V, 3= AQ - P
on obtient la relation
AV==(Aa + P)2 + V,.
L'expression entre parenthèses s'annule pour
quelles que soient g, ... ; il faut donc que V, ^uii L[iii??Lnmment positive.
Ainsi les condi lions pour que V soit constahuu(*ni posi/ir^ sont que Ion ait X> o et que Vj soit constafinni^tit pftstnrr.
Or V^ est, comme V, une fonction entier*' linmogèiie oL du second degré, mais ne renfermant que n — 1 variabli3s. En appliquant à V^ le raisonnement sur V, on vuiL que les conditions pour que Vj reste positive consisttMil ^^n ce qu'unis certaine quantité déterminée k^ soit posith«' A i|u'LiiiL' certaine fonction Vj entière homogène du si^'ooml ib'yrL^ an — 2 variables reste positive.
En continuant de la sorte, on trouvera les tt conditions nécessaires et suffisantes
pour que V reste toujours positive.
iSâ4« Si I*OD considère en particulier le cas de deux variables x et y, on a
V = ci, (a, h] a> + 2^iy (û, *) aô + ^l, [a, h) p^
Les conditions pour que V reste positive sont, d'après cela,
?i-c(a, ^) > o et cp;x(a, *) ?5v («1 ^^) — (?xy(ûi ^))'j > 0. lesquelles entraînent d'ailleurs évidemment
Pour passer du maximum au minimum, on changerait le sens des inégalités.
Sâ5« Nous avons supposé que les dérivées partielles du second ordre de la fonction ç (j:, y, ...) n'étaient pas toutes nulles simultanément pour x = a, y = ô, ... ; sinon il faudrait que les dérivées troisièmes fussent nulles et qu'une certaine fonction entière homogène du quatrième degré conservât un signe constant.
On continuerait de la sorte; mais les calculs qu'exige wtte discussion deviendraient bien vile inextricables.
âS6. Au lieu de dire que les dérivées partielles
s'annulent toutes pour les valeurs a, é, c, ..., qui rendent une fonction ^(j^, y, 2, ...) maximum ou minimum, il équivaut évidemment de dire que la différentielle totale
^x cy ^ ^ ùz
s'annule, quels que soient rfr, </y, rfz, ...
MAXIMA ET MINIMA "tSS
2227. D'après la théorie qui précède, les valeurs des variables relatives au maximum ou au minimum d'une fonction doivent annuler les dérivées partielles de celte fonction, à moins que ces dérivées soient discontinues. Mais il peut se faire, comme Ta remarqué M. Bertrand, que les dérivées partielles d'ttne fonction cessent d'être déterminées pour certaines valeurs des variables, et que ces valeura. rendent en même temps la fonction maximum ou minimum.
Voici l'exemple môme que M. Bertrand a choisi pour justifier son assertion :
Trouver dons le plan d\in triangle ABC un point M dont la somme des distances aux trois sommets soit u)i miniminn.
Soient (>, y), (x^, y^), (jto, yo)> (-^3» y^)^ '^s coordonnées des points M, A, B, C, par rapport à des axes rectangulaires quelconques; l'expression à rendre minimum est
et il faut égaler à zéro sa dérivée par rapport à x, et sa dérivée par rapport à y, ce qui donne
y—Vk , .y -.Va , .V— Va
sl[x—œ,Y-\'[y—y,\^ Vf.r— a?.,)«+f.?/-y,)''* s!(x-x^;'+{y - y^)
Kn désignant par aj, x„ a^ les inclinaisons de MA, MB, MC, sur Taxe de x, on remplace les équations (39) par les suivantes
cosx, + cosaj + cosaa = o, sina, + sin a, -}" sina, — o, (40)
d'où l'on déduit, en isolant cosa^ et sinaget ajoutant la somme des carrés
cos(a, — «j) = — ^; ^41)
on trouverait pareillement
ces . xj — aj) = ^ -. ces [3t3 — X, j == — -
Les angles AMB, BMC, CMA, sont donc tous les trois égaux à 120'', et le point cherché est celui d*où Ton voit, sous un angle de 120**, chacun des côtés du triangle ABC.
11 importe de remarquer que le point d'où Ton voit chacun des côtés du triangle ABC, sous un angle de 120'', cesse d'exister lorsque Tun des angles de ce triangle surpasse ^20^ Alors les équations (39) sont incompatibles, quoiqu'il résulte de la nature de la question que le minimum existe encore. Pour trouver la solution qui convient à ce cas, remarquons
que les dérivées partielles (89) se présentent sous la forme -•>
si l'on prend pour le point cherché Tun des sommets A, B, C, c'est-à-dire, si on remplace, dans ces dérivées, les coordonnées courantes par celles de l'un des points A, B, C. C'est donc l'un do ces sommets qui résout la question; et, comme la somme des distances se réduit alors à la somme de deux côtés du triangle, le point cherché sera le sommet de Tangle obtus.
Généralisation du n' 2âO
228. Soit 9 (x, y, :;, ...) une fonction de m + n variables liées par n équations.
de sorte qu'il reste m variables indépendantes.
Pour rendre la fonction ç maximum ou minimum, on devra poser d^ = o, c'est-à-dire
^rf^ + ^îrfy-|-^-2rfz+... = 0, (43)
MAXIM A ET MINIMA "i'M
puis joindre à cette équation les n suivantes
— dx+ — dyJ^—dz + ...=o
qui résultent de la différentiation du système (42).
Après avoir éliminé n différentielles, dx, ^/y, rfs, ...» entre les [n-\-\) relations (43) et (44), on égalera à zéro les coefficients des m différentielles restées arbitraires, cH Ton obtiendra de la sorte m équations, qui, jointes aux n équations (42), détermineront les systèmes de valeurs de x^ y, 2, ..., propres à rendre la fonction o maximum ou minimum.
Pour exécuter avec élégance Télimination dont nous venons de parler, nous ajouterons uTéquation (43) les équations (44), respectivement multipliées par les facteurs indc*lerminés Aj, Xo, A3, ..., X,,, V^^ ''^^ choisira de manière h faire disparaître n dilférentielles; mais, comme on devra ensuite, d'après ce qui a été dit dans Talinéa précédent, égaler à zéro les coefficionts des m différentielles restantes, on voit qu'en définitive les coefficients de toutes les différentielles devront être égalés à zéro. Les équations ainsi formées^
sont au nombre de m + /î. En leur adjoignant les n rela-
lions (42), on aura m + 2n équations pour déterminer les m -+- 2/1 quantités, X^, ..., X„, et x, y, z, ...
De là résulte la règle suivante : Pour obtenir les maxitna et les minima dune fonction ^ de m. -\- n variables^ liées entre elles par n relations /^ = Oj, ...,/« = o, on annulera les dérivées partielles^ par rapport aux m + n variables^ de la fonction
9 + ^ifi + ^2/a + ••• + ^«A^
où fon regardera Xj, Xo, ..., X„, conune des constantes. On obtiendra de la sorte m + n équations, qui y jointes aux n équations de liaison /'^ = o, /^ = o, ...,/„ = o, donneront les quantités X^, ..., X„, ainsi que les valeurs des m +n variables, x. y, 5, ..., correspondent aux maxinmou minima de ^,
12^9. Supposons, pour prendre un exemple, qu'il s'agisse de trouver le minimum de la fonction
les trois variables .r, y, z, étant liées par la relation
ax 4- by -\- cz = k, (46)
où a, ô, c, k sont des constantes données.
D'après la règle du numéro précédent, on est conduit à égaler à zéro les différentielles partielles par rapport à j:, y, s, de l'expression
aj2 + y3 4. ^2 + 2X(rt.r + by + cz -^ k).
On obtient de la sorte les trois équations
a? + rtX = o, y + èX = o, -3: -[- c = o, (47)
qui, conjointement avec (46), détermineront ./•, y, 5, après qu'on aura éliminé X.
MAXIMA ET xMIiNIMA 2^7
On déduit des équations (47) les égalités
z y £ gnc 4- ^y -h c^ A .
d'où résultent, pour les valeurs de x, y, z relatives au minimum de <p,
ak hk ck ,
^-a« + ôa + c«' ^"a^ + b^ + c''^ ^-a^^b^ + c^ ^ '
et, par suite, pour la valeur minimum de 9,
D'ailleurs Tinterprétation géométrique montre immédiatement qu'il s*agit ici d'un minimum; 9 représente en eflol le carré de la distance de Torigine à un point (r, y, z) dn plan ax -{- hy -\- cz = k.
.\laxiina et miniina des fonctions implicites
230. Soit y une fonction liée à une variable x par uiil» équation
non résolue par rapport à y. Pour trouver les maxima et 1rs minima de y, on différentiera l'équation (49), ce qui donne la relation
laquelle se réduit à
238 CHAPITRE XIU
pour les valeurs de x qui rendent y maximum ou minimum.
On cherchera donc les divers couples [x^^ yj, (x.2, yg), (^3, y3), ..• de solutions communes aux équations (49) et (5d), et c'est parmi les termes de la suite x^, arg, X3, ... que se trouveront les valeurs de x relatives aux maxima et aux minima de y.
Pour reconnaître si une solution des équations (49) et (51) répond véritablement à un maximum ou à un minimum, il faut considérer la dérivée seconde. En différentiant l'équation (50), on obtient la relation
laquelle, par l'introduction de la condition y' = o, se réduit à d'oîi
Il y aura maximum ou minimum suivant que la solution considérée rendra le second membre de (53) négatif ou positif.
Si-r^ est nul, il faut recourir aux dérivées d'ordre supérieur.
Considérons, comme exemple, la fonction implicite y définie par Téquation
fix, y) = x' +y'- kxy = o. (54)
On a ici
Le système formé par Téquation (54) et par Téquation x^ — y = o ont pour solutions communes x = ± y/3, y= ±v/27; d'ailleurs la dérivée seconde, c'est-à-dire le second membre de la relation (53), est négative pour x = -+-)j3 et positive pour x = — >/3; il y a donc maximum dans le premier cas et minimum dans le second.
231 • Supposons maintenant que Ton ait m + 1 variables liées par m relations, par exemple quatre variables ar, y, z,w, liées par trois équations
X étant choisie pour variable indépendante, y, z et « seront des fonctions de x. Considérons Tune quelconque de ces fonctions, li par exemple. Pour trouver les valeurs de x qui répondent aux maxima ou aux mininia de ?/, on différentie les relations (56), en traitant y, z, w comme des fonctions de x et tenant compte de la condition
ce qui donne
du dx
ox ^y dx ^z dx ^x ^y dx 1>z dx Doj ' Dy dx ^^ ^z dx
On élimine ^^ -j-t et Ton obtient une équation qui, de
concert avec les relations (56), détermine .r, y, 2, u.
En différentiant de nouveau les relations (56), on
dru obtiendra -7-2 ; on y substituera les valeurs trouvées pour x.
y, z, u, et, suivant que le résultat obtenu sera positif ou négatif, u sera un maximum ou un minimum.
Observons d'ailleurs que Télimination de^et de -^ pourra
se faire par la méthode des multiplicateurs. A cet effet, on ajoutera les équations (57) multipliées respectivement par 1, X et ji., et on choisira les multiplicateurs X et ji., de telle sorte que
dans le résultat les coefficients de -f^ et de -r soient nuls.
ax dx
^3â. Considérons enfin le cas d'une fonction implicite de plusieurs variables indépendantes.
Soient, par exemple, trois relations
entre deux variables indépendantes, jr, y, et trois fonctions. 2, ?/, r de ces variables; il s'agit de trouver les raaxiraa ou minima de Tune do ces fonctions, de v par exemple. On doit avoir
r- ::::- O, — zn O,
et par suite la différentielle totale de r, c'est-à-dire
doit (>tre nulle.
En différentiant les équations (58) et ayant égard à la condition dv = o, on aura les relations
^^. + |.rfy + g^. + grf„ = o . (59)
MAXIMA ET MINIMA ±\i
dans lesquelles dx, dy sont constantes, tandis que dz et du sont les différentielles totales de u et de i\ considérées commr des fonctions d'j? et d'y.
L'élimination de dz et de du entre les équations (59j donnera une relation de la forme
Pc/a? + Çldy = o,
qui, puisque dx et dy sont indépendantes entre elles, se décompose dans les deux suivantes
Les équations (58) et (60) donneront les valeurs demandées de or, y, z, ?/, v.
Pour la distinction entre le maximum et le minimum, il faudra avoir recours au signe de la différentielle totale du second ordre dh\
Méthode de Fermât
233. Nous ne saurions clore ce chapitre sans faîro connaître brièvement la première méthode générale, pour la recherche des maxima et des minima. Cette méthode, due à Fermât, est fondée sur Tobscrvation suivante :
Quand une fonction continue ^{x) passe par un maximum ou un minimum, elle prend, un peu avant et un peu après cet état critique, les mômes valeurs avec ou sans symétrie. La considération de la courbe représentée par Téquationy = 9 [x) rend intuitif ce principe, d'où découle la règle suivante :
Pour c/iercher dans quelles circonstances une grandettr variable devient maximum ou minimum^ on exprimera que cette grandeur^ considérée dans deux états infiniment voisins, a la même valeur. Légalité qui en résulte, prise à la limite oii les deux états se confondent, fera connaître une propricfé caractéristique du maximum ou du minimum.
Cette règle a son importance propre, à côté de la théorie
CALCIL IXFIXITÉSIMAL. 16
analytique (n*»209 et 211), qu'elle remplace parfois avec avantage, surtout dans les questions géométriques. Voici quelques exemples :
V Etant données deux droites Oxet Oy, et deux points A et B su?' Ox, trouver le point M de Oy, tel que l'angle AMB soit maximum.
Soit M' un point de Oy infiniment voisin du point cherché M. L'égalité des angles AMB, AM'B, exige que le quadrilatère ABM'M soit inscriptible. A la limite, quand M' se confond avec M, la droite Oy devient tangente au cercle ABM ; la recherche du point M revient donc à trouver le point de contact d'un cercle passant par deux points donnés A et B, et tangent à une droite donnée Oy; en d'autres termes, la distance OM est moyenne proportionnelle entre OA et OB.
On reconnaît en effet, a posteriori, que tout point de Oy, autre que le point de contact M, étant hors du cercle, est le sommet d'un angle moindre que AMB.
2° Par un point A, pris dans le plan d\in angle yox, mener une sécante ABC, telle que le produit AB . AC soit minimum.
Soit ABC une sécante infiniment voisine de la sécanli» cherchée; le quadrilatère BB'CC est inscriptible, puisqu'on a AB. AC = AB'. AC. A la limite, le cercle qui passe par les quatre sommets devient tangent en B et C aux côtés de l'angle yox\ la corde de contact BC doit donc cMre perpendiculaire sur la bissectrice de l'angle yox.
\otions pr<^ liminaires
â3'4. Ce (•ha|)itre a pour objot l'étude des séries dont les termes sont des fonctions d'une même variable.
Mais, pour ne pas entraver Texposition de cette théorie, nous allons d'abord dire quelques mots sur la notion dinlétjrale définie.
Reportons-nous au n** 3 et considérons le trapèze aAMjji, qui est compris entre un arc AB de la courbe 1/ = f [.i]. Taxe des .r et les ordonnées aA, ji.M, correspondant aux abscisse!^ jCq et X; nous avons démontré que Taire de ce trapèze est In limite de la somme
{^K — -''o) Vo + G^'a — -^'i) i/i + ••. (^ - ^V-i^S/pi-p '1) lorsque, x^ et X n;stant fixes, chacun des intervalles •^1 — oc„. .''2 — •'*,, .-. X — j?pL-i
tend vers zéro.
On représente cette limite de somme par la notation
f}u)dx,
que Ton nomme somme de .v^ à X, ou intégrale définie dr la dilféren lielle f(.r)dx.
Si» J^^^j restant constant, X est variable, l'intégrale (2) devient une fonction de X, qui (n® 4) a pour dérivée /(X), c'est-àdire est une fonction pnnntivp de /(X).
Or, si ç (X) désigne une fonction primitive quelconque de (X), 0 (X) — 9 [x^ sera celle des fonctions primitives de (X), qui s'annule pour X = Xq, et comme l'expression (2) représente cette môme primitive, on a la formule
/ f {x\ dj' =z o (X) — o (.4
qui est fondamentale.
Observons enfin que la lettre x, qui figure au premier membre de la formule précédente, peut être remplacée par toute autre lettre.
Convergence» uniforme
1235. Considérons une série
Un\OC},
dont les termes sont des fonctions déterminées d'une variable X, et supposons que celte série soit convergente, lorsque x prend une valeur quelconque comprise dans un intervalle (//, f)), fini ou infini. 11 résulte de la définition môme de la convergence que Ton peut trouver un nombre positif N tel que, pour ?i ^ N, on ait
I Rn(^\i I < e.
s étant une quantité arbitraire donnée à l'avance, et R«1J^) désignant le reste
Un + ^{x) + ïf/n-aW + •••
correspondant au rang u.
Le nombre N dépend en général de s et de la valeur x choisie dans l'intervalle («, b). Lorsque N ne dépend que de £, c'est-à-dire est le même pour toutes les valeurs de x comprises dans l'intervalle [a, A), on dit que la série est uniformément convergente dans cet intervalle.
Les séries uniformément convergentes sont particulièrement intéressantes. Voici pourquoi :
Si la série (4) est uniformément convergente dans un intervalle (fl, é), la somme
représente la fonction f[x) définie par la série avec une approximation dont la limite supérieure e est la même pour toutes les valeurs de x appartenant à l'intervalle (a, h) ; on peut donc, par l'étude de la somme Sy, reconnaître aisément, du moins avec une certaine approximation, la marche de f[x).
Les choses vont moins simplement lorsque la série (4) est convergente dans Tintervalle («, b) sans l'être uniformément. Pour avoir alors /(x) avec une même approximation, il faut, suivant les cas, c'est-à-dire suivant la valeur de x, employer un nombre de termes tantôt assez petit, tantôt fort considérable.
236. Il est en général difficile de reconnaître si une série donnée est ou non uniformément convergente; car, ce n'est que dans des cas exceptionnels que Ton peut trouver soit l'expression de R„ [x)^ soit une limite supérieure de la valeur absolue de ce reste.
Toutefois la remarque suivante permet souvent de décider la question.
Une série à termes variables est uniformément convergente dans un intervalle donnée si ses termes sont moindres en valeur absolue que les termes correspondants d' une série à termes positifs convergente et numérique, c'est-à-dire dont les termes ne renferment pas la variable x. En effet, en désignant par
lî^ el p„ les restes correspondants des deux séries, on a
Mats, puisque la série de comparaison est numérique et convergente, on peut, £ étant donné, déterminer un nombre N indépendant de x, de façon que Ton ait p„ < s et « fortiori,
1237. Voici des applications de cette règle : V Soit la série
a| sinpjo:, a^ sin Pg-n •••' (^.i
ou ^j, ^2, ..., désignent des quantités quelconques, tandis que a,, ao, ..., sont des quantités positives formant une série convergente. La série (5) est uniformément convergente dans tiri intervalle quelconque, car ses termes sont respectivement iu rérieurs (ou égaux) en valeur absolue aux termes corres- [) uiidants de la série a,, a^, ...
t"" Considérons la série exponentielle
'• ^' ïi' TTlTâ' ••• ^®'
IMIe est uniformément convergente dans tout intervalle fini; ctir, si Ton désigne parX la plus grande des valeurs absolues 411e peut prendre la variable x, les termes de la série (2) soiU respectivement moindres que ceux de la série conver-
i^ente
Mais la série (6) n'est pas uniformément convergente
dans Tintervalle ( — 00 , + 00 ). En effet, si x est > 0, on
x^ H U„ > - — .; et quelque valeur que Ton fixe pour n,
la quantité 7—^ prend, lorsque j: croît, des valeurs aussi
grandes qu'on veut et par suite peut surpasser toute valeu r donnée s.
Propriétés des séries uniformément convercjeiites J
2238. Si les termes d'une série w,, w.,, ..., son/ drs fonc- à
tions continues dune variable x datis tin intervalle [a, b)^ et 1 si la série est uniformément convergente dans le même intervalle^ la somme de la série est une fonction/ {x) confinue rfan^^
r intervalle [a y b). 1
En effet, écrivons '
Par hypothèse, on peut choisir n assez grand pour qu'on Jj
ait
X étant quelconque dans l'intervalle (a, b) et = étant une
quantité assignée à lavance et aussi petite qu on voudra. I
On aura dès lors, quelles que soient les valeurs de -r et \
de X dans l'intervalle considéré, *
/ta:')-A^)=(^i+wi+...+w,;)-(W|+W2+..-+^^«)-hR^-H. C^)
et
Mais la fonction u,^ + Wo -+-... + w»» somme d'un nombre limité de termes continus, est continue; donc on peut prendre x assez rapproché de x pour que ladifTércuce des parenthèses qui figurent au second membre de (7) soit moindre en valeur absolue que s; on a donc, pour x assez voisin de x,
ce qui prouve la continuité de f[x).
239. a et g élant deux nombres compris dans l'intervalle (a, i), on a évidemment
I f(x) dœ z= I u^dœ -f / u^dx +••. + / Undoc + / H„ [x] dx.
Mais, /r étant déterminé comme dans Talinéa précédent, et sj désignant un nombre aussi petit qu'on veut, on a
Donc la série
f R„{œ)dx\<t,{^^oL).
u^dx -\- 1 u^dx +
est convergente et a pour somme / f{x) dx.
Ainsi on aura rintégrale de la série en intégrant chaque terme entre les deux mêmes limites et faisant la somme des intégrales obtenues de la sorte.
â40. La règle relative à la dérivation de f[x) est moins simple. En supposant que les fonctions i/j, u^^ ..., «/„, ..., aient des dérivées continues, la série de ces dérivées
du. du^ dun . ;J^^
n'étant pas nécessairement convergente, ne saurait toujours représenter la dérivée de/(.r). Mais, si la série (8) des dérivées est uniformément convergente dans un intervalle (a, i), on peut affirmer que celte série (8) représente, dans cet intervalle, la dérivée de la fonction f{x).
En effet, posons, en supposant la série (4) uniformément convergente,
. . du. du^ . . diin .
on aura, on intégrant (n° 239) entre les limites a et .v , lit désignant par X„ la valeur que prend ftni-^) pour x = 2
J :^(.c)dx= (U, — >^)'+ («2—^2) + ••• + {^n — X«) + ...
Mais, puisque les séries w^, ii.y, ..., u„, ... et A|, X^, ...,X„> ... sont absolument convergentes, on peut remplacer le deuxième membre par
d'où ^{x) =f'[j')^ puisque les X sont des constantes. Séries entières. — Théorèmes d'Abel
241. Les séries de fonctions les plus importantes sou les séries entières^ c'est-à-dire les séries de la forme
Uj,, W^a?, U^X^, ..., UnX"*, ..., (9)
où X désigne un« variable quelconque et n^^ ?q, u^, ..., "n? ■-» des coeflicients constants. Nous désignerons par «q, a^^ a,^^ ..., a„, ..., les modules, c'est-à-dire les valetirs absolues de ces coefficients.
Abel a donné, relativement aux séries entières, deux propositions qui jouent, en analyse, un rôle très important.
Voici le premier théorème d'Abel :
Si pour une valeur de la variable x, dont le module est r\ les modules des termes d'une série entière (9) sont inférieurs à un nombre positif et fini M, la série sera convergente ptun* toute valeur de x dont le module est moindre que r ,
En eflTet, attribuons à x une valeur dont le module r soit moindre que r', et multiplions respectivement par If^s nombres
«01 ««^', ^2^^ ••• (lô)
les teptties de la série convergente (progression indélinimenl décroissante)
Comme, par hypothèse, les nombres (10) sont tous inférieurs à M, nous obtiendrons de la sorte (n° 140) une nouvtdle série convergente
or, cette série n'est autre que la série (9), dans laquelle on remplace chaquî terme par sa valeur absolue. Donc la série (8) est absolument convergente pour toute valeur de x dont \\\ module r est inférieur à /.
242. F^'hypothèse qui figure dans la proposition précédente consiste en ce que les nombres (10) sont tous inférieurs à un nombre M fini et positif, c'est-à-dire en ce que l'on a pour cette valeur de n
anr" < M ;
or cotte hypothèse est toujours réalisée, si la série (9) est ronvergente, puisque «;»/" est la valeur absolue du terme général et que dans toute série convergente le terme général tend vers zéro.
Nous pouvons donc dopner, du théorème précédent, le nouvel énoncé :
Si une série entière (9) est convergente pour une valeur (te X ayant pour module p, elle est convergente pour toute valeur de x ayant un module inférieur à p.
243* 11 résulte de là que 67* une série entière (9) est divergente pour une valeur x^ de la variable .r, elle est divergente pour toute valeur Xo ayant un module supérieur à celui de x^.
En etfet, si la série était convergente pour x = x,, elle
SÉRIES DE FONCTIONS. — SÉRIES ENTIÈRES 2ol
serait (n" 242) convergente pour la valeurs: = x,, dont le module est inférieur à ^.,-
d244. Imaginons qu'on fasse varier x de telle sorte que son module p aille en croissant et que les modules correspondants des divers termes de la série restent finis. Les valeurs de p ont en général une limite L, et alors (n** 241) la série (9) est convergente pour toute valeur de x ayant un module inférieur à L. On donne à ce nombre positif L le nom de rayon de convergence.
Ce rayon peut d'ailleurs être nul ou infini ; dans le premier cas, la série n'est jamais convergente; dans le second cas, la série n'est jamais divergente.
La série
offre un exemple du cas où le rayon de convergence L n'est ni nul ni infini ; car le terme général tend vers zéro ou vers l'infini, suivant que la valeur absolue de x est inférieure ou supérieure à 1. Le rayon de convergence L est ici égal h l'unité. La série est d ailleurs convergente pour x = — 1 t^t divergente pour j: = 1.
I^a série
a son rayon de convergence infini ; elle converge pour toutes les valeurs de x.
Enfin la série
a son rayon de convergence nul; elle diverge pour toute valeur de x (autre que zéro).
^45. A bel a donné, sur les séries entières, un second théorème plus complet que le premier :
252 CHAPlTItE XIV
Si tfne ^én'e entière i* e^t convergente pour un*' raie tir X de la ranaàle je, elle e^^t unifortnémenf convergente fâour toutes le^ valeurs de j: satisfahant aux uiégalitès^
La iléiBuni^ti'HtiDii est fondée sur 1^ temnie suivant : Soi**iit n quanti lés quelconques, w,, Wy^ .-., u*, et ti mul-
tiplicatfiirs pit^ilifs ej, ^,, ..., e„, tels que chacun d'eux soit
au plij> l'^gnl au prt^c^dent.
Si l'in* di'*sigiui par = l'expression
et par x pi S la pUit^ petili^ i*l la plus fp:^nde des sommes
5, — M,, -STj if^ + ^13, ... Jï,, = ^f, ^^ ^1^ -j- ,., n^,
on aura
En eiïet, on peut i^crire
et par suite
" = ^\^\ + £2(*2 — *i) + ■" + ^n[^n — J/i^O' OU
i: = (t( — Ej) s, -|- (ej — E3J .Ç^ + ... -f^ E^S„.
Or, par hypothèse, les coenîcients de s^, s^^ ---, -!?„, s^orU
positifs ou nuls. Si donc, h la place de s^, a\i a„, on met
successivement .s- ou S, on aura d'aimrd une limite inft^rieure t^s^ puis une limite supérieure e^S de X^ ce qui démontre les inégalités (14).
Ce lemme établi, ariivons ati théorème d'AbeL
La série
ao + n,\ + a.,\' + ,.- + ^.X« + „. (iS)
étant supposée convergente d'après Ténoncé, on pourra prendre n assez graad pour que chacune des somnn^s
alx« + ^,,,X«^',
soit inférieure en valeur absolue à s.
Le nombre n étant ainsi déterminé, attribuons, dans la série (9), à la variable une valeur x comprise eatrc zéro et X et pouvant d*ailleurs être égale à l'une ou Tautre de ces limites; la somme S des termes qui, dans lu série i9), suivent le /r% peut s'écrire
«nX'^dy +a„,,X«^* (Ip* + ... + ««..X" ^' (ly '
les quantités
Ixj' Uj '-Ixj '
étant toutes positives et telles que chacune d'elles est inférieure ou égale à la précédente.
Dès lors, en vertu du lemme, la somme S est en valeur
absolue, inférieure ^ £ ( y ) ' ^^ a fortiori à s. Donc, il rxiste
un nombre n, valable pour toute valeur de .r comprise entre o et X inclusivement, et tel que le reste R^ [x] de la série (9) soit en valeur absolue inférieur à e; ce qui prouve le second théorème d'Abel.
^46. En combinant ce théorème avec la proposition du n* 238, on voit que, si une série entière (9) est convergente pour une valeur X de la variable x^ la somme de la série est une fonction o (x) continue dans Tintervalle (o^ X), y compris les limites de cet intervalle. Si donc x tend verti X par dos valeurs inférieures en valeur absolue à | X | , ta liniît»^ de ?W est?;X).
-25i CHAPITRE XIV
Par exemple, soit l'égalité
qui a été établie (n** 159) pour x compris entre zéro et un ;
1 1 la série convergente 1 — ô + ô* -• a pour somme log 2.
Application au développement de (1 -h xV
247. Nous avons vu, au n"* 157, que, pour toute valeur comprise entre — 1 et -[- 1, (1 + j:)"' est la somme de la série
Si X tend vers 1, (1 + xj" tend vers 2'". Par suite, d'après le n° 246, pour x= i, la série (16) représentera 2"*, quand elle sera convergente. On est donc conduit à chercher dans quel cas cette série est convergente.
Le rapport d'un terme au précédent a pour expression
si donc on a m + 1 ^ o, les ternies ne sauraient décroître indéfiniment, et la série est divergente.
Supposons, d'après cela, m > — l. Pour n assez grand, la valeur absolue du rapport (17) sera
et nous aurons une série alternée dans laquelle le rapport
d'un terme au précédent est < 1 en valeur absolue ; en sorte que, pour prouver la convergence, il suffira de faire voir J
que le terme général tend vers zéro.
A cet effet, considérons simultanément la série
Uo, u , a,,
c'est-à-dire
et par suite
