CHAPITRE XVI COURBES PLANES
Rappel de notions élémentaires
1276. Si les variables qui figurent dans une équation désignent des grandeurs géométriques, cette équation prend, suivant les cas, diverses significations dont nous allons indiquer les principales, en nous bornant dans ce chapitre au cas de deux variables.
iî77. Coordonnées rectilignes. — Soient x, y, les coordonnées d'un point M par rapport à deux axes Oj:*, Oy; le lieu des points dont les coordonnées satisfont à Téquation
est une courbe plane dont cette relation est dite Véqualion en coordonnées cartésiennes ou rectilignes. Par exemple
est Téquation d'une droite, et Ton sait que m est le coefficient angulaire de la droite, et n Fordonnée à torigine.
^78. Coordonnées polaires. — Soient p et «d le rayon vecteur OM et Tangle jcOM ; le lieu des points dont ces deux
nouvelles coordonnées satisfont à Téquation
est une courbe plane dont cette relation est dite réquatmn en coordonnées polaires. Par exemple, Téquation
p'* = a sin «CD (3)
représente
si n = 1 , un cercle ;
si w = — 1, une droite ;
si n = 2, une lemniscatc ;
si n = — 2, une hyperbole équilatère ;
si n =z -'i une cardioïde ;
si w = — -> une parabole.
Les formules(U) du n° 104 permettent, étant connut» Téqnïttion d'une courbe en coordonnées cartésionnes, d'obtenir l'équation de la même courbe en coordonnées -oartérjionDt.^s> h pC%% Il suffit pour cela de remplacer dans Téquation donnée j- cl y par les expressions
a? = p cosw, y = P sinco. (4)
Inversement, on passera de Téquation (2) à Téquatiou cartésienne en posant
- yja^^ + y^ \
ï, sina> = ^ /' ^^)
COS(i) = -> sma) = - (
279. Coordonnées TANGENTiELLEs. — Soient h et r les inverses des segments interceptés par une droite sur les axes Ojt et 0//, de manière que
>/.r -}- ry — 1 = o (6)
soit l'équation de cette droite ; u et v pourront être dites b*s
coordonnées de cette droite et toute relation de la forme
gp(M, V) =z O (7)
définit un ensemble de droites dont les coordonnées vérifient cette équation. Nous démontrerons plus loin que ces droites sont toutes tangentes à une môme courbe (C) ; l'équation (7) est dite Téquation tangenlielle de cette courbe.
Dans des cas particuliers, (C) peut se réduire à des points; ainsi l'équation
ati + bv — { = o (8)
définit évidemment toutes les droites passant par le point M qui a pour coordonnées cartésiennes
L'équation (8) est Y équation du point M
Nous donnerons plus loin le moyen de passer de l'équation cartésienne d'une courbe à son équation tangentielle et inversement (voir n° 358).
â80. Coordonnées homogènes. — 11 est souvent commode de considérer, au lieu des équations (1) et (7), des équations homogènes. Voici comment on y parvient : posons, soit dans ré(iualion (l)
soit dans l'équation (7),
"ces équations deviennent
el on les nomme respectivement équation cartésienne homogène ou équation tangentielle homogène des courbes correspondantes. Le principal avantage de cette nouvelle conception est d'obtenir tous les points ou toutes les droites d'un plan, même à Tinfini, par des valeurs finies des variables. La seule restriction à laquelle sont soumises ces co^Wo/mé'V.ç homogènes, c'est de ne pas pouvoir être nulles toutes les trois en même temps.
En coordonnées cartésiennes homogènes, 3 = 0 sera une coordonnée d'un point rejeté à l'infini dans la direction
En coordonnées tangentielles, une droite rejetée k l'infini aura pour coordonnées U = o, V = 0, W n'étant pas nulle.
Il est à peine utile de faire remarquer qu'on pourra toujours revenir de Téquation homogène à l'équation ordinaire, en faisant soit Z = 1, soit \V = 1.
Exemple, — Exprimer que l'équation
AU^ -f \'\^ 4- A'W + iB UV + 2B'U\V -f 2BVW = o,
qui est celle des coniques, représente une parabole.
La parabole ayant une tangente à l'infini, il suffit d'écrire que celte équation est vérifiée lorsqu'on y fait U = 0, V = o ; la réponse est donc
2281. Quel que soit le système de coordonnées employé, les deux variables qui définissent la courbe peuvent toujours être considérées comme exprimées en fonction d'un paramètre. Ainsi l'équation (1) sera remplacée par les deux équations
»între lesquelles il suffirait d'éliminer l pour retrouver l'équation (1). Il est évident qu'on peut toujours prendre pour
paramètre Tune des deux variables; on revient alors au point de vue primitif.
Différentielle de l'are de eourbe*
282. Nous reviendrons d'abord sur la notion de longueur dans les lignes courbes. Nous n'envisagerons que celles pour lesquelles les deux coordonnées d'un point s'expriment par des fonctions d'un même paramètre, qui admettent des dérivées continues et non nulles en même temps, ou du moins nous n'envisagerons que les portions de c-ourbes, dans lesquelles cette hypothèse peut être faite, c'est-à-dire que nous exclurons les points singuliers.
Soient
.Vr-tt{/) i
les deux équations qui définissent la courbe, /^ et Tq les valeurs du paramètre auxquelles correspondent les points A et B (To > ^o). Soient /,, /.>» ^3» •••» ^fc» '*' valeurs intermédiaires entre ^Qct Tq, et soient A,, A2, ..., A^, les points correspondants; le polygone AAiA.,...AaB aura pour longueur
i étant un quelconque des nombres i^^, /,, ..., /*. Nous appellerons longueur de Varc AB la limite de L lorsque les côtés du poligone tendent vers zéro. Mais, pour que celte définition soit bonne, il faut démontrer que la longueur définie reste la mênie, quel que soit le mode d'interpolation des valeurs /,, /o, ..., /^. A cet effet, intercalons dans chacun des intervalles précédents de nouveaux points de division, et soient
f I et fi
*n *2» •••» *'Jci
I Voir la note de la page 21.
les valeurs du paramètre correspondant à Tintervalle /,/,vi; soient
A^, Aj, ..., Aj^.,
les points correspondants, et
la longueur du polygone A...A/A'^...AVA, + i...B. Il s'agit do prouver que
lim(L'~L) =0.
Or le théorème dos accroissements finis donne
AV+, — ^i = (^-^1 — ti) rw,
t., •:'<, 0/, Oy, étant des valeurs du paramètre comprises entre /,• et /,+i. On aura donc
To ta
et, comme
on pourra aussi écrire
Donc
To
Mais les dérivées /"(/) et ^'{t) ont été supposées continues; il en est de môme de leurs carrés. Donc, d'une part, à con dition de prendre /,^i — /, inférieur à un nombre ê suffisamment petit, on pourra rendre
a étant un nombre donné; d'autre part, le dénominateur sera aussi voisin que Ton voudra de la quantité
et par suite, supérieur à un nombre A, plus petit que le minimum de cette quantité, qui n'est pas nulle par hypothèse. On aura donc finalement
ou
L'-L< J(To~0- Donc
lim (W - L) =*o.
Cela posé, soit une autre division arbitraire de l'intervalle /qTq, et soit L* le polygone qui en résulte. Il suffit de supposer que V contient tous les sommets de L*, pour avoir aussi
lim{L' — L") = o.
11 en résulte
lim (L" — L) = o,
ce qui est la proposition annoncée.
é28«l* On peut déduire de là la valeur principale de l'arc infiniment petit, c'est-à-dire la différentielle ds de l'arc s, 11 suffit pour cela de réduire le polygone L à un côté
AL = M [fit + ù.t) - r{i)]'^ + W(t+ ^t^ - <p(/;]^
et l'on aura, d'après ce qui précède,
A^ — AL < -r A/,
c tendant vers zéro avec \L j\s et AL ont donc même valeur principale; donc, puisque la valeur principale de /■(/ H- A/) — /(^) esl/"(/) rf/, et celle de çf/ + A^ — ?'(/), 9' (i) dt^ on aura
En particulier, si / = j:
., = rf.y/l + (gy.
ou
ds^ zzz rù-* + cly^, (10)
ce qui s'exprime en disant que Tare et la corde ont môme valeur principale.
^84. Si la courbe présente un point singulier M, soit / la valeur du paramètre qui donne ce point; on définira, d'après ce qui précède, la longueur de l'arc (/ + s, /y), et Von fera tendre s vers zéro.
2285. On appelle courbes rectifiables celles pour lesquelles la longueur de l'arc et les coordonnées s'expriment par des fonctions antérieurement connues d'un même paramètre, et le problème qui consiste à rechercher ces fonctions s'appelle rectification de tare. Ainsi, au point où nous sommes arrivés (le cet ouvrage, l'ellipse ne peut être rectifiée parce qu'on ne connaît- pas de fonction algébrique, trigonométrique ou logarithmique, qui ait pour diiïérentielle la différentielle de Tare d'ellipse
^ a\ a} — œ'^ On étudiera dans le secpnd volume de l'ouvrage de nou-
velles fonctions, grâce auxquelles la rectification de rdlipse pourra être opérée.
â86. Rectification de la cycloïde. — On appelle cyclolde la courbe engendrée par un point donné d*une circonférence qui roule sans glisser sur une droite fixe indéfinie qu on nomme base. On voit facilement que les coordonnées d'un point M en fonction de l'angle t dont aura tourné la circonférence sont données par les formules
\ œ =1 a[t — sin/), ] y = a(i — cos^),
dans lesquelles a désigne le rayon du cercle. On suppose les axes rectangulaires et Ton prend pour axe des x la base de la roulette et pour origine la position du point décrivant au moment où il est sur O^r.
On en déduit
dx =z a{\ — cosO dt, dy =z a sin tdl.
Donc
ds^ = 2^2(1 — cos t)df^
= \a^ sin^ idl\
ds =z 2a sin - dt.
.zîn
on a donc pour l'arc, en intégrant.
s = — 4a ces ^ + C.
A Torigine de lare on a
d'où, on éliminant la constante,
=z Aa(i — ces -\z=zSa sin'
Pour obtenir la longueur d'une des branches de la cycloiVk*! il suffit de faire / = 2^, ce qui donne
Tanqeiile et normale en coordonnées rectilif|ties
:287. 11 a été démontré au n** 2 que le coefficient ungulaire de la tangente à une courbe plane est égal à la (li'i[vt''0 de l'ordonnée prise par rapport à Tabscisse. L'équatiiui do la tangente en un point (x,^, //o) de la courbe sera donc
ou
y — .vo ^ — ^0
I2Utt. La normale en un point, c'est-à-dire la perpemlirulaire à la tangente au point de contact, aura pour équation, si les coordonnées sont rectangulaires,
ou
(^ — ''o) ^^0 4- (y — yo) ^^0 = o»
et, si les axes de coordonnées sont obliques et font un an^^lr^, [ce — a?o) {dx^ + dy^^ cos6) + (V — ^o) WVo 4" ^''o cos 6) — u. Exercice. — Démontrer que, dans la chaînette,
la projeclion de lordonnée sur la normale est coiistanle.
tilM. Théorème. — Sur un arc de courbe^ il existe en général un point au moins^ oi) la tangente est paraVèle à la torde de Carc.
Soient en effet x, // = / [x) et .r -+- A, y -h /• = / [x -f- h». les coordonnées des extrémités de lare; le coefficient angulaire de la corde sera
or si, le long de Tare, on peut appliquer à la fonction / [S , le théorème des accroissements finis, on aura
et par suite le coefficient angulaire de la corde pourra sVcriro
c'est-à-dire qu'il sera égal à uae des valeurs que prend, en vertu de l'hypothèse sur la continuité de/"(.r), la dérivée /' (x) entre les valeurs extrêmes f (x) et/' (x + h).
•290. Exemple. — L'équation de la tangente à la cycloïde au point M s'obtient immédiatement en prenant les valeurs de dx, dt/, trouvées à la page précédente
/i j\ sin/ r fi • .
y — a il — cos t) = \x — ail — sni / .- : .
^ ^ '^ i — cos r ^
On voit que cette droite passe par le point
œ = al, y =1 2a ;
c'est le point V le plus haut de la circonférence roulante qui |)asse par le point iM. La tangente est donc MP. Kn particulier au point 0, la tangente est Oy. La forme de la courbe en résulte immédiatement.
La normale, qui a pour équation
[x — a{t — sin /)] (i — ces t) + sin / [y — a{i — ces /)] = o,
passe au point {œ = «/, y = o), où la circonférence touche Taxe des x.
Autres formes des équations de la tangente
29 1 • Dans le cas où la courbe est donnée par Téquation (1 ) , le théorème relatif aux fonctions implicites (n* 92) permet d'écrire
Téquation de la tangente sera donc
{^ - ^o) rio + (y - yo) no = ^ » W
celle de la normale, sera
0 .y — .Vo
' ^0 'yo
si les coordonnées sont rectangulaires, ou si les coordonnées sont obliques,
'^' — '^•■. y - .Vn
L'équation (il) peut s'écrire
^/ïo + y^o - ^o/"iô - y^r'y, = o. (H)
Introduisons maintenant les coordonnées homogènes, et soit
Téquation de la courbe donnée. Le point x^, y^, de la courbe peut être considéré comme ayant pour coordonnées
homogènes une valeur constante quelconque, Zq pour Z, el pour ses autres coordonnées
de telle sorte que
\ Yo=yoZo^
et Téquation de la tangente peut s'écrire, d'après (12)
or le théorème des fonctions homogènes, n* 184, nous a appris que, en appelant m le degré d'homogénéité de
^oK, + YoF;^ + ZoF,; = mF (Xo, Y^, ZJ = o (13)
le second membre étant nul, parce que le point X^, Y^, Z^,, est sur la courbe.
On tire de là
et Téquation de la tangente devient
ou rnfin
iK+2^<.+n = -^
xF:;, + yf;, + zf^ = o.
ims. Exemple. — La courbe y =-x tang - a pour équa-
IJou en coordonnées homogènes Y = X tang ^ ; sa tangente
COURBES PLiVNKS 291
au point Xq, Y^, Z^, aura donc pour équation
x/tang|^-— ^^\--Y+— 4- = o.
â93. Si Ton exprime que la droite précédente (14) passe en un point P donné (a, g, y), on trouve Téquation
qui exprime que le point de contact d'une tangente issue du point P se trouve sur la courbe
«Fx + PF^ + Y^z = o. (15)
Dans les cas où la courbe donnée est algébrique de degré m, Téquation précédente représente une courbe de degré m — 1, qu'on appelle la première polaire du point P. Elle coupe la courbe donnée en f)i{m — 1) points, qui sont les points de contact des tangentes menées par P à la courbe donnée, d*oii ce théorème :
Les points de contact des tangentes issues d^un point à une courbe algébrique de degré m sont sur une courbe cUgêbrique de degré m — 1 .
Et comme la coordonnée 7 de P peut être nulle, on voit que
Les points de contact des tangentes menées à une courbe algébrique^ d ordre m, parallèlement à une direction donnée, sont sur une courbe algébrique d ordre m (m — 1).
294. Dans le cas particulier où m = 2, les dérivées qui figurent dans Téquation sont aussi du premier degré ; cette équation représente la polaire, ou la corde de contact des tangentes issues de P à la conique. Le lecteur vérifiera sans peine que, dans ce cas, Téquation de la tangente peut aussi s'écrire
\K + y.f; + 'A,vi = o. (16)
Points singuliei^
295. Tout ce qui a été dit dans les n°' 291 et suivants suppose essentiellement que la tangente au point M de la courbe soit unique et bien déterminée. Dans ce cas, le point M est dit simple ou ordinaire. Or cela ne saurait être si Ton a en même temps
ou, en employant les coordonnées homogènes,
Fx,{Xo,Yo,Zo)z=.o, F;^(Xo,Yo,Zo):=o, F^^(Xo, Y„/ZJ = o.(18)
Dans ce cas, les équations (11) et (14) deviennent indéterminées, et le point M est dit point singulier. Il faut alors refaire la théorie.
