Exemples

1® Soit à trouver la vraie valeur de

loff(i+^)-^^

pour X = o. Le rapport des dérivées

2^ 2(1 + aï)

a pour limite — - ; c'est la vraie valeur demandée.

2* Soit à trouver la vraie valeur, pour j: = o, de l'expression

X sino?

Le rapport des dérivées premières

sino? -\- œ ces a?

se présente sous la forme -; il faut avoir recours au rapport des dérivées secondes

2cosa? — X sino?'

il tend vers 1 , lorsq^ue x tend vers zéro ; donc l'expression proposée a pour vraie valeur 1, pour x = o.

192. Dans .ce qui précède, nous avons supposé que la valeur a de x qui annule les deux fonctions f{x) et f (x) était finie ; mais la règle de l'Hospital s'applique encore au cas ou a est infini.

Pour le voir il suffit de poser x = — Le rapport (1)

devient

il se présente sous la forme ^ pour xi = o, et en lui appliquant la règle de THospital on obtient successivement

en sorte que, dans ce cas encore, la limite du rapport des deux fonctions est égale à ]a limite du rapport de leurs dérivées .

Forme ^

193. La forme ^ donne lieu à une règle identique à celle du n* 189 pour les -•

Soient f{x) et ^{x) deux fonctions qui deviennent simultanément infinies j lorsque la variable x tend vers une certaine valeur a. Si le rapport (2) des dérivées tend vers une limite déterminée ou devient infini, lorsque x tend vers a, le rapport (1) des deux fonctions tend vers la même limite ou devient aussi infini.

Pour démontrer ce théorème, nous distinguerons deux cas, suivant que a est fini ou infini :

Va est infini. — Désignons par a un nombre fixe assez grand pour que,' x restant supérieur à a, le rapport (2) des dérivées diffère aussi peu qu'on voudra de sa limite /. On

aura (n* 37), c étant compris entre a et x :

f{x)-- fia) ^ r (c)^

Mais, lorsque j: croit indéfiniment, le second facteur du second membre a pour limite 1, puisque /(oc ) et 9(00 ) sont infinis. On f eut donc prendre x assez grand pour que le second membre difTère de / aussi peu qu'on voudra. Donc le premier membre, c*est-à-dire le rapport (1), a aussi pour limite /.

On voit de même que, si le rapport (2), au lieu de tendre vers une limite déterminée /, devenait infini, il en serait de même du rapport (i ).

2"* a est fini, — En posant j: = a + ~> on a

lim —^ = lim , ,

et Ton tombe sur le cas précédent. On est donc autorisé à prendre le rapport des dérivées, c'est-à-dire à chercher la limite pour ?/ = 00 de

c'est-à-dire la limite du rapport S) s pour x = a.

I94* Exemple. — L'expression

log(a? — a) se présente sous la forme ^ pour x et a. Sa vraie valeur est

Remarques divei^ses

195. Les réciproques des deux théorèmes précédents ne sont pas vraies; en d'autres termes, si le rapport (1) des deux fonctions, qui deviennent simultanément nulles ou infinies pour a: = «, tend vers une limite, on ne peut pas affirmer que le rapport (2) des dérivées tende vers la même limite.

Par exemple, le rapport

sinx œ — sina? x

a: 4- sin.>(? . , sina?

a pour limite 1 pour x = oo , tandis que le rapport des dérivées

i — ces .y ^x

1 + cos a? "~ ^"^ 2

ne tend vers aucune limite déterminée, lorsque x croît indéfiniment.

196. Soit a une quantité finie; si /'{x) devient infini pour X = a, il en est en général de même pour sa dérivée. On s'en rend compte aisément. En effet, la courbe y = /(j:) admet, dans ce cas, une asymptote x === «, parallèle à Taxe

des y ; mais la tangente à cette branche de courbe tend vers l'asymptote quand l'abscisse du point de contact tend versa; le coefficient angulaire f [x) de cette tangente devient donc infini pour x = a.

Si f{x) est nul pour x = oo , il en est de même en général de sa dérivée. En effet la courbe y = f{x) admet alors Taxe des x pour asymptote, et, comme la tangente à cette branche de courbe tend en général vers cette aymptote quand Tabscisse du point de contact croît indéfiniment, le coefficient angulaire /' {x) de cette tangente devient nul pour j? = oo .

Il résulte de ces deux observations que les règles données aux numéros 192 et 193 ne font en réalité que substituer un problème à un autre du même genre. Mais ces règles ne perdent pas pour cela leur utilité, vu que le nouveau problème peut offrir des difficultés moins grandes que le premier.

Forme 0 . oo