On peut vérifier que

d \o^z __ 1 dz z

271. Enfin, de la relation e« . e"" =<?"+^ on déduit la propriété fondamentale des logarithmes

log (mi?) = log M -f- log P.

â7â. Les fonctions inverses

arc sin ^, arc cos z^ arc tang z se ramènent aisément aux logarithmes.

y 276 CHAPITRE XV

I En prenant les logarithmes des deux membres de la rela-

I tion

[; e'-' = cos.r -|- ^ sinx,

f' on obtient

^ ix = log(co9^ -|- * sina?), . (28)

I si donc on pose

sina' = z, eos.r = \{ — z-, a? — arc sin<î,

{: on trouve

^ arc sin^ r= - loof(v4 — z'^ + i^)-

r Cette formule montre que, si z est donne, rexprosslon

VI — z^ -\- iz a deux valeurs, à cause du double signe dont le radical est susceptible; de plus, à chacune de ces deux acceptions, correspondent encore une infinité de valeurs de arc sin2, vu Tinfinité des valeurs du logarithme.

«273* Si, dans la formule (28), on pose

cos.r = z, ainz = \/l — .r'-*, a- = arc cos^,

on a

arc ces .g- = t log [z -|- i \i — ^^).

iîTi. Si Ton prend les logarithmes des deux nombres de la relation

2,^ coso- -f i sina7 1 -|- ^ tango?

coso? — i sin./' *~ 1 — i langa*

on obtient

1 , i 4- i tango* X =: — log .—^—7- — ^ —

et, en posant

tango? ^^ ^, 07 — arctang^.

on trouve

1 , i 4- iz i , 1 — iz arc tang . = ^. log j— ^ = ^ \ogj-^^ ;

à chaque valeur de z correspondeut une infinité de valeurs du logarithme, et, par suite, une infinité de déterminations de la fonction inverse arctg z.

Remarquons enfin que, tandis que les fonctions circulaires directes s'expriment au moyen des exponentielles, les fonctions circulaires inverses s'expriment à Taide des logarithmes. Donc, comme le logarithme est la fonction inverse de Vexponentielle, on voit qu'on peut tout ramener aux exponentielles.

275. Nous devons encore dire un mot sur la définition de 11*' lorsque ii et v sont des quantités imaginaires.

Lorsque h et v sont réels et que u est positif, on a l'identité

On prend cette identité pour définition, quand ?/ et v sont imaginaires.

D'après cela, u'' a une i/ifinité de valeurs, puisqu'il en est ainsi du logarithme. Ces valeurs peuvent ne pas être toutes distinctes. En supposant par exemple que v soit une

fraction réelle irréductible ^î on aura

d'où Ton voit qu'il suffit d'attribuer q valeurs entières con-

sécutives à k pour obtenir toutes les valeurs de u'f. Ces déterminations sont en général distinctes et ne peuvent s'échanger entre elles que si la variable dont n dépend lui fait acquérir des valeurs égales, infinies ou indéterminées.