Trouver le yninimum de P expression

^ [x) iin e* -f- c'-* -\- 2 cos jp. (7)

Sa dérivée

cp»(a;) z= e^ — e-^ — .2sina7

s'annule pour x = o\ mais cette valeur x = o annule aussi les dérivées

cp" [a-) ■= e' -j- e-^ — 2 coso?, et

<p'"(a') =ze^ — e-^-{-2 sin.r,

tandis qu'elle rend la dérivée quatrième

:p"- (x) = e^ + e-^ + 2 coso;

positive et égale à 4. Donc (n** 2H) o{x) = 4 est un minimum de 9 [x).

Il est aisé de voir d'ailleurs que j- = o est la seule racine réelle de ^' (x) rr= o; on effet, si on remplace, dans ^' {x), f'% e~' et sinx par leurs développements

$inx= 1-1.'2.3+-'

on obtient l'expression

^' (-''^ = ''"■' • (îTiTâ + 1 . l... 7 + 1 . t... H + •••)'

dans laquelle le facteur entre parenthèses est constamnn-nl positif; ^ ix) ne s'annule donc que pour .r = o; or, comuie alors cette dérivée passe du négatif au positif, on retrou^ e, par Tapplication de la règle du n° 209, les conclusions que nous a données, dans Talinéa précédent, l'application de la règle du n° 2H.

2i 1 0. Deux milieux étant séparés par un plan horizontal \\ la Inmiore se meut dans le premier milieu avec une vite.\s*' constante u, et dans le second milieu avec une vitesse cott^tantf r. On demande quelle route la lumière doit suivre pour

CHxXPITRE XIII

atler^ dans le (emps le plus courte (Vtui point A du premier milieu à tin point B du second.

Soient A' et B' les projections des points A et B sur le plan P. Le chemin demandé, qui se compose de deux portions do droite, est situé dans le plan vertical AA'B'B; en effet, soit G un point situé sur le plan P en dehors de la droite A'B', et L la projection de G sur A'B', on aura AL < AG et BL <; BG, en sorte que la lumière mettra moins de temps à suivre le chemin ALB qu'à décrire le chemin AGB.

Tout revient donc à chercher sur AA' le point H, tel que le chemin AHB soit parcouru dans le temps minimum.

Désignons par IX la verticale du point H, et posons AA' = a, BB' = A, A B' = d, AUX = /, BHl = /•.

Fio. 6.

Le temps à rendre minimum a pour expression

u cos/ V cosr'

/ et /• étant liés par la relation

d =.a tangî -f- b langr.

Donc, en égalant h zéro la dérivée par rapport à i de l'expression (8), et désignant par / la dérivée de r par

MAXIMA ET MliSlMA 223

rapport à i, on aura Téquation

a sine , ô sinr , ...

u cos^ 2 î? cos^r

à laquelle il faut adjoindre celle qui provient de la différentiation de la relation (9)