Soit
S = Sûap^yP
une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de x et de // ; soit encore, en désignant les modules par des grandes lettres
S, = SA«pX«YP
la série des modules. Nous allons prouver que la première est convergente, si la seconde Test.
Remarquons d'abord que, si la seconde série est convergente, le terme général devra tendre vers zéro. Supposons qu'il en soit ainsi pour un système de valeurs X=Xi, Y = Yj, non nulles dos variables, et soit ;• la plus petite des deux quantités X^, Y,. Le terme général devant tendre vers zéro, on aura a fortiori
lim Aa|ijr"rP = o,
pour a = X , 3 = oc . 11 existera donc un nombre M tel que Ton ait pour tous les termes
Aarir» + P < M, Cela posé, nous allons montrer que non seulement la série S,
mais encore les diverses séries —» —î —-::»..., obtenues en
prenant les dérivées de chaque terme de S sont convergentes pour les valeurs de j^ et île y, dont les modules sont inférieurs ou égaux à une quantité quelconque p inférieure
t)S à ;♦. Considérons, par exemple, ^
ox
Lo module d'une somme étant au plus égal à la somme
des modules, on aura
^SaA.pX«-Y?<2;^pP*^P"-
Cotte dernière série est le produit des deux séries convergentes
MS ■^—- et S ^ ;
elle est donc elle-même convergente.
Théorème du clian(|einent de variables
1253. Supposons que, dans la série précédente S, on remplace x et y par de nouvelles variables ainsi définies
ce = SÔ^gMTu^,
.supposons ces deux dernières séries convergentes pour
supposons enfin
Nous allons démontrer que la fonction S, exprimée au moyen des nouvelles variables, sera donnée par une série
S = S^^gMÏlîS,
qui est convergente tant que ?/ et v restent inférieurs k un nombre donné non nul.
Tout le théorème consiste en ce que Ton peut intervertir, après substitution, Tordre des termes, et l'on sait que c'est possible dans les séries absolument convergentes. Consi-
dérons donc la série des valeurs absolues
LAap [SB^sUTY^]» [SC^ôUTVfijP. (23)
Par hypothèse, il existe des nombres. M, N, P, tels que Ton ait
On a donc
SB,8UTrV« < N 2 ySt'
SCysUTfV' < P
Supposons que, ^ étant un nombre donné inférieur à X, on ait
U < |i, V < (x; les inégalités précédentes entraînent
SB^sU-rV» <
Déterminons maintenant [a, de manière que les seconds
membres soient inférieurs à r, ce qui exig^ que Ton ait
.<>['-vÇfJ .
Choisissons pour \l la plus grande des valeurs satisfaisant à ces deux inégalités ; nous pourrons affirmer que les deux séries SB^ôUyV« et SCy^UW^ prennent des valeurs S^ et &^ inférieures à r. La série (23) sera inférieure à
ce qui assure la convergence absolue de la série
et, par conséquent, démontre le théorème.
S54. Au lieu d'une série, supposons que S soit un des polynômes a: + y, x — y, xy, La démonstration précédente s'applique. L'addition, la soustraction, la mulHpIication de séries qui sont convergentes, tant que les variables restent inférieures à un nombre donné, conduisent à des séries de même nature.
Déliniiions relatives aux expressions imaginaires
:âr»5. Il n'a été question, dans les chapitres précédents, que des fonctions réelles de variables réelles. Il s'agit maintenant d'étendre notre analyse au cas des fonctions d'une variable imaginaire.
\hiis il importe de rappeler d abord les propriétés fondamentales concernant les quantités imaginaires, c'est-à-dire tes quantités de la forme
a + bi,
a et f) désignant des nombres positifs ou négatifs, et t le î^ymbole v^ — 1.
ihï peut toujours trouver un nombre positif r et un angle a, tels qu'on ait
a -\- bi = r(cosa + i sinx). (1)
Il suffit, en effet, de prendre
a cos a = > sm a =:
Hi.hMBI
FONCTIONS D UNE VARIABLE IMAGINAIRE 20!i
Lo nombre positif/* est dit le modulv^ et l'angle a osl dit Varginnent de la quantité imaginaire a -jr bi.
Des formules précédentes résultent aisément les résultats suivants :
1** Le module /• est parfaitement déterminé, tandis que Tarf^ument a admet une infinité de valeurs formant une progression arithmétique dont la raison est 2::;
2*" [*our qu'une quantité imaginaire soit nulle, il faut el il suffit que son module soit nul.
8" Pour que deux expressions imaginaires soient é;<ales, il faut et il suffit que leurs modules soient égaux et que leurs arguments diflerent d'un multiple de 2x.
Obs(»rvons enfin que les quantités positives ou négatives peuvent être considérées comme des expressions imagiiiaireîs dont le module est égal à leur valeur absolue, et dont l'argument est un multiple pair ou impair de z. C'est ce qui explique pourquoi nous avons souvent employé déjà h^ mol module pour désigner la valeur absolue d'une quantité réelle.
Module d'un produit ou d'une somme
2i250. En multipliant Tune par l'autre deux expressions imaginaires
r^ fcosa, + « sinx|), r2(cosa2 + * sinxj), (ii
on obtient sans difficulté l'expression imaginaire
r^r./i;os{:L^ + a.J + i sin(a, + a^)], {3}
dont le module est égal au produit des modules des facteurs el dont l'argument est la somnie des arguments.
La proposition s'étend d'ailleurs au produit de m facteurs; il faut toujours midtiplier les modules et ajouter les nrgnments.
En particulier, si Ton suppose les m facteurs égaux entre
• iionii.
eux et ayant chacun pour module l'unité, on obtient une fortmrle célèbre
(cosa -|- i sina)'" = coswx -f- * sinma, (4)
qui a reçu le nom de formule de Moivre.
Elln donne immédiatement les valeurs de cosma et de sîfw/ra, en fonction de sina et de cosa: en effet, en combinant par addition et par soustraction la relation (4) et celle qu'on en déduit en changeant a en — a, on obtient
2 cosma = (cosa + i sina)"* + (cosa — isina)'" )^ ,^^ 2i sin mx = (cos a + i sin a)"* — (cos a — i sin a)'" S
iîr»7. Pour qtfvn produit de plusieurs facteurs soit nul, i/ faut et il suffit que fufi des facteurs soit nul.
Ce théorème, démontré dans les éléments pour les facteurs réels, s'étend aux facteurs imaginaires. Cela résulte immédiatement du n° 255, 2\ et du n° 256.
:2r>8. Deux axes rectangulaires Ox et Oy étant tracés dans un plan, on représente une quantité imaginaire quelconque u + bi par le point M du plan, ayant a pour abscisse et b pour ordonnée. La distance OM de l'origine 0 au point M est égale au module de l'expression imaginaire, et l'angle XOM est Targument.
Ce mode de représentation imaginé, par Gauchy*, permet souvent de simplifier les énoncés et môme les démonstra-
' Par exemple, si A et B sont les points représentatifs de
deux quantités imaginaires, on voit de suite, en complétant le parallélogramme AOBG, que l'on a
I OC < OA + AC ou OC < OA + OB,
c^est-k-dire que le module de la somme est moindre que la somme des modules. Ce théorème subsiste quel que soit le nombre des termes de la somme.
' Caiichy donne au point représentatif M d'une expression imaginaire le nom é'fjffixe de cette expression.
Séries ik termes imaginaires
1259. Lorsque deux séries u^, Wo, W3, ..., ifn -m ^I 'V r.», ..., i'„, ..., à termes réels, sont convergentes ef ont respectivement pour sommes U et V, on dit que la s(!"ni!
n^ + zr,, it.^ + iv.^, ..., m„ + lo,,, ... (H
est convergente et a pour somme U + ?'V.
La série (6) est dite au contraire divergente si les d* iix séries (5) ne convergent pas Tune et l'autre.
11 est à peine besoin d'observer que, si la série (G) est criftvf^rgente^ son terme général doit tendre vers zêro^ lorsqnt* h croit indéfiniment^ puisque n^ et i\ tendent vers zéro.
Une série (6) est convergente lorsque les modules de sf*s termes forment une série convergente.
En elfet, soient r„ le module et a„ l'argument du terme général, on aura
Ha = r„ cos x„ et v„ ■= r„ sin 7.^ ;
lin et V,, sont donc moindres en valeur absolue que ;•„, iM puisque la série 7'|, r^, ..., /•„, ..., est par hypothèse convi rgente, les séries ?/,, u.,^ ..., et i>,, r.,, ... sont convergentes et par suite aussi la série (6). Cette série étant d'aillt iirs absolument convergente, on montre, comme, dans le cas ih^s quantités réelles, qu'on peut changer l'ordre des termes sans altérer ni la convergence ni la somme.
Enfin le théorème de Cauchy sur la multiplication -io deux séries subsiste pour les séries à termes imaginains. En effet, observons d'abord que le théorème, ayant i'*lo démontré au n° 144 pour des séries à termes réels, est ex^nl pour les deux séries
fl(,, a^^ ..., «;,, ... / .^.
formées par les modules des termes des séries proposées i\ termes imaginaires (6).
Or si Ton pose
«/i = "o + ^U + ••• + "«-f *« == ^0 + ^1 + .•• + f^-n < = '^«-f- «^< + ••• + '<ï«-|î on a
En prenant alors les modules des Jeux membrcî?, *^! observant que le module d'une somme esl nu plus égal à la soiuûïe des modules, on voit que le module jx de \i** — ^l *-*^t égal ou inférieur à
a^h,^^^ -|- ... -{- «,,-/>, + ,,, -|- û,^ .^K,^, c'est-à-dire à
Mais, quand /t croît indéliniment, la limite de cette expression est nulle; donc ;j. a aussi pour limite /éro; en dVulres termes, la limite de.v^; est égale au produit des lîniitrsde v„,.>;. Ces préliminaires étant établis, nous pouvons pîisst^r h la définition des fonctions d'une variable imaginaire*
Déliiiîtion d^iiiie fonction «latine vnrialile imaginaire
200. « Lorsqu'une fonction ^{z^'' est donnée pour toub^s « les valeurs réelles de la variable dont elle dépend, elle « n'acquiert pour cela aucun sens lorsqu'on y remplace z « par ime expression imaginaire j- + t/i. L'expression « oix-\-f/i) ne peut donc s'introduire dans les calculs ou dans « les raisonnements, sans une défini lion précise, qui. pour « toutes les valeurs réelles de x et de y» en fasse connaitre « la partie réelle et la partie imaginaire en permeUaid
FONCTIONS d'une VARIABLE IMAGINAIRE 267
« d*écrire
? (Jtr + yi) = P + Qî'i
« P et Q étant deux fonctions réelles connues de x et de y. « Il ne faut pas croire cependant que toute expression
« P + Q«, où P et Q sont des fonctions des variables
« réelles a: et y, soit une fonction de x -\- yi. Pour la con-
« sidérer comme telle, on exige une condition sans laquelle
« disparaîtrait toute analogie entre les fonctions imaginaires
« et les fonctions réelles ; il ne suffit pas que l'expression
« P + Qî soit déterminée lorsqu'on se donne x et //; il
« faut encore qu'elle ait une dérivée déterminée. Si Ton
« voulait s'affranchir de cette condition, la théorie des fonc-
« lions imaginaires serait simplement celle des fonctions
« réelles de deux variables, et leur étude spéciale n'offri-
« rait aucun intérêts»
261- Cherchons donc la condition que doivent remplir P et Q pour que l'expression P + Qi ait une dérivée unique. Nous supposons d'ailleurs que P et Q soient des fonctions continues et aient des dérivées partielles continues.
Le rapport
P (a? + Aa?, y + Ay) — P {x, y) + t [ Q (a: + A./-, y + A.y) — Q ix, y)]
Aa? + i\y
peut être rais sous la forme
Lorsque ^x et Ay tendent vers zéro, il en est de même de 6, s', Ti, r/, et si l'on désigne par i* la limite du rapport
-T^> on aura pour la limite du rapport (7)
* J. Bebthakd, Traité de Calcul différentiel et intégral.
On voit que cette limite dépend de |x. L'expression P -h Qi a donc, pour chaque valeur de la variable x + yi, une infinité de dérivées qui diffèrent suivant la manière dont dx + idy tend vers zéro. Pour que la dérivée soit unique, c'est-à-dire pour que le rapport (8) soit indépendant de |x, il faut et il suffit, d'après un théorème connu d'algèbre élémentaire, que, dans (8), le rapport des quantités qui ne contiennent pas jx soit égal au rapport des coefficients de ^; on aura donc la relation
ùx 4j£ ^y oy
qui équivaut aux deux suivantes
Telles sont les conditions pour que P + Qi ait, pour chaque point, c'est-à-dire pour chaque système de valeurs de X et de y, une dérivée unique. On dit alors que l'expression P + Qi est une fonction analytique de t + yi\ en outre la dérivée est représentée par l'un quelconque des deux membres de l'égalité (9).
Séries eiitièi*cs d'une variable imaginaire
I262. Les séries ordonnées suivant les puissances entières et croissantes d'une variable z jouent un rôle" très important en analyse. Nous avons étudié ces séries (n* 241)
dans le cas où les coefficients a^, a^, ..., et la variable 2 sont réels. Nous allons maintenant généraliser les résultats obtenus, en supposant que les coefficients ûTq, a,, ..., et la variable z soient imaginaires.
Et d'abord le premier théorème d'Abel subsiste. Voici son énoncé :
Si pour une valeur Zq de z on a, quel que soit n,
M étant un nombre fixe, la série (H) sera convergente poffr toute valeur de z ayant u?i module moindre que celui dr z^.
La démonstration donnée au n^ 245 reste la môme; il n'y a qu'à remplacer les mots valeur absolue par module.
On peut aussi, comme nous l'avons fait à rendroiL iilô, déduire de Ténoncé ci-dessus le suivant, qui n'en diffèn^ pas au fond :
Si la série (H) est convergente pour z = Zq, elle est nlfstflument convergente pour toutes les valeurs de z de mndff/f moindre que \ Zq \ .
263. Désignons par R le plus grand module de z [mmii' lequel les modules des termes de la série n'augmentent [ms indéfiniment, et soit C la circonférence ayant pour mitii' l'origine et pour rayon R.
D'après le théorème ci-dessus, la série ;H) converge [lonr toute position du point :; dans l'intérieur du cercle C. l'^lli' diverge pour tous les points extérieurs; car, si on ail ri lui o à z une valeur ayant un module supérieur à R, les mtululrs des termes augmenteront indéHniment. — On donne, d'^ipjrs cela, au cercle C le nom de cercle de convergence de la sltîc. Il sépare la région où la série converge de celle oîi la ^i'^vu' diverge.
Il y a incertitude sur la circonférence C. Toutefois nu peut affirmer alors qu'il y aura divergence si, pour lo module R, les modules des termes ne tendent pas vers /t'iiï.
126 i. La série (H) et la série
a, + ^a,,z 4- 3^32:2 + ... 4- nanz^-' + ..., \,\l
formée par les dérivées des divers termes de (11) ont If- m*' me cercle de convergence.
En olFet soient C le cercle de convergence de la série (H) et R son rayon. Imaginons un cercle C concentrique avec C eï dont le rayon R', moindre que R, peut en dilîérer aussi p(»u qu'on veut. Enfin attribuons à z une valeur dont le mo- <lule r soit inférieur à R'. Multiplions les termes de la série
l+2^,4-3(^.y + ...-H«(|^)''"+..., (13) qui est évidemment convergente, par les expressions
dans lesquelles aj, a^, ..., désignent les modules de «j, «,, ... Gomme ces multiplicateurs tendent vers zéro et, par suite, n»stenL Unis, la série résultante sera convergente dans le cercle C et sur sa circonférence. Or cette série est précisément la série des modules des termes de (13) ; donc la série (12) est convergente dans le môme cercle que (11).
1265. La fonction f[z) définie par la série (11) a une dérivée pour toute valeur de z comprise dans le cercle C de convergence de cette série.
Il s'agit de prouver que, si le point z est intérieur au cercle G, le rapport de l'accroissement de/(:î)à h tend vers une limite indépendante de la loi suivant laquelle h tend vers zéro, c'est-à-dire quelle que soit la route suivie par le point z -\- h pour venir se confondre avec le point z.
On a
f[Z) = ^0 + «I- + ^2^'" + ••• + ^nZ"" + "">
fi,-{^h) = a, + a,{z + h)i^a,(z + k)^^,.,-\-aA^ + hr + -^
et par suite
fiz + h)-^r{z) = a^h -f. ... + a,{nz^-'h + ...^ + ...
Le point z -\- h étant suffisamment voisin du point z, la série f{z -\- h) sera encore convergente, quand, à la place
FONCTIONS D UNE VARIABLE IMAGINAfRE
de :;, A, a,,, ..., on mettra leurs modules Z, H, A„» .,, On pourra alors, dans cette série à termes positifs, supprimer les parenthèses et grouper les termes de telle fèn^on quoii voudra; par exemple, on pourra écrire
f{z + h) - r[z) = h{a, + ... + na„z--^ + ...) + /^>(c);
d'où Ton déduit, en divisant par h et faisant tendre A vers zéro
lim^'^ + ^^-^^^) = .. + ...+na„.-'...
Donc la fonction fiz) a une dérivée/' (z) que Ton ohlient en prenant les dérivées des divers termes de la séih* ;ilj. Cette série est donc ime fonction analytique de z.
Déliiiilion des ïonc«iions e% sin^, co^^
;206. « Les conditions (10) sont les seules qui soient « imposées aux fonctions imaginaires, et, pourvu qu'cll**?^ « soient remplies, la délinition reste entièremeni arliitrairj*, « On conçoit cependant qu'une fonction imaginaire ne sainte troduira avantageusement dans les calculs que lorsqu'elle « sera réellement la généralisation de la fonction léflli^ de « môme nom, à laquelle elle se réduit quand on suppose « y =0, et qu'elle partagera ses propriétés caractéiisliques;. « Celte analogii», regardée a priori comme» une eondîlion « essentielle, est la basiî des définitions que nous allons « donner des fonctions les plus simples '. »
1267* I^es fonctions e'^ s\nz, cosc, sont représentées lorsque z est réel, par les séries toujours convergentes
ces z -= { —
' J. Bbktram), loco citalo.
Lorsque z est imaginaire, ces séries sont aussi toujours convergentes ; on les prend alors pour définition des fonctions e*, sins, C0S2.
1° L'application du théorème fondamental (n** 265) sur la différentiation des séries entières donne
dz ^1^1.2^
c'est-à-dire
et Ion obtient de la même façon
(15') — ^— =cos^, ^^^ = — sinz, (!6)
Ainsi les formules (14') (15') (16') sont les mômes, que : soit réel ou imaginaire.
2° On peut exprimer les fonctions circulaires en fonction des exponentielles. En effet, en changeant dans la relation 8z en iz, en ayant égard à (9) et (10), on obtient la formule
puis, en la combinant par addition et soustraction avec celle que Ton trouve en changeant z en — r, on a les formules demandées
cos^-^ '- , sm^ = ^T ; (18)
3° La propriété fondamentale
e^.ey = e^+y (19)
de la fonction exponentielle s'étend au cas où j- et y sont imaginaires.
En effet, si Ton applique aux deux séries absolument
convergentes
ev
VxJL.
la règle du n*" 259, on voit, pour un calcul très simple, que le produit ^. e^ s'exprime par une série dont le terme gém'^ral est
ce qui justifie la formule (19).
4*" Les formules fondamentales de la trigonométrie
sin^z -f" cos^^ = 1, . (20)
cos(a? -\- y) =1 ces a; cosy — sinâ? sini/, (21)
sin [x -\- y) :=! sina? cosy + coso^ siny, (22)
s'appliquent aussi lorsque ^ et y sont imaginaires.
La première (20) s'obtient immédiatement en multipliant membre à membre la relation (17) et celle qu'on en déiiuîl en y changeant z en — z.
Pour obtenir les relations (21), et (22), on multipliât li membre à membre les formules
e'« = coso? -j- 2 sinic, e^^ = cosy -f- 2 sin^,
ce qui donne
cos (^ -\- y] + i sin {jo -^ y) =z (coso? cos/y — sin jc sin y)
+ (cos a- sin y + cos.v sinj;^ t,
et par suite en changeant x en — .r et y en — y
cos [x -f- y) — i sin {x -|- y) = (cos a? cos^ — sin a: sin y;
— (cos a- sin y + cosy sin.ï j /.
Il suffit maintenant de combiner ces deux relations, par addition et par soustraction, pour obtenir (21) et (22). 5° Enfin on peut facilement mettre les expressions
Qjc-i iy^ sin (a* + iy), cos(a7 -|- ^y)i
CALCUL INFINITÉSLMAL. 18
SOUS la forme P + Q \J^^i, x ei y étant supposés réels. La chose est immédiate pour la première expression, car
on a
gx^iy — gx e'y = e^{cost/ -f- ' siny).
Considérons maintenant les deux autres : on a
cosf.r -f- yi) = coso? cos yi — sina? sin !//, sin (a? -f- 3/0 = ^^^ -^ ^^^ yi + cos x sin yi ;
les formules (18) donnent
cosyi= ^3 » smye = rr = i
donc
et/ -L. e-y . e^ — e-y . cos(a7 + yi) = cosx ^ smœ e^
eu 4- e-y , e^' — e-y . sin (.77 + yi) ■= sm^' ^ |-cosa? ■ i.
1268. Les autres fonctions circulaires directes, s'expriniant à Taide du sinus et du cosinus, sont définies par ces expressions. C*est ainsi que la relation
sin^-
tanflr-2' = »
^ cos^
qui a été démontrée pour z réel, sert de définition à tg-, quand z est imaginaire.
I^ogarithmes et fonctions circulaires inverses d'une variable imaginaire
1269. Lorsqu'on a
on <lit que u est le logarithme (népérien) de 2, et Ton écrit
i( = log^ (24)
Si Ton pose
z = r{cos% 4- i sina) = re*^ (25)
il est aisé de mettre log z sous la forme p -\- qi. En effet, on doit avoir, d'après la relation (23),
?'e*' = et* * ''' = eP . é^^ ;
d'où Ton déduit
eP = r, 5^ = a + 2At, (26)
k étant un nombre entier arbitraire.
Or il existe une seule valeur réelle de p satisfaisant à la première des relations (26); c'est le logarithme népérien arithmétique du module r; nous la désignerons par log'r, et nous aurons
log^ =. log'r + i(a + 2Â7c). (27)
Ainsi le logarithme d'une quantité imaginaire z a une infinité de valeurs qui ont toutes la môme partie réelle log'r, tandis que le coefficient de / est l'argument a de :î augmenté au diminué d'un multiple entier de 2t..
