Cas dks courbes algébriques. — Si Téquation

est algébrique, on peut l'ordonner par rapport aux puissances

ascendantes de -

sous cette forme, on voit que les valeurs finies de x qui rendent y infinie sont racines de Téquation

rp (^) = o.

Soit a une racine de cette équation; la droite

sera une asymptote parallèle à Oy.

Ordonnonis maintenant Téquation (1) en groupes homo-

gènes de degrés décroissants

9p(a:, y) désignant un polynôme homogène de degré />. En divisant par x"", cette équation devient

et les valeurs finies de *^' qui correspondent à x infinie, seront les racines de

Soit c une racine de cette équation; il reste à trouver la Haute de y — ex. Pour cela, on posera

t/ — ex ^Z, ou

or 0?

Portant cette valeur dans (28) et ordonnant par rapport aux

puissances ascendantes de -> on trouve

et les valeurs finies de rf, qui correspondent à x inlinie, seront obtenues en égalant à zéro le premier des coefficients de cette

équation en-? qui ne s annule pas. Dans le cas général, on

aura donc, en appelant d la limite de 3,

30â. Théorèmk. — Lorsque la tangente au point qui s'éloigne à rinfini tend vers une position déterminée^ cette position est rasymptote.

En effet Téquation de la tangente est

Supposons que le point x^^ y^, s'éloigne à Tinfini et que

-t^ ail une limite c; on a vu n® 193 que '^ a alors la même dx,, ^ x^

limite. Donc la direction limite de la tangente est celle de

Tasymptote ; quant à son ordonnée à Torigine

elle peut s'écrire, en désignant les dérivées par des lettres accentuées

xl \ xj

et, si elle a une limite, en vertu du même théorème, l'expression

^ = y.^cx.

aura aussi la môme limite, qui est bien l'ordonnée à rorigine de Tasymptote.

303. Il importe de montrer qu'il peut y avoir des asymptotes qui ne sont pas limites de tangentes. L'exemple de la

sin X courbe y = — — est classique. Pour j:r = oo , le sinus oscille

entre — 1 et + 1 , tandis que le dénominateur croit à rinfini ;

y tend donc vers zéro, et l*axe des x est une asymptote ver*ï laquelle tend la courbe en la traversant par des sinuosilô^ de moins en moins amples. Le coefficient angulaire de Li tangente

dy x coSvC — sina: cos.t sin.r

dx »/'* X x^

tend vers zéro ; mais l'ordonnée à Torigine dxi , 2 sin â?

est indéterminée.

304. Emploi des coordonnéks noMOGèNEs. — Plusieurs des résultats précédents se présentent très simplement lorsqu'on emploie les coordonnées homogènes. Nous nou^ bornerons au cas des courbes algébriques. Dans ce cas, Téquation (27) devient, après substitution des coordonnéfs homogènes,