La relation fondamentale

qui résulte immédiatement (n* 6, 3°) de la définition de la dérivée, montre qu'une fonction f [x] est continue pour toute valeur de la variable x pour laquelle la dérivée f (x) est déterminée.

Pi*opriélé fondamentale des fonctions continues

15. Si une fonction f [x) est continue dans tin intervalle (<2, b) et si f [a) et f {b) ont des signes contraires^ il existe^ entre a et ô, au moins une valeur c de x qui annule la fonction f [x),

En effet, posons- {a-\-b) = iù. Si /(w) est nul, le théorème

est démontré. Si / (w) est différent de zéro, nous désignerons par (flj b^) celui des deux intervalles égaux (a, w) (w, b) pour lequel / (a,) et /^ (i,) ont des signes opposés.

En raisonnant sur («,, b^) comme on vient de le faire sur («, b), puis continuant de la sorte, on formera, si on ne rencontre aucun nombre annulant / (jr), une suite d'inter-

(^) Conformément à un usage généralement adopté de nos jours, nous emploierons la notation | a \ pour désigner la valeur absolue d'une quantité quelconque a. Cette valeur absolue reçoit souvent le nom de module.

LES FONCTIOiNS CONTIINUES 15

vallcs

tels que chacun soit la moitié du précédent et que la fonction / (j:) prenne à ses extrémités des valeurs de signes contraires.

Les quantités â;, «|... rt?,,,.... étant inférieures à i et formant une suite croissante, tendront vers une limite c comprise entre a et b. Les quantités è, i,,...i„ étant supérieures à « et formant une suite décroissante, tendront à leur tour vers une limite ; et cette limite ne sera autre que c, puisque la différence

bn-'a„= - {a — b)

tend vers zéro quand n croît indéfiniment.

Or, puisque / [x) est continue dans Tintervalle («, è), la différence

doit avoir pour limite zéro, pour n = oo ; et, comme cette différence a ses deux termes de signes contraires, on aura à la limite

2/* (c) — O ou f (c) =: O,

ce qui démontre la proposition énoncée.

On peut ajouter que, .s7" la fonction f[.r^ est constamment croissante ou constamment décroissante depuis x =^ a jusquà X = b^ il n'existe entre ces limites qu'une seule valeur de X propre à vérifier V équation f [x) = o. Car, si / [x) croît sans cesse, par exemple, dans Tintervalle (a, b) et s'annule pour une valeur c comprise dans cet intervalle, / [x) sera négatif tant que x n'aura pas atteint la valeur c^ puis il deviendra et restera positif dès que x aura franchi cette valeur.

16. D'après le n"* 15 une fonction continue ne peut changer de signe sans s'annuler. Mais (il importe de l'obser-

ver) une fonction continue peut s'annuler sans changer de signe : témoin la fonction continue j--, qui s'annule pour a: = o en restant toujours positive.

17. Voici enfin une conséquence immédiate de la proposition qui fait Tobjet du n"* 15.

Si xino fonction ç [x) est continue dans tin intervalle (//, />), il existe dans cet intervalle ait moins une valeur c de x pour laquelle ^ [x) acquiert une valeur donnée quelconque k comprise entre g (a) et 9 [h).

En effet la fonction / (.r) = 9 (x) — A* est continue dans l'intervalle (a, h), et les deux nombres f{a) et / {h) sont de signes contraires; donc il existe entre a et h au moins une valeur c telle que/ (r) = 0 ou que o [c) =^ /•.

D'ailleurs, à toute valeur /i de 9 (./) comprise entre 9 {a) et 9 (b) répondra une valeur unique de x, si 9 {x) est constamment croissante ou constamment décroissante dans Tintervalle {a, h).

FoiKHioiis î 11 verses

Itt. Soit y = 9 [x) une fonction bien définie et continue dans un intervalle («, b) ; désignons 9 [a) par a et 9 [b) par '^, Nous savons, d'après le n'* 17, qu'à chaque valeur de y comprise entre a et g correspond au moins une valeur de .r comprise entre a et b^ et qu'il n'en correspond qu'une si la variation de // ne change pas de sens lorsque x croît de a à b, (^est à cette condition que x pourra être considérée comme une fonction bien définie de y dans l'intervalle considéré.

On donne à la fonction x= à [y] ainsi définie le nom de fonction inverse de y ^^9 [x),

19. Cette fonction inverse est continue lorsque y varie entre a et 3. En effet, soient x^ et .r^ + h deux valeurs prises dans Tintervalle [a^ i), h étant aussi petit qu'on le voudra en valeur absolue. Désignons par y^ et y^ + k les valeurs

LES FONCirONS CONTINUES il

correspondantes de y. A toute valeur de y comprise entre Vq^^ îh + ^ répondra (n" 18) une valeur de x unique et comprise entre Xq et Xq + A, c'est-à-dire une valeur aussi voisine de Xq que l'on voudra; ce qui démontre la continuité dex=^ (y).

Révision sommaire des ioueCions élémentaires

20^ Les premières fonctions que Ton étudie dans les éléments d'algèbre sont les fondions entières et les fractions rationnelles. Le type des premières est

y = Aa?"» + B:p'« ' -F ... -f Hr + K,

où A, B, ... K sont des constantes et m un nombre entier et positif; le type des deuxièmes est

f [x] et ç {x) étant des fonctions entières.

On démontre en algèbre élémentaire que la somme algébrique et le produit de plusieurs fonctions continues sont eux-mêmes continus, tandis que le rapport de deux fonctions continues cesse d'être continu pour les valeurs de x qui annulent le diviseur. Il suit de là que les fonctions entières sont continues pour toute valeur de x qI que les fractions rationnelles sont continues pour toutes les valeurs de x qui n'anîiulent pas le dénominateur,

SI. Après les fonctions entières et les fractions rationnelles, on rencontre \9. fonction exponentielle a' et son inverse la fonction logarithmique.

On démontre que si a est un nombre positif, à" est bien définie et continue pour toute valeur de x positive ou négative.

CALCUL INPLMTÉSniAL. 2

Supposons « > 1 ; alors Texponentielle y = a^ croît de o à 4- 00 lorsque x croît de — oo à+ oo , en prenant la valeur 1 lorsque la variable x passe par zéro. Cette fonction élant continue et croissante, la fonction inverse est bien définie et continue (n*' 18 et 19) pour toutes les valeurs positives de y ; on lui donne le nom de logarithme de y dans le système dont la base est a et Ton écrit :

X = log y.

Dès que la base est choisie (parmi les nombres supérieurs à 1), le logarithme x de tout nombre positifycst fixé; il est positif ou négatif suivant que y est supérieur ou inférieur à 1. D'ailleurs, dans tout système, le logarithme de la base est égal à Tunité et le logarithme deTunité est égal à zéro ; on a, en effet, «* = a et a^ = i.

Nous n'avons pas à revenir ici sur les propriétés des exponentielles et des logarithmes que nous supposons bien connues du lecteur. Nous rappellerons seulement que, pour passer d'un système de logarithmes à un autre, il faut diviser les logarithmes primitifs parle logarithme primitif de la nouvelle base.

2.2. Dans les calculs numériques, on emploie les logarithmes dont la base est le nombre 10, base de notre système de numération; on y trouve l'avantage de pouvoir, à simple vue, écrire la partie entière ou caractéristique du logarithme d'un nombre décimal donué quelconque (voir l'Algèbre). Ces logarithmes sont dits logarithmes vulgaires.

En analyse, on emploie au contraire presque exclusivement le système considéré d'abord par Neper, l'inventeur des logarithmes; la base du système népérien est la limite vers laquelle tend l'expression

«« = i + î+ï72+ï:I:3 + - + ï:2:3:ïï^ (»)

lorsque le nombre entier et positif m croît indéfiniment.

LES FONXTIONS COiNTINUES 19

Il est fort aisé d'ailleurs de prouver Texistence de cette limite.

Désignons par \f. un nombre entier et positif moindre que m ; on aura

Et comme la somme entre parenthèses est égale à -^ on peut écrire

^it < e,n < e^+ Y^

Il suit de là que, si, laissant jjl fixe, on fail croître m indéfiniment, p,n croît sans cesse en restant inférieur à une quantité fixe; il a donc une limite déterminée (*).

En désignant, suivant un usage adopté depuis Euler, cette limite par la lettre <», on a les inégalités

qui, ayant lieu pour toule valeur entière et positive de [;., permettent de calculer e avec telle approximation qu'on voudra.

Par exemple en faisant i^ = 1, on voit que e est compris entre 2 et 3.

Voici la valeur de e avec 13 décimales exactes :

(*) Nous invoquons ici, comme au n* l'j, ua axiome dont on fait un fréquent usage en Analyse.

Lorsqu'une grandeur crott sans cesse (ou du moins ne décroit jamais) et reste inférieure à une quantité fixe, elle a une limite égale on inférfeurc à «ette quantité.

De même; lorsqu'une grandeur décroit sans cesse (ou du moins ne croit jamais) et reste supérieure à cette quantité fixe, elle a une limite égale ou supérieure à cette quantité.

Si Ton se bornait à calculer les 9 premiers chiffres décimaux, le retour fortuit des quatre chiffres 1, 8, 2, 8 dans le même ordre pourrait faire croire que e s'exprime par une fraction périodique. Ce serait là une fausse induction; In noînbre e est incommeiuurable. En effet, s'il était égal à une

fraction — à termes entiers, on aurait, en vertu des inéffa-

lités (9) :

d'où, en multipliant par 1, 2, 3..., y,

ce qui est absurde, puisqu'un nombre entier ne saurait être compris entre deux nombres dont l'un est entier et dont la différence est moindre que l'unité.

C'est Lambert qui, en 1761, a établi le premier l'incommensurabilité du nombre e\ en 1874, M. Hermite, dans son beau Mémoire sur la fonction expouentielle^ a fait voir que e était un nombre transcendant^ c'est-à-dire non susceptible d'être racine d'une équation algébrique à coefficients rationnels.

Dorénavant, pour éviter toute confusion, nous désignerons les logarithmes népériens par le symbole log et les logarithmes vulgaires par le symbole Log; on aura donc, d'après la règle citée ci-dessus (n** 21)

\^^ =Log«= T— ^ = 0,43429ii8...

log y ® log 10

ât). Lorsque m est commensurable, d'ailleurs positif ou négatif, on sait, d'après l'algèbre, que ^•"' a une valeur /;o.v/tive unique pour chaque \d\(i\xv positive de .r.

On a donc alors, en vertu des propriétés des logarithmes

log a*** = m log .V

et par suite

Celte égalité, démontrée ainsi pour m commensurable, est prise pour définition lorsque m est incommensurable ; elle montre que si m est positif, .r*" est croissante et continue dans tout intervalle limité par deux nombres positifs. En effet, en premier lieu, quand a: croît dans Tintervalle considéré, log j: croît; par suite, il en est de même de m log x puisque m est positif, et enfin de Texponentielle ^"''"^ ', c'est-à-dire de x"*. En second lieu, lorsque x varie d'une manière continue dans Tintervalle susdit, il en est de même de logo: (n** 21) et, par suite, aussi de Texponentielle e""' ^"^ ', c'est-à-dire de a:"*.

I2i. Il nous reste à parler des fonctions élémentaires fournies par la trigonométrie.

Soit A un point fixe pris sur une circonférence de rayon 1, M un point quelconque de cette courbe et P la projection de M sur le diamètre OA; PM = sin X et OP = cos x sont des fonctions bien définies de Tare AM = x (*). Elles sont d'ailleurs continues; car, lorsque l'arc AM varie d'une quantité MM' aussi petite qu'on veut, les variations correspondantes Fig. \.

IM'jMI du sinus et du cosinus sont moindres en valeur absolue que la corde MM', laquelle tend vers zéro en même temps que l'arc MM'.

Les formules fondamentales :

sin a? , ^

Ig ap = sec X =

cos X cos X

OOSiT . 1

coiffer = -: coseca? — ^^ — »

" sm X smo?

{}) La longueur d'un arc de courbe a été définie en géométrie: c'est la limite vers laquelle tend le périmètre d'une ligne brisée inscrite dans cet arc, lorsque les côtés de celte ligne brisée tendent vers zéro ; on a démontré, d'ailleurs, que cette limite existe et ne dépend pas de la loi suivant laquelle les côtés de la ligne brisée tendent vers zéro. Enfin, on a déduit de là que le rapport d'un arc à sa corde a pour limite Tunité lorsque cet arc tend vers zéro. (Voir le Traité de Géométrie de MM. Uouché et De Comberousse).

montrent que tg x et sec x sont continues, sauf pour les valeurs de x qui annulent cos.r, et que cotg^ et coséc x sont continues excepté pour les valeurs qui annulent sin y.

Les six fonctions sin .r, cos j-, tg jr, cotg r, séc x^ coséc Xy portent le nom de fonctions circulâmes directes. L'étude de leurs propriétés constitue Tobjet principal de la trigonométrie que nous supposons connue des lecteurs.

Nous devons cependant ajouter quelques mots sur les fonctions circulaires inverses,

La fonction x =siny étant continue et croissante lorsque

la variable indépendante y croît de — ^ à ^? l'inversion est

permise (n" 18); et si Ton désigne par yj Tare compris

entre — 5 ^^ 5 dont le sinus est égal à x, y^ est une fonction

bien définie et continue de x lorsque cette variable reste comprise entre — 1 et +1. Cette fonction //, ne représente qu'une branche de la fonction ambiguë y qui serait astreinte uniquement à satisfaire à la relation x = sin y et que Ton désigne habituellement par arc %mx ; on a, en effet, par la trigonométrie,

arc sina? = Atc + t — ^f !/{>

k étant un nombre entier quelconque positif ou négatif. A chacune des valeurs en nombre infini de l'entier k répond une détermination spéciale de arc siuj-, laquelle reste bien définie et continue en môme temps que y, lorsque x varie de — 1 à + 1 .

Des raisonnements analogues conduisent aux conclusions suivantes :

L'arc compris entre 0 et t dont le cosinus est égal à x est une fonction bien définie et continue de x, lorsque cette variable reste comprise entre + 1 et — 1 ; en désignant cette fonction par y^, on a

arc cosa? = SAtc ± y^^

et, à chaque valeur entière positive ou négative de k

répondent deux déterminations de arc cos x qui sont bien délinies et continues, en même temps que y,, c'est-à-dire lorsque x est compris entre — 1 et + 1 .

L'arc compris entre — ô ®'' 5 ^^'^^ '^ tangente est égale

à X est une fonction bien définie et continue pour toute valeur déterminée de x. En désignant cette fonction par y,, on a

arc tgo? = Att + y^

et à chaque valeur positive ou négative de l'entier k répond une détermination de arc tg x qui est bien définie et continue en même temps que y,, c'est-à dire j)our toutes les valeurs déterminées de X.

Pour éviter des redites fastidieuses, nous laisserons au lecteur le soin de fixer lui-même d'une manière analogue le sens des fonctions inverses.

arc séc œ^ arc coséc a?, arc cotg x^

qui sont d'ailleurs peu usitées.

Fouction de Fonctions

25. Lorsque plusieurs variables y, s:, w, x sont telles que chacune d'elles soit une fonction bien définie de la suivante, la première y est évidemment une fonction bien déterminée de la dernière x ; on lui donne le nom de fonction de fonctions.

Telle est, par exemple, la fonction

y = sin (a?*), qui est définie par les relations

V = sin M, w = 0?'

Il est aisé de voir que si les fonctions

y = f[z), ^ = t(«)» uz=^{œ) (H)

sont continues^ y est une fonction continue de x.

En effet, désignons par Xq une valeur déterminée parmi celles que peut prendre la variable indépendante a:, et par Wq, Zq, ^q, les valeurs de z^A^ ti et de y qui lui correspondent envertu des relations (11). Lorsque x tend vers Xq, u tend vers Wq puisque ^ {x) est continue; par suite z tend vers Zq puisque ç (m) est aussi continue, et enfin y tend vers ^q, en vertu de la continuité de / {z),

26. Il résulte de là que si u désigne une fonction continue dex, les fonctions sini/, cos ti^ arc sin «/, arc cosi/ sont des fonctions continues de la variable x ; il en est de môme pour a" si a est positif, et aussi pour log w et w^'= ^»iog« gj ^^ ^j ^ sont des fonctions continues de x et si de plus u est positive; la fonction ii'' contient d'ailleurs comme cas particulier t<"*, m étant une constante quelconque.

FoKiotion de plusieurs variables

i57. Soient j-, y,... plusieurs variables indépendantes qui peuvent prendre, la première toutes les valeurs comprises dans un intervalle («, a'J, la seconde toutes les valeurs appartenant à un intervalle (i, è'),... L'ensemble de ces intervalles constitue ce qu'on nomme le champ dar.s lequel se meuvent les variables x^y, ...

Une fonction u = f(x, y, ...) de plusieurs variables indépendantes est bien définie dans un certain champ, si, àchaque système de valeurs de j-, y, ... comprises dans ce champ, répond une valeur déterminée de u et une seule.

Une telle fonction est dite continue pour x = x^^ y = yo, ... si /(a-, y,...) a pour limite / {xq, yo ...) de quelque manière que j-, y, ... tendent vers Xq^ y^ ... ou, en termes

plus précis, lorsque à tout nombre positif donné e aussi petit qu'il soit répondent des nombres positifs a, 3, ... tels que les inégalités

la; -«?J < a | y y J < p,...

entraînent

l/'(«>yv..) — /'(^o'yo»--)l < «»

Les propositions énoncées dans le dernier alinéa du n** 20 subsistent quel que soit le nombre des variables indépendantes. Ainsi, les fonctions de plusieurs variables qu'on obtient en exécutant sur ces variables et sur des constantes des additions, soustractions, multiplications ou divisions, sont continues pour tout système de valeurs des variables qui n'annule pas le dénominateur.

Fonction composée