CHAPITRE Xm MAXIMA ET MINIMA

Cas d'une fonction explicite d'une seule variable indépendante

éÀ07. On dit qu'une fonction ç (x) est maxiimmi pour une valeur a de la variable x^ lorsqu'on peut trouver un nombre positif £ tel que la différence

soit négative pour toutes les valeurs de h comprises entre — £ et s.

Lorsque, dans les mêmes conditions, la diflférence (1) est posinve^ on dit que la fonction est ?ninwwm pour x = a,

208. D'après ces définitions, si ©(a) est maximum, 9(0:) croît dans l'intervalle {a — s, «). puis décroît dans l'intervalle (a, a-he); tandis que, si ç(a) est minimum, <f{x) décroît dans le premier intervalle et croît dans le second.

Donc (n*"* 43 et 44) la dérivée o {x) passe du positif au négatifs lorsque x atteint en croissant y puis dépasse la valeur a qui rend 9 [x) maximum; elle passe ^ au contraire^ du négatif au jwsitif lorsque x atteint ^ puis dépasse la valeur «, qui rend 9 [x) miniimmi.

Les réciproques sont vraies : Si la dérivée passe du positif au négatif, la fonction, croissant d'abord, puis diminuant, passe jjar un maximum; et, si la dérivée passe du négatif

ait positifs la fonction, décroissant d'abord, puis augmentant, passe par un minimum.

â09. Nous supposerons dans ce qui suit que la dérivée f'(jr) est continue* dans le voisinage do a. La dérivée ne peut alors changer de signe qu'en s'annulant, et les propositions démontrées au numéro précédent conduisant à la règle suivante

Pour qu'une fonction ^[x) soit maximum (ou minimum) pour X =1 a, il faut et il suffit que sa dérivée 9' [x) s annule pour cette valeur de x, en passant du signe -+- au signe — (ou du signe — au signe +), lorsque r atteint et dépasse a.

Cette règle exige Tétude des variations de signe de la dérivée dans le voisinage de chaque racine réelle de a de l'équation <^'{x) = 0. Cette discussion n'est pas toujours aisée; aussi trouve-t-on souvent avantageux de substituer au critérium précédent une autre règle exigeant seulement la connaissance du signe que prend, pour x = a, la première des dérivées <^'{a), ©"(j:)..., qui ne s'annule pas pour cette valeur de x.

â'IO. Avant d'indiquer cette seconde règle, nous devons faire une remarque importante.

Si une fonction f[x) est continue, mais différente de zéro^ pour X = a, f{x) conserve un signe constant dans le voisinage de a.

En effet, soit s un nombre positif, et x une valeur quelconque appartenant à Tintervalle («• — s, a -+ s). En vertu de la continuité, on peut prendre s assez petit pour que Ton ait

u étant aussi petit qu'on voudra en valeur absolue. En particulier, comme f[a) n'est pas nul, on peut prendre s tel que I u I soit inférieur à | f[a) \ . C'est donc f{a) qui donne son signe au second membre de (2), et par suite au premier

^ Les cas de discontinuité ne comportent pas de solution générale ; on doit les traiter directement dans chaque question particulière.

membre ; f{x) a donc le signe de f[a) dans Tintervalle considéré.

211. Cela posé, soit a une racine réelle de Téquation (p'(ar) = 0, et supposons que <p(a:) et ses dérivées successives soient continues dans un intervalle {a — h^ a-\- A), comprenant la valeur a ; enfin soit p Tordre de la première des dérivées successives qui ne s'annule pas pour x = a, de telle sorte qu'on ait :

(p (a) = o, ^' (a) — o, ^^f'-*> [a] = o, oP{a)^o.

Dans ces conditions, la formule de Taylor donne

(p (a + A) - ^ (a) r-- ^-|^ cpc/') {a + 0^), (3)

où 6 est compris entre 0 et 1. D'ailleurs, puisque ^^^^{x) est continu et différent de zéro pour x = a, on pourra (n**210) restreindre h de façon que ^^^^{x) conserve dans l'intervalle considéré le signe de f(a). D'après cela, et en vertu de la formule (3), si p est impair, la différence ^{a -\- h) — f{a) changera de signe avec A, et il n'y aura ni maximum ni minimum. Au contraire, si p est pair, la même différence conservera le signe do <^^{a). Donc (n° 207) il y aura maximum ou minimum suivant que ce signe est — ou -h.

De là cette règle :

Pour quune fonction f{x) soit maxiinnm on minimum pour j- = a, il faut et il suffit que la première des dérivées de 9(^), qui ne s'annule pas pmr x = a, soit d'ordre pair. Alors il y a maximum ou minimum., suivant que cette dérivée d'ordre pair est négative ou positive pour x = a.

Exemples

221^. Soit proposé de trom^ei' les inaxvna et les minittm. de la fonction

:jf[x) = {x ~. a^) {x — a^\ ... {x — a„), (4]

où a,, a.„ ..., a„, désignent n quantités distinctes et rangées par ordre de grandeur croissante.

En vertu du théorème de Rolle, chacun des intervalles :

renferme au moins une racine réelle de Véq\xB,\\on<f' {x)==^u, et il n'en contient qu'une, puisque le nombre des intervalles est égal au degré de cette équation. En désignant par a^ a-u ..., a„^, les racines de ^'(j^) = o supposées rangées por ordre de grandeur croissante, on aura

Cela posé, faisons croître x d'une manière continue île — 00 à + 00 .

Si n est impair, <^'{x)^ d'abord positif, change de signp chaque fois que x atteint et dépasse Tune des quantités jp a.2, ..., ^n-i ; donc f{x) est maximum pour x =-^ a,, minimum pour X = a.,, maximum pour x = a.^, ..., enfin minimum pour X = Xj|.

Si 71 est pair, (^' (x), d'abord négatif, change de signe chaqn*^ fois que a: passe par l'une des quantités a,, x,, ..., a„^. Donr f{x) est maximum pour x = a^, minimum pour x = a^, maximum pour x = a3, ..., enfin maximum pour x = 0L„y.

m 3. Trouver les nidxima et minima d'une fonction ai/anf pour dérivée

OÙ p est un nombre entier positif, et /(.r) et F {x) deux polynômes entiers ne s'annulant pas pour x ^= a\ quelles sont les conditions pour que 9 (a) soit un maximum ou un minimum, ou ni Tun ni l'autre?

Si p est pair, comme f[x) et F (x) ne changent pas de signe pour j? = a, la dérivée f^' [x] ne change pas non plus; il n'y a donc ni maximum ni minimum.

Si p est impair, [x — ay passe du négatif au positif pour x = a\ donc ^{x) est minimum ou maximum, suivant que

ria)

est positif ou négatif.

On voit que la règle du n*" 209 est d'une application facile, lorsque la dérivée ^' {x) est le quotient de deux polynômes entiers.