapport -^ "'^ le produit
^ \x xj
est une fonction homogène du degré m des variables x, y, z. Car, si l'on change, dans l'expression précédente, x en U, // en /y, on obtient
Oa peut donc prendre la relation (10), au lieu de (9) , pour définir les fonctions homogènes.
Cela posé, voici deux propriétés très importantes de ces fonctions.
183. Les dérivées partielles du pre?7îier ordre d'une fonction homogène de degré m sont des fonctions homogènes de degré m — 1.
En efifet, si Ton différentie par rapport à x les deux membres de Tidentité (9), et si, d'après une notation déjà employée plusieurs fois, on désigne par f^ (a, g, y) les valeurs que prend pour, x= %yy = 3, 2 = 7, la dernière partielle f^ (.r, ?/, 2), on a
/-; (IX, ly, iz^ '-^ ^ t"'n '>, y. ^);
• d{tx) ^ j mais \ = t ; donc
n [ix, ty, tz) r= ^«'- y; [x, y, z).
C'est la traduction algébrique de Ténoncé.
Oa déduit de là, immédiatement, que les dérivées partielles du second ordre sont des fonctions homogènes de degré m — 2, ... et, eu général, que les dérivées partielles d'ordre k sont des fonctions homogènes du degré m — k,
184. Le produit dune fonction homogène par son degré est égal à la somme des produits que ton obtient en multipliant chaque dérivée partielle du premier ordre par la variable correspondante ; eu d'autres termes, ou a
^/ÏK y y ^) + yfy (^, y. ^) + ^n (^, y, -) =mf[x, y, z), (il)
On obtient cette relation, en faisant / = 1, dans l'égalité xn{tx,ty,tz)^yri,[ix,ty,lz)^zn[lx,ty,iz)=r^^ (12)
qu'on obtient en différenciant l'identité (57) par rapport à /.
T'^^^mr^m^m
Cette proposition, due à Euier, est d'un emploi très fréquent; on lui donne le nom de théorème des fondions homogènes.
La réciproque est vraie : toute fonction qui satisfait à Téquation (H) est une fonction homogène d'ordre m.
En effet, en remplaçant dans Fidentité (H), a:, y, z par /JT, /y, /2, on a
^^r/x (^^, (y> tz) +- yfly (to, ty, tz) + zrU [tx, ty, tz) = ^ /"(Z^, iy, tz) ,
qui, si Ton pose
r{tco,ty,tz)=z^[l), (13)
devient
•^=- ou -log,p(0 = 5-^logi'-,
et par suite
log9(/) = logr' + logC,
G étant une constante.
On déduit de là, en faisant /= 1,
et par suite
c'est-à-dire, d après (13),
r[tx,ty,tz) ^t"r[x,y,z].
Ce qu'il fallait démontrer.
185. Appliquons le théorème précédent successivement à chacune des dérivées partielles du premier ordre /i, /"y, /^
qui sont des fonctions homogènes de degré m — 1 ; on aura
^n^ + yny-^?nz = (m - 1) /«i, ^Ocy + yf'y^ + zriz == (m ~ I) r,, ^n-^ + vnz + -Y=2 = (m - i) /-
d où, en ajoutant, après avoir multiplié respectivement par ar, y, js,
Le premier membre peut s'écrire symboliquement
[^n + vn + znr",
le second devient, d'après la relation d'Euler (11), [m — {)rmf{x, y, z)\
on a donc
(^/; + yf'y + zfl)^ = m{m- 1) /•;
et, en continuant de la sorte, on trouverait de proche eu proche
i^/i + yfy + ^fzf^ - ^n{m - 1) (m - S)/",
On peut obtenir toutes ces identités d'un seul coup et presque sans calcul, à Taide de la formule de Taylor relative aux fonctions de plusieurs variables.
Que Ton pose, en effet, dans l'identité (9) qui sert à définir la fonction homogène, l'indéterminée / par 1 + a, a étant un nombre arbitraire compris entre 0 et 1, on aura
f{cc -I- Qur, y -f ay, ^ + a^) = (1 + a)'Y(a7, y, z].
Puisque a est compris entre 0 et 1, le second membre
sera (n** 157) développable en série convergente ordonnée, suivant les surfaces entières positives et croissantes de a; et il suffit d'égaler le coefficient de a* dans ce développement
^/ nF- 1^1 I wi(m — 1) ... (m — ^ 4- 1) i , 1
r{x, y, .^) 1^1 4- ~ a -f ... -h — — ■rr^zTk — * + -}
au coefficient de J" dans le développement du premier membre par la formule de Taylor
pour obtenir l'identité (14) qui, pour A==l, se réduit à ridentité d'Euler (11).
Généralisation de la formule d'approximation de \^ewton
186. La formule de Taylor, relative au cas de deux variables, permet de généraliser la méthode d approximation de Newton (n** 167).
Soit (jtq, yo) un système de valeurs de a: et de y satisfaisant à deux équations données
on connaît une valeur approchée a de XqqI une valeur approchée 6 de yoî on demande de trouver des valeurs plus approchées de deux inconnues x^^ y^- En. posant
Xç, — a-{- h. yç^ = b -{- /f, (15)
on aura
c'est-à-dire, en développant par la formule de Taylor et s'arrMant au second terme,
les restes R et p ne contenant que des puissances ou des produits de h et de X: d'un degré supérieur au premier.
Si a et 6 sont suffisamment approchés, h et k seront assf^z petits pour qu'on puisse négliger les restes R et p, et prendre pour nouvelles valeurs approchées les quantités
a,=a'{-h, b,=hJ^h,, (i6)
Aj et Aj étant données par la résolution des équations linéaires
En opérant sur a^ et é^, comme on Ta fait sur a et A, on obtiendra de nouvelles valeurs approchées a^ et A.„ et ainsi de suite.
Itt7. Voici un exemple numérique : Soient les équations
a-2 -{-xy — 2j/*- — i\x + 51^ — 313 = o. (19)
A Taide d'un croquis fail rapidement et à une échelle convenable, sur papier quadrillé, on voit que Tun des poiiils d'intersection des deux hyperboles représentées par les équations (18) et (19) a sensiblement pour abscisse 10,5 et pour ordonnée 5,25. On aura donc ici, en conservant les notations
CALCCL INFINITÉSIMAT,. 13
du numéro précédent
1 4- 2IA^ — AU, = o,
2 + 20,25;^^ +. AO,U, = o, et par suite
En prenant ces nouvelles valeurs a^ et 6j pour point de départ, on aura les corrections h[ et k[ correspondantes en résolvant les équations
ce qui donne
^; = — 0,000453, kl = 0,000195,
et par suite
a^=z a^ + kl — 10,426547 ..., b^ = b, -\- kl = 5,237195 ...
avec six décimales exactes. On peut le vérifier à Taide des équations à une seule inconnue qu'on obtient en éliminant tour à tour y ou x entre les équations proposées (18) et (19).
Définition de la vraie valeur d'une forme indéterminée
188. Une expression analytique qui, pour une certaine valeur a de la variable »r, se présente sous Tune des foniu^s indéterminées
% ^/ 0.00, x-oc, 0«, i*',
peut tendre vers une certaine limite ou devenir infinie, lorsque oo tend vers a. On convient alors de donner à celte valeur limite finie ou infinie le nom de vraie valeur pour jc = a de l'expression considérée.
Par exemple, on démontre en trigonométrie que Texpression
sina?
qui, pour x = o, se présente sous la former- tend vers 1
lorsque x tend vers zéro ; sa vraie valeur pour x -^^ o est donc égale à Tunité.
Nous allons faire connaître quelques règles qui permettent d'obtenir simplement, dans un grand nombre de cas, les vraies valeurs des formes indéterminées.
Forme -
189. Soient /(^) et (^{x) deux fonctions qui ont, dans un certain intervalle, des dérivées déterminées, et qui s'annulent simultanément pour une valeur a appartenant à cet intervalle. Le rapport
se présente sous la forme - pourj* =a, et il s*agit de trouver
sa vraie valeur.
Or, puisque f{a) et 9 (a) sont nuls, le rapport (1) peut s'écrire :
il est par suite égal (n** 37) à
cp'(c)'
r étant un nombre compris entre a et x. Donc, comme v lend vers a en même temps que a-, si le rapport des dérivées
lend ve?'s une limite, h' rapport (1) tend vers la inême limite, et, si le rapport (2) croit indéfiniment, il en sera de même du rapport (1).
VwT ce théorème, connu sous le nom de Règle de rUospital, on est ramené à examiner comment se comporte le rapport {^î) lorsque x tend vers a.
Si les dérivées f {x) et(p'(jr) ne s^annulent pas simultané-
ment pour j: = a, la valeur finie ou infinie de leur rapport pour a: = « sera la vraie valeur du rapport (1).
Si les dérivées /*' (a?) et o{x) s'annulent à la fois pour X •= Uy on sera, par la règle même de THospital, ramené à voir comment se comporte le rapport
CM
des dérivées secondes lorsque x tend vers a.
En continuant de la sorte, on verra que, si les fonctions f{x) et (^{x) s'annulent ainsi que leurs n — 1 premières dérivées, et si le rapport
/^^'^) ix) . (p<"^ [x)
des dérivées n"** tend vers une limite ou devient infini lorsque x tend vers a, le rapport (1) tendra vers la même limite ou deviendra infini pourx = a.
lOO. La formule de Taylor conduirait d'ailleurs immédiatement à cette conclusion. En effet, puisque les fonctions f[x) et ç (x) s'annulent ainsi que leurs n — 1 premières dérivées pour x = a, on a
^f"' = i^hr^ ?"" (''>
c et c' étant Tun et l'autre compris entre zéro et a. On en déduit l'égalité
d'oii résultent les conclusions ci-dossus, puisque, quand x tend vers «, il en est de même de c et de c\
