CL . h
-+'::7n^- r =0. (Il)
cos^ i ' cos^ r
L'éliminalion de / entre (10) et (11) donne immédiatement
smi «
sinr V
pour la condition du minimum.
Remarque importante
âl7. Souvent la variable jr, au lieu de pouvoir prendre toutes les valeurs possibles, est astreinte à rester inférieure ou supérieure à certaines limites. Alors, a désignant l'une quelconque de ces valeurs extrêmes, ç{a) peut être un maximum ou un minimum, sans que a soit une racine de Téquation dérivée ^'(x) = o.
Considérons, par exemple, le cercle x^ -h y- = R- et un point A (rt, o) différent de l'origine. La distance AM d'un point quelconque M (x, y) du cercle au point A devient maximum pour j: = R et minimum pour x = — R; et, cependant, aucune de ces valeurs extrêmes de x n'annule l'équation dérivée, puisque la dérivée de l'expression
ÂM'^ = Ra + «2 .7^ ,.
se réduit à — 2a.
Pour avoir un exemple plus complet, reprenons la ques-
224 CHAPITRE XllI
tion précédente, en remplaçant le cercle x'^ 4- y - = R^ par la parabole y- — 2px = 0. On a alors
AM^ = (ar — a)2 4. y-^ = (.,• — a^ + 2/).r,
et Téquation dérivée se réduit à
dont la racine unique a — p doit Otre rejetée, si a est inférieur kp, puisque la variable x est astreinte à rester positive. Si a est supérieur à /?, la racine a — /; est l'abscisse commune à deux points M, et M^, de la parabole, symétriques par rapport h Taxe ox. (^omme la dérivée seconde est positive, AM, et AMo sont des minima de la distance AM. Mais cette distance AM possède encore évidemment un maximum ou un minimum ; c'est la distance AO du point A au sommet 0, laquelle est un maximum ou un minimum, suivant que le point A est intérieur ou extérieur à la parabole. Or la règle du n° 209 laisse échapper cette solution, puisque la dérivée ne s'annule pas pour x = o.
mu. Il est aisé de trouver la raison de la singularité dont nous venons d'indiquer deux exemples.
La définition du n"* 207 et les raisonnements qui ont conduit à la règle 209 supposent que, si 9(2) est un maximtim, la différence ^(a + A) — 9(2) est négative, quel que soit le signe de la quantité très petite h. Or Taccroissement h a un signe déterminé pour x ~— a, puisque a est une limite inférieure ou supérieure de la variable x. Les raisonnements fondés sur ce que le signe de A est arbitraire ne subsistent donc plus.
iil9. La singularité dont il s'agit ne saurait se présenter si, au lieu de Tabscisse x du. point M, on choisit une variable u susceptible de prendre toutes les valeurs possibles, car alors la théorie exposée aux n" 209, 210, 'Jli, est applicable. En posant x^:^'l(t() et désignant par V la
foaction ^(z) donl on cherche les maxima et les minima, on a
^ = cp'(xM.f (t/), (13)
et la présence du facteur 4;' (w) montre que -3- peut s'annuler
sans que <p'(a:) s'annule.
Dans le premier exemple du n** 217^ si Ton pose
a? = R cosu, on a
©' (œ) =i — %a, 'Y {u) = —R sin w,
et par suite
-r- = 2aK sinu.
du
En égalant cette dérivée à zéro, on obtient les valeurs y = o, î/ = T7, qui répondent respectivement au minimum et au maximum de AM.
Dans le second exemple (cas de la parabole), si Ton pose
on a
^' {X) = 2 (.r — a + p), y (u) = Apu,
et par suite
=:8p(.i' — rt-fp);!.
En égalant cette dérivée à zéro, on obtient les valeurs
relatives aux maxima et aux minima de la distance AM.
Les considérations et les exemples qui précèdent sufGsent pour montrer la nécessité de tenir compte, dans les questions de maximum et de minimum, du choix de la variable indépendante.
CALCUL llfFimTÉSIMAL. IS
Cas d'une fonction explicite de m variables liées par m — 1 équations
ââO. On peut, sans altérer ]a généralité de la méthode, prendre m = 3. Le problème est donc le suivant : trouver les maxima et les minima de la fonction
les variables x^ y, z, étant astreintes à vérifier les conditions
fi (•». y, ^) = o, (13)
Les deux équations de condition (15) et (16) définissent y et z en fonction de a:, de sorte que V est une fonction composée de la seule variable indépendante œ^ dont il faut égaler la dérivée à zéro.
On obtient ainsi la relation
à laquelle il faut joindre les deux suivantes
^œ ^ ^y dx ^ 'bœ dx ^ '
qui résultent de la différentiation des équations de conditions. L'élimination -ir et de -7^ entre les trois équations
ax ax ^
(17), (18) et (19), donnera la relation
iy
lu
Jy
^ia
qui, conjointement avec (15) et (16), fora connaître les valeurs de X, y, s, propres à rendre V maximum ou minimum.
221. La résolution des équations (15), (16), (20), est souvent facilitée par l'adjonction de deux nouvelles inconnues Xj et Xq, et par suite de deux nouvelles équations. Voici comment :
Soit (x, ?/, z) une solution des systèmes (15), (16), (20). Le déterminant (20) ne change pas lorsqu'on ajoute aux éléments de la première ligne ceux de la seconde ligne multrpliés par Xj et ceux de la troisième par X2. Dès lors, si on détermine Xj et Xo par les équations que Ton obtient en égalant à zéro deux des éléments de la première ligne du déterminant A ainsi transformé, la condition A = o entraînera l'annulation du troisième élément de cette ligne, et Ton aura trois équations
ta:+''t+'^i^ = '^
i!£4.X iî^4.1 il-o
qui, conjointement avec (15) et (16), détermineront les cinq inconnues x, y, z, X, et Xo.
Les relations (21), (22), (23), sont faciles à retenir : il suffit de remarquer que lettrs premiers membres sont les dérivées partielles par rapport à x, y, z, de Vexpression
dans laquelle X, et k^ >^ont 'regardées comme des constantes. Pour établir la distinction entre les maxima et les miniraa, il faudrait avoir recours au signe de la dérivée seconde. Le calcul de cotte dérivée n'offre pas de difficulté théorique, mais il est parfois pénible ; on s'en dispense le plus communément, car la nature de la question permet, en général, de reconnaître a priori s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum.
2122. Nous allons appliquer la théorie précédente à la recherche des axes de la section de l'ellipsoïde
g + ^+fI-l = o. (23)
par un plan
ouc -i- fky + -^z = o, (26)
passant par Vorigine^ c^est-à-dire par le centre.
Les longueurs des axes en question sont le maximum et le minimum de la distance qui sépare le centre d'un point quelconque de la surface. Il s'agit donc de trouver le maximum et le minimum de la fonction
les variables x, y, 2, devant satisfaire aux deux équations de conditions (25) et (26).
A cet effet formons, conformément aux prescriptions du n° 221, l'expression
^> + y^ + ^^ + X,(^-fg + f^-l)+2X,(x.r + py + y^),(28}
et égalons ses dérivées partielles à zéro. Nous aurons les équations
qui, conjointement avec (25) et (26), déterminent les mulUplicateurs Xj, Xo, ainsi que les coordonnées x^ y, z, dun sommet quelconque de la section.
Pour obtenir les longueurs des axes, il faudra éliminer X, jr, s, X|, Xov entre les équations (25), (26), (27) ei (29), (30), (31). On y parvient aisément comme il suit :
D'abord, en ajoutant les trois dernières équations respectivement multipliées par r, y, 2, et ayant égard aux trois premières, on a X^ == — v. Puis, en portant cette valeur de X^ dans (29), (30), (31), résolvant par rapport à or, y, z, et enfin substituant les valeurs ainsi trouvées dans la relation (26), on obtient Téquation en v
qui donne les carrés des longueurs des deux axes de la section.
Misixiina et minima des fonctions de plusieurs varialiles indépendantes
22d2:i. On dit qu'une fonction 9 {x, y, ...) de n variables est maximum pour les valeurs «, A, ... attribuées respectivement à x^ y, ..., si Ton peut trouver un nombre positif t assez petit pour que la différence ç (x, y, ...) — o [a, b, ..-) soit négative pour toutes les valeurs de a: — a, y — //, ... comprises entre — s et + s.
Il y a minimum lorsque la différence ci-dessus est/tosllive dans les mômes conditions.
Nous supposerons, dans la suite de ce chapitre, que la fonction 9 {x, y, ...) et ses dérivées partielles jusqu'à Tordre dont on aura besoin soient continues. Les cas de discontinuité ne comportent pas de solution générale ; ils devront être étudiés à part dans chaque question.
230 CHAPITRE xni
Posons
x = a-\-xt, y = b + pt,
d'où
,f{x,y, ...) = <f{a-^oit,b-\-^t, .
et par suite
F(0 = «9iK y, ...) + Pf'{x, y, ...) + ..., (35)
Cela posé, si 9(0:, y, ...) est maximum ou minimum pour a: = a, y = A, ..., F(/) sera maximum ou minimum pour ^ = o. Donc, d'après la théorie des maxima et minima relative aux fonctions d'une seule variable, on doit avoir F' (0) = 0, c'est-à-dire
acpi {a, h, ...) + pçp;(a, h, ...) = o,
relation qui, devant avoir lieu quelles que soient a, g, ..., se décompose en les suivantes
çpi {a, b, ...) — o, <p; [a, b, ...) = o ... (37)
On voit de la sorte que les systèmes de valeurs propres à rendre ©(a:, y, ...) maximum ou minimum ne doivent être cherchés que parmi ceux qui annulent les dérivées partielles du premier ordre de 9 (jr, y, ...).
(a, 6, ...), étant un tel système, il y aura maximum ou minimum, suivant que la dérivée seconde F'' [0) sera négative ou positive pour toutes les valeurs de a, g, ..., différentes de zéro. Or, d'après la formule (4), F"(o) a pour expression
aV- («. ^ •••) + PVJi. («. ^^ •••) -h •.. + M^xy [a, à, ...) + ...
C'est une fonction entière et homogène du second degré des variables a, g, ... que nous désignerons par V. On est donc ramené à ce problème d'algèbre : trouver les conditions pour
que la fonction V conserve un signe conslanL le r^i^mt! + par exemple.
Ordonnée par rapport à a, la fonction V prend la Inirinî
V =Aa2 + 2Pa-f-Q;
elle se réduit à Aa^, lorsque les autres variables 3, ..., rimil nulles ; on doit donc avoir en premier lieu
D'autre part, si Ton pose
