Pour trouver la vraie valeur de la différence
de deux fonctions qui deviennent simultanément inliiiu^si
pour une valeur particulière a de la variable, on écrit ceite différence y sous la forme
»<4ii-'}
f (x) Si le rapport ^-^» qui est le premier terme de la parenthèse
et qui se présente sous la forme ^, ne tend pas vers 1
lorsque x tend vers a, lepxression y deviendra infinie. Si le
f (x) rapport '-y-^' tend vers 1, y prendra pour .r = o la forme
00 . o, que Ton traitera comme nous Tavons dit au n* 196. âCM>. lîlxEMPLE. — Trouver la vraie valeur de la différence
pour X = 00 .
Ici le rapport
tend vers 1 , quand x croît indéfiniment. L'expression
s'offre donc sous la forme x . o, pour x = oo ^ et il s'agit de trouver sa vraie valeur, ou, ce qui revient au même, en
posant - = u, de trouver la valeur pour w = o de Texpres-
sion
qui se présente sous la forme jr- L'application de la règle de
L^Hospital, si Ton observe que la dérivée du radical esl
donne pour la vraie valeur demandée la moyenne aritliniéliquo
^« +^2 + '" + an
n des quantités a,, a^, ..., «„.
Formes 0^ 1"^, oo**
aoi. Suivant qu'on a
ou
ou
/-(a) =00, (p (rt) =: o,
l'expression
dans laquelle f{x) est supposée positive, se présente, pour x = a, respectivement sous la forme
Pour trouver alors sa vraie valeur, on cherche la valoru' dt' son logarithme, sauf à remonter ensuite du logarithme ;ni nombre correspondant.
Or le logarithme de (3) est le produit
<»t dans chacun des trois cas ci-dessus ce produit se prés(^ntr
SîOG CHAPITRE XI) ^
SOUS la forme 0,00 . On sera ainsi ramené au problème du vT 196.
Voici quelques exemples ;
1"* Soit y = x% Texpression dont on demande la vraie valeur lorsque x Ifud vers zéro par des valeurs positives.
On a
iogy ^ m logâj :^ 4^*
et comme le rapport des dérivées est égal à — .l\ log// tend vers zéro, et, par suite, t/ tend vers L
2° Soit y ^^ (1 -f- ^xV- qui, pour j^=: o,se présente sotis la forme 1*, On a
ut comme ie rapport des dérivées est égal à 7— — * logy tend vers a, et par suite y tend vers ^'".
3*^ Soit y = (i H — j rexpression qui se présente pour X = 0 sous la forme x^ Un a
et comme le rapport des dérivées est égal à 7' l"gy
tend vers zéro, et par suite y tend vers i.
lifll^. Si, pour X ^= (t., l'expression
y - «^ où tt et V sont des fonctions de ^, se présente sous la
FORMES INDÉTERMINÉES â07
forme 1*, tandis que Texpression
admet une limite déterminée A, la vraie valeur de y sera p*- En effet, on peut écrire
d'où, pour X = a,
lim . y = e""* = e*.
Voici deux exemples:
!• Soit
fx^ + 6^ + ^Y
qui, pour x = - oo , prend la forme 1*. Comme
a pour limite 4 pour or = oo , la vraie valeur do // est f''^. 2° Soit
y = (a? + sino: + coso?)*^®*"»^,
qui, pour x== o, revêt la forme 1*.
Comme
z =:cotanga?(a? + sina? + cosa? — 1) =cosa? -^ + 1 ~ lang]^ a pour limite 2 pour x = o, la vraie valeur de // est e^.
208 CHAPITRE XÏI
Emploi des séries
I203. Le développement en séries constitue un procédé très souvent fort commode pour la résolution du cas d'indétermination. Voici quelques exemples :
1" Soit proposé de trouver la vraie valeur de l'expression
y=«^[log(n-i)-l].
pour 71 = ce .
Cette expression se présente sous la forme x . o. Mais on a, pour Al > 1,
(ît par suite
La vraie valeur de // est donc — -•
2** Trouver la vraie valeur de l'expression
X — sinu' pour X = o.
On peut écrire, en posant .r — sin.r = ?/,
on en remplaçant e" par son développement en série
La vraie valeur de y pour j: = oo est donc 1.
3** Soit encore à trouver la vraie valeur de Texpression
y = Va?*^ — 5a? + 6 — \ix^ — x,
pour x = X .
On développera les radicaux par la formule du binôme relative à Texposant - »
OÙ a est supposé plus petit que 1 en valeur absolue. Or cette quantité a est pour le premier radical
5^7—6 et pour le second
Comme il faut faire tendre x vers Too , on peut toujours supposer x assez grand pour que chacune des deux quanti- Ic^s précédentes soit moindre que 1 en valeur absolue. La formule du binôme est donc applicable, et Ton a
yjx'^ — lùx-\-^^=zx i/l
2 8a' Ifu--' \x^ — X =aT\/l — 0? — - — -— — 7-— 5 — ... 1
d'où
ce qui montre que la vraie valeur de y est — 2.
4° Cherchons enfin la vraie valeur, pour »r = o, dr
CALCIL INFINÎTÉSIM \L. 14
l'expression
lof?(i 4-œA-x^) + log.(l-a? + a?^)
qui se présente alors sous la forme ^'
On peut récrire
ces a? . 1 —. — ) \sina7/
X y log(i +x* +x*)
Comme les deux j-remiers facteurs tendent Tun et Tautre vers 1, lorsque tend, vers zéro, la vraie valeur de y sera la même que celle du troisième facteur, lequel devient, par le développement en série du logarithme,
l[ool±x^ (y^ + x^Y -]
et par suite a Tunité pour limite.
La règle de L'Hospital, appliquée sans modification à la forme primitive de y, eût exigé deux diflTérentiations successives et donné lieu à un calcul beaucoup moins simple que celui que nous venons de faire.
Vraies valeurs des l'onctions de plusieurs variables I204. Lorsque le rapport
de deux fonctions de plusieurs variables se présente sous la forme r- pour un système de valeurs a, h des variables x, y, la vraie valeur de ce rapport est généralement indélermi-
née ; elle dépend de la loi suivant laquelle j: et y tendent respectivement vers a e\ b.
En effet, si Ton pose
X = a -\- pi, 1/ — ff -}- qt, (6)
p et f/ désignant des constantes arbitraires, le rapport h devient une fonction
:^{a+pl,b + qt) ^'^
lie la variable unique /, qui, pour /, = 6, se présente sous la forme —
L'application de la règle de L'Hos[)ital donne alors
lim M = — r r-, (8)
Ja ,0m
valeur que la présence des arbitraires /> et y rend indéterminée. Toutefois, si les dérivées partielles des fonctions/" et ^ sont proportionnelles,/) et q disparaissent, et Ton a
lim U = T- = r-> 0)
Sx :^h
qui est en général déterminée.
Si les dérivées partielles
sont toutes nulles, le second membre de (8) se présente à
son tour sous la forme-; une nouvelle application de la règle de^L'Hospital donne alors
lim M =
n^^ M 9nn A/1 | ^2 ^
. lOi
valeur que la présence de p et q rend indéterminée, à moins que les dérivées partielles du second ordre des fonctions/ et 9 soient proportionnelles, et ainsi de suite.
Il va sans dire qu'au lieu d'appliquer la règle de L'Hospital pour trouver la vraie valeur de (7) pour / = o, on peut (n" 203) avoir recours aux développements en séries et à des transformations que suggère l'habitude du calcul.
:î05. Exemples :
1" Soit l'expression
losx -f- loffy œ -\- oy — b
qui se présente sous la forme -? pour .r = y = i.
(il)
On a
yj
X il/
et par î
5uite
h cause de
La fo
rmu
e (7) donne
alors pour
la limili' de
'expros-
sion
dont l'indétermination est manifeste.
2** Soit l'expression
tanpfo? tang.v — i
qui, pour oC = y = ^> se présente sous la forme - • On a ici
^ tan^y ^ tango; ^
et, à cause de a = b = j \
-^ =^ mC*,
Les fonctions /"et 9 ayant leurs dérivées partielles proportionnelles, la formule (9) donne
3* Soit l'expression
qui, pour a; = y = 1, se présente sous la forme -• On a ici
3a;— 2 ^'^ *^' 3y-2^' 3a; ""^^'^ *^ '^' 3y " '' d'où, à cause de a = A = 1,
2i4 CHAPITRE XII
et enfin, d'après la formule (8),
lim u — = — S' {^^^
4** Soit enfin Texpression
qui, pour x = t/ = 0, se présente sous la forme -•
l/emploi de la règle de I/Hospital exigerait ici deux applications successives, vu que les dérivées partielles du premier ordre sont toutes nulles pour x = y = o. Mais en posant x = pt, y = pt^ on a, suppression faite du facteur commun C-,
lim . =: ie^, (18,
p' -f Çr2 V •
fjui met tout de suite en évidence l'indétermination.
:206. Nous terminerons par une remarque importante : Ce serait une erreur de croire que, pour trouver la
vraie valeur du rapport (5), qui se présente sous la forme -r
pour X = a i}i y ^= />, on a le droit de faire successivement j^^=a, puis // = i, ou bien y = b, puis x =a. W faut introduire ces valeurs simultanément, sans quoi on risquerait de fiiire disparaître une indétermination qui existe réellement.
(In exemple suffira pour metlre ce point hors de doute.
Heprenons l'expression (11). En faisant d'abord x = \^ ^r^Kpression devient
3 [y - 1)' qui» pour y = 1, se présente sous la forme =r et a, d'après la
FORMES INDÉTERMINÉES 2ia
règle de L'Hospilal, pour valeur -• Si, au contraire, on faîl
d'abord y = 1, on tombe sur Texpression
qui, d'après la règle de L^Hoipital, a pour valeur i, La c<>ntradiction est flagrante; bien plus, aucune des deux valeurs
trouvées - et 1 ne convient, l'expression (11) étant réellement indéterminée pour x = {/ = i.
