Soit donc

Téquation de la courbe, et supposons que toutes les dérivées partielles, jusqu'à Tordre/? — 1, soient nulles poura: = jtq, y = y^, et que celles de Tordre p ne soient pas toutes nulles, comme l'exprime le tableau suivant

/"xo («?oi yo) = o. fvo (^01 yo) = o^

r;'/iV(^o. yo) = o, f^^-j^ [X,, y,\ ..., /;^-JK«?o. yo) = <>;

alors le point M (.rQ, y^) sera dit un joom/ multiple d'ordre p. Cela posé, soit

y - yo — À(./r — x^), (17)

l'équation d'une sécante passant en M. Ses points «le rencontre avec la courbe seront donnés par l'équation pr^rt'dente et par Téquatiôn (1); ea éliminant y, on aura réqu^lion aux abscisses

/"[•^S-Vo + ^G^ — ^o)] = û.

Posons

l'équation précédente devient

r{^Q + h, yo + k)=z o.

Nous supposerons que la fonction remplit les condilinns requises pour appliquer le théorème de Taylor, n" 170; en remarqu^ant que toutes les dérivées, jusqu'à Tordre p quUisivement, sont nulles, nous aurons

Rp est le reste de la série et est de degré jo -+ 1 au moins par rapport à A et à k. Remettons XA à la place de A\ «Ihii^ l'équation précédente, on voit qu'elle donne p racines nulles pour A; donc la droite (17) rencontre la courbo m /t points, confondus avec le point M. Après suppression de ces p racines nulles, l'équation (18) devient

ri 74 (^'-0^ yo) + p>4-',, (^0. 3/0) + . . . -i • ^Yjf V«, I/o). +h\y. = - 1 '^+

pour que la sécante devienne tangente, il faut qu'un nom < au point de rencontre avec la courbe vienne ofi M, ou qm* l'équation (19) ait une nouvelle racine nulle, ce qui dniinr-

r|(^o. yo) + pVi?-«J.yo. ^0) + ... + ^Y|(.ro>yo) -^- :^'i-

Cette équation en X est l'équation aux coefficients angulïiircs

des p tangentes à la courbe au point M, et Ton aurait l'équation de l'ensemble des p tangentes en éliminant X entre cette équation et Téquation (17); mais celte manière de parler suppose qu'il y a eflectivemenl p branches de courbe passant en M. Nous aurons à examiner ce point de plus près; mais auparavant et pour n'avoir pas à faire une double étude, nous considérerons le cas particulier où le point M est rejeté à l'infini.

Théorie des asymptotes

297. Une courbe (C) est dite asymptote à une courbe (C), si la plus courte distance d'un point M de (C) à (C) tend vers zéro, lorsque M s'éloigne indéfiniment sur (C).

Les courbes étudiées le plus ordinairement comme asymptotes sont la droite, le cercle, la parabole. Nous ne nous occuperons, dans ce paragraphe, que des droites asymptotes, d'où Ton peut d'ailleurs, par des transformations connues, passer au cercle et à la parabole. Soit à déterminer une

Fkj. 8.

asymptote A de la courbe (C); par définition, la distance MP de M à A doit tendre vers zéro lorsque M s'éloigne à l'infini sur la courbe, et Ton peut remarquer que la distance de M à la droite peut être comptée parallèlement à toute direction MQ, qui fait avec A un angle déterminé non nul. Si donc on cherche d'abord les asymptotes parallèles à Oy, on pourra compter la distance MQ parallèlement à Ox, et le problème sera ramené au suivant : chercher s'il existe des quantités finies a telles que, x étant Tabscisse du point M, la différence .r — a

tende vers zéro lorsque y devient infinie, ou encore chercher les valeurs finies de x qui rendent y infinie. Au lieu

de rendre y infinie, on rend - nulle, et le problème est

ramené à un problème d'algèbre bien connu.

Cherchons maintenant les asymptotes non parallèles à Oy ; la distance MQ sera prise ici parallèlement à Oy ; si

Y = car + c/

est l'équation de Tasymptote inconnue, et si y est lordonnée de M correspondantà la même abscisse que celle du point Q, il faudra déterminer c et d par la condition que // — Y ou

y — ex — d tende vers zéro en môme temps que — Dans

les mêmes conditions, l'expression '^ — tend vers

zéro, ce qui exige, comme rf est finie, que

e=lim^; (21)

Cette équation montre que les coefficients angulaires des asymptotes sont les mêmes que ceux des droites qui joignent Porigine aux points M rejetés à P infini.

Le coefficient angulaire c étant déterminé, on aura d par la même condition que y — ex — d tende vers zéro, c'està-dire que

rf= limfy — ex). (22)

:298. ExEMPi.Es. — 1** La courbe

appelée strophoTde, admet comme asymptote la droite x= — a, parce que x = — a rend // infini.

2° Soit la courbe

Comme asymptote parallèle à Oy, nous trouvons jr = — t : pour avoir les autres, calculons ^ :

Pour j- = oc , le second membre prend la valeur 3, qui est donc le coefficient angulaire de Tasymptote non parallèle à 0^'. L'ordonnée à Torigine se trouvera en cherchant la limite de

3a?» — 2a? — 1 ., 5ar + 1

La limite est — 5, et l'équation de cette asymptote

3*" Considérons enfin la courbe qui a pour équation

y zrr v^a?» — '6x^ — 1 — \lx^ + X + 1. (24)

La formule du binôme généralisé (n'' 157) nous donne

8 étant finie lorsque x est infinie. De même

Portons ces valeurs dans l'équation (24) et simplifions. Il vient

6' restant finie lorsque x est infinie. Si x devient infinie par valeurs positives, il faut, dans la parenthèse ambiguë, prendre le signe +, ce qui donne

pour première asymptote. Si j: = — oo , il faut prendre le signe — , ce qui donne pour Téquation de la courbe

et il est évident que

est une seconde asymptote ; car la différence - entre lor-

donnée de la courbe et l'ordonnée de l'asymptote tend vers zéro lorsque x devient infinie.