X, Y) 4- Zç>.,>, (X, Yj + ZV-2 (X, Y) + ... - o

Les points à Tinfini étant caractérisés par un Z nul, h' rapport de leurs deux autres coordonnées sera donné pur Téquation

Cette équation s'écrit en mettant en évidence les facteurs X , Y

XnVi(X, Y) = o,

ce qui impose a facteurs X nuls (Y est alors différent <l<^ zéro) et 3 facteurs Y nuls (X est alors différent de zéro). Un obtient ainsi a points à l'infini dans une direction parallMe à OY et g points à l'infini sur des parallèles à OX. Il reslo m — a — ;3 directions asymptotiqucs non parallèles aux axes dont les coefficients angulaires sont les racines J<*

réqoation

Pour avoir les asymptotes correspondantes, nous les considérerons comme limites de tangentes^ ce qui est toujours permis dans les courbes algébriques. La tangente en un point ayant pour équation (14)

comme on a ici

Fi = 9«^ -f 2Z ^«-a -f ...,

lasymptote qui correspond à Zq = o et qui a pour coeffi-

cient angulaire c = «r? aura pour équation

^ rfy.„ (X,, Y,) ^ ^ d^^ {\, Y,) ^ ^^^^^ ^^^^ y^^ ^ ^ j3(,.

C'est, sous une autre forme, le résultat déj^à obtenu; car si Ton fait X^ = 1, Yo = c, Tordonnée à Torigine de la droite précédente prend précisément la valeur Jonnée page 299. Quant au coefficient angulaire

rfX„

drf„

rfYo

il est égal à ^^ en vertu de Tégalité d'Euler relative aux

fonctions homogènes

Si réquation (30) prenait une forme illusoire, le point à l'infini serait singulier, et on lèverait l'indétermination en employant une méthode calquée sur celle de la page 292.

305. Les résultats, rappelés au paragraphe précédent, sont susceptibles d'un énoncé absolument géométrique, si Ton convient de dire que Z = o caractérise la droite à rinfini. Alors nous venons d'étudier simplement la nature des points de rencontre d'une courbe avec la droite à l'infini et les tangentes en ces points. Ce nouveau point de vue permettra d'assimiler les points à Tinfini aux points situés h distance finie, et ces points pourront être classés, comme nous allons le faire pour les autres, en points ordinaires, points d'inflexion, doubles, triples, de rebroussement, etc.

306. On peut aussi démontrer que les formules, utilisées plus haut, aux notations près

reviennent à une simple mise en perspective de la courbe.

FiG. 9.

Soit en efl'et 0 le point de vue projeté sur un plan horizon-

tal en o et sur le tableau en o\ de manière qtie

m un point du plan horizontal projeté à partir de 0 en m\ Les axes étant indiqués sur la figure, on aura

op op » .y

-^ = -^ ou y = a -

pm 0(1) "^ X

o'p op , .y'

D'où, en multipliant,

= ab.

Pour a == 6 =;= 1, on retombe bien sur les formules mises au début de ce paragraphe. Ainsi à un point rn correspond un seul point m, et réciproquement; mais, si m s'éloigne à

rinfini dans une direction telle que lim^==c, m tend vers

un point situé sur oy\ qui a pour ordonnée c, et, comme on vérifie sans peine qu'à la tangente d'équation

^"'^ dx^^ ^ dx correspond la tangente d'équation

dx ' '^ dx

il en résulte que Tétude du point à l'infini et de l'asymptote ou des asymptotes est encore, par cette transformation, ramenée à l'étude d'un point situé à distance finie, les singularités se correspondant.

Étude d'une courbe aulour d'un point singulier

:107. Nous avons donné (n*' 295 et 296) les conditions analytiques pour qu'un point soit singulier. Voici quelques considérations géométriques qui feront mieux comprendre les définitions données plus haut.

Si toute sécante, qui passe à une distance infiniment petite d'un point M, rencontre la courbe en des points dont un seul soit infiniment voisin de M, le point M est simple. Si la sécante coupe la courbe en des points dont p soient infiniment voisins de M, le point est multiple d'ordre p. Dans ce cas, une sécante passant au point M coupe la courbe en p points, dont les coordonnées coïncident avec celles du point M; c'est ce que nous avons exprimé plus haut en disant que la sécante avait jo points confondus avec le point M (Voir aussi le théorème énoncé à la fin du n° 309 ).

Les dispositions de figures ci-dessous ont reçu les noms suivants

M Point d arrêt

Point double.

Poiat de rebroussement de première espèce.

Point de rebroussement deuxième espèce.

FiG. 10.

CALCUL IXriSITifeSLHAL.

Point saillant.

ao6

En général, en un point multiple d'ordre p se croisent p branches de courbe; mais plusieurs de ces branches ou même toutes peuvent être imaginaires. L'apparence géométrique ne correspond plus alors au fait analytique; mais, dans la pratique, cela ne peut introduire de confusion. Lorsque toutes les branches, qui passent en un point réel de la courbe, sont imaginaires, le point est dit isolé; on emploie aussi les locutions point double imaginaire, point multiple imaginaire.

Afin de ne pas avoir à revenir sur les points singuliers

autres que les points multiples, je traiterai immédiatement

trois exemples :

V La courbe y = ^' a un point d'arrêt à Torigine; car, pour X infiniment petit négatif, l'ordonnée y est nulle, tandis que, pour x infiniment petit positif, y est infini. On peut donc dire que la courbe a un point d'arrêt à l'origine pour sa branche qui vient de gauche, et même un point d'arrêt à l'infini, dans la direction de oy, pour sa branche

Fio. 11.

de droite; mais cctlc dernière désignation a quelque chose de forcé et est peu employée. On emploie plus souvent les mots de point multiple à l'infini, point de rebroussement à l'infini; ces expressions correspondent aux dispositions que présentent les points de même nom, à distance finie, lorsqu'on fait une perspective de la courbe sur un plan parallèle au rayon qui va de l'œil au point M. Au fond, ce sont de pures désignations analytiques.

2® La courbe qui a pour équation

3ri7

présente un point saillant à Torigine. Le coefficient angulaire de la tangente en 0,

i +e^ a pour valeur zéro, si x = -[-zéro, et -h 1 si .r = — zéro.

FiG. 12.

Les exemples (juo nous venons de donner se rapportent à des courbes transcendantes.

Les courbes algébriques ne jjrésentent ni point (Carrét ni point saillant, — Filles n'ont pas de points d'arrêt parce que l'ordonnée est une fonction continue de Tabscisse ; elli*s n'ont 4)as do points saillants puisque, si Ton élimine // enlj<* Téquation de la conrho et Téqualion

n + yTy = o,

qui fait connaître le coefficient angulaire f/ de la tangente, on obtient une équation algébrique entre x et //, d'où il résulte que ce coefficient angulaire est une fonction continue de Tabscisse.

3" Considérons enfin la courbe représentée par l'équation

le radical ayant sa valeur arithmétique. C'est une demicirconférence dont le centre est h l'orig^ine et dont le diamètre limite est sur o,r\ les extrémités de ce diamètre pourraient (>tre prises comme points d'arrêt de la courbe. Mais, en réalité, nous n'avons là qu'une portion de la circonférence

et si, pour l'aspect géométrique, on a des points d'arrêt, ces points sont évidemment d'une nature tout autre que ceux considérés dans les deux premiers exemples. Dans le premier exemple, la fonction y éprouvait une véritable discontinuité; il en est de mt^me pour la dérivée dans le second exemple.

Dans tout ce qui suivra, nous ne considérerons désormais que des fonctions continues, ou au moins nous ne considérerons les fonctions que dans les intervalles où elles sont continues ; plus exactement nous supposerons toujours que ces fonctions peuvent être développées en série, dans ces intervalles, par la formule de Taylor.

308. D'après nos définitions, un point singulier est un point où la tangente n'a pas une équation unique et bien déterminée. 11 est essentiel d'ajouter que cette définition suppose essentiellement les coordonnées rectilignes. Deux exemples feront mieux comprendre notre pensée. V La courbe

__ 14-^ cQs fa) ^ "" 1 — 2sino)

présente un point double. Mais ce point s'obtient par deux valeurs différentes de <•), savoir

0)==- et ^ = -[^'

chacune de ces valeurs donne, comme Ton sait, une forme bien déterminée pour Téquation de la tangente. Si Ton cherchait Téquation de cette courbe en coordonnées rectilignes, les deux points, provenant de ces valeurs de w, seraient confondus, et pour ce point Ton aurait

r{a',y) = o, n = o, ry = o,

2° Le môme incident se présente avec la courbe déterminée par les deux équations

x-ii-^ J

Si Ton donne h t les deux valeurs

les deux coordonnées du point M prennent les valeurs

Lorsque / varie de — oo à H- oo , la courbe passe donc deux fois au point dont les coordonnées viennent d'être données; mais les valeurs do dx et de rfy sont parfaitement déterminées pour /' et pour t" \ les deux tangentes au point double sont donc bien déterminées et indépendamment Tune de Tautre. Formons, au contraire, Téquation en coordonnées rectilignes de la courbe, par l'élimination de /entre les équations (31); on trouve

r [x, y) = xV + 2a. (y -j- 2) ^ (1/ H- 2)2 = o,

et au point

on a évidemment

En coordonnées rectilignes, l'équation ordinaire de la tangente est indéterminée .

Cest un des problèmes les plus intéressants et les plus importants de l'analyse que celui qui consiste à séparer les branches qui se croisent aux points multiples, ou encore à ramener Tétude des fonctions à singularités à colle des fonctions sans singularités. Cette étude se rattache à une notion nouvelle relative aux courbes, celle du genre, dont nous parlerons plus loin.

Le problème que nous traitons ici est plus simple; nous voulions seulement faire observer que la difficulté que nous avions à lever peut souvent tenir au choix des coordonnées et ne pas être inhérente au problème de géométrie, auquel le calcul a été appliqué.

309. Une dernière remarque préliminaire sera utile. Nous avons déjà vu que Tétude des branches infinies se ramène à la recherche des solutions infiniment petites d'une certaine équation (26). Il en est de môme pour les branches des courbes qui passent en un point singulier. L'équation (19) fait connaître les valeurs de A, qui correspondent à chaque valeur de X, et le problème qui se pose est de savoir si, pour des valeurs de X infiniment voisines des racines de Téquation (20), il existe des valeurs infiniment petites de h, et quelle est la nature de ces valeurs. Soit X, une racine de l'équation (20) ; si Ton pose

on obtient une équation entre s et A, dont il faut, comme pour l'équation (26), trouver les solutions infiniment petites. La méthode que nous allons employer est donc absolument générale et s'applique toutes les fois qu'on a à chercher les solutions infiniment petites d'une équation de la

forme

où le premier membre désigne une série convergente, sans terme constant, ordonnée suivant les puissances ascendantes des variables. On suppose, de plus, qu'il y a toujours un terme indépendant de x et un terme indépendant de y ; sans quoi y ou X serait en facteur et devrait être supprimé. La méthode est fondée sur ce principe que l'égalité ne peut s'établir qu'entre infiniment petits de même ordre; il s'ensuit évidemment qu'il y aura toujours deux termes, au moins, de chaque ordre, et en particulier de l'ordre moindre. En écrivant cela, et en prenant y comme infîniment petit principal, on obtiendra les valeurs principales de l'infiniment petit x\ mais, comme plusieurs racines différentes x\ x\ x\ peuvent avoir la môme valeur principale x^^ il faudra poser de nouveau

^ = 07^ 4- YJ,

Yî étant un nouvel infiniment petit, dont la valeur principale se déterminera comme ci-dessus.

Nous admettrons comme démontré le théorème suivant : Soit l'équation

SAflef,a?«yP = o,

dont le premier membre de la quelle S est une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes des variables; si, pour a:= o, cette équation admet p racines nulles en y, pour x infiniment petit, l'équation admettra p racines infiniment petites en y, développables en séries convergentes suivant les puissances ascendantes de x,

310. Pour plus de clarté, je resterai dans les termes du problème posé, n" 296, en simplifiant seulement les notations. Supposons d'abord les axes transportés parallèlement à eux-mêmes, de manière que l'origine se trouve au point ^0» yo» ^® 9^^ revient à supposer

«0 = ^^ yo = ^-

L'équation (17) représente maintenant une droite passant par l'origine

et Téquation (19) aux abscisses de ses points de rencontre avec la courbe pourra s'écrire

X étant donnée, à une valeur de x correspondra par l'équation (32), une seule valeur de y, donc un seul point de rencontre et le nombre des racines réelles de réquation (33) sera le nombre exact des points réels communs à la sécante et à la courbe.

L'équation (20), aux coefficients angulaires des tangentes, s'écrit ici

(p(X)=io; (34)

elle est, par hypothèse, de degré y^, et l'étude qui nous reste à faire est différente, suivant qu'il s'agit de racines simples ou multiples de ^(X).

31 1. V Soit X, une racine réelle simple de cette équation correspondant à la tangente OT; cette racine peut aussi annuler un certain nombre de coefficients des puissances de X ; soit x^g (X) le premier des coefficients qui ne s'annule pas, et soit enfin

X — X^ = e, q> (Xj = eo^ (X),

£ désignant un infiniment petit, et Ç| (X) ne s'annulant pas pour X = X|. L'équation (33), réduite à ses termes d'ordre moindre, s'écrira

6çp^(X,)-f ^*^(XJ--=o; (35)

en effet tous les termes négligés contiennent soit des puissances de a: ou de c supérieures à celles conservées, soit des produits de puissances moindres de x^ par des termes qui

contiennent s en facteur. C'est celte équation qui fait connaître les points de rencontre de la courbe et de la sécante y = (X, + s) X, infiniment voisine de OT. Deux cas sont à distinguer : si a est impair, Téquation (35) fait connaître^ pour toute valeur de s, une seule valeur réelle de x^ et cette valeur change de signe avec e, c'est-à-dire lorsque la sécante passe d'un côté à Tautre de la tangente. Si, par exemple^ ?i (^m) ^^ 9K^\) s^^* d^ signes contraires, s et a: sont de mômes signes, et Ton a la disposition de figure ci-dessous

Fio. 13.

Si ?i(X,) et jr(/M) sont de mômes signes, la courbe est audessous de sa tangente.

Fio. 14.

Soit maintenant a pair. Pour que Téquation (35) donne des racines réelles, il faut que e<pi(Xi) et g{\i^ soient de signes contraires, ce qui ne pourra arriver que pour un des deux signes possibles de e. Si c'est pour £ positif, les sécantes qui, à droite de Torigine, sont au-dessus de la tangente, couperont la courbe en deux points situés de part et d'autre de Torigine, et la branche de courbe présentera la disposi-

tion suivauto

Fio. 15.

Si les deux valeurs réelles de jt correspondent à £ négatif, la branche de courbe se présente comme ci-dessous.

Fui. 16.

Lorsqu'on obtient cette disposition de figure et que la branche de courbe M,OMo est la seule réelle passant en 0, on dit que le point 0 est un pôini d^ inflexion, La courbe traverse sa tangente ; trois points d'intersections de la sécante MoOM^ avec la courbe sont confondus en un seul 0. Ce point peut d'ailleurs être simple ou multiple.

312* 2"* Soit maintenant X2 une racine double de Téquation (34). Nous poserons encore

A = Xa 4-

? (X) = s»cp, (X),

ç.2(>v) n étant pas divisible par X — A2 = £- Ici l'équalioD qu'on obtient en prenant dans (33) les termes de degrés moindres est un peu plus compliquée que (35), parce qu'on ignore de quel ordre est x par rapport à s ; il faut donc

COURBES PLANES 8l3t

conserver, outre les termes conservés dans (35), le lermi* de degré moindre qui contient s multiplié par une puîssanct* de X, L'équation aux valeurs principales des infinimenl peliU sera donc

« et nécessairement Ton a

sans quoi le terme du milieu n aurait pas été conservé.

Les termes de Téquation (36) sont infiniment grands, |)ar rapport à ceux de l'équation (33) que nous avons np^tîg(^s; mais rien ne prouve qu'ils soient tous les trois d'un même ordre. Tout ce qu'on sait, c'est qu'il y en a au moins diuix de Tordre moindre, et que, s'il n'y en a que deux, le troisit-me est d'ordre supérieur et doit être négligé. D'où ptusitMirs essais à faire pour grouper ces trois termes; la discus^^îon conduit aux trois hypothèses suivantes :

Première hypothèse : a < 2g. — Le seul groupement possible est celui où le premier et le dernier terme noiit de

même ordre [x de l'ordre - par rapport à s); Téqualion (3(î)

se réduit à

*S(^a) + ^-V ('li— o,

d'où l'on tire pour x une valeur de la forme

X =z (Ac»)«.

Si a est pair et A négatif, il n'existe de valeurs réelles Je j^ pour aucune valeur de s, c'est-à-dire que, pour aucune sécante passant par 0 et voisine de la tangente de coeflicient Xo, il n'existe de point réel ; les a racines et les deux branches correspondantes sont imaginaires. Si a est pair et A positif, pour toute valeur de s, j- a deux valeurs réelles égales et de signe contraire, et la branche présente la dispo-

sition ci-dessous

Fio. 17.

Si a est impair, quel que soit le signe de s, on trouve une valeur réelle pour j, positive si A est positif, négative dans le cas contraire. C'est le cas du rebroussement de première espèce.

Fio. 18.

Deuxième hypothèse : a > 23- — Les deux groupements exclus dans Thypothèse contraire deviennent ici les seuls possibles, savoir : premier et deuxième termes de même ordre ; l'équation (36) se réduit à

deuxième et troisième, termes de raèm'e ordre, l'équation se réduit à

eTT (X2) + x^-^g [\) = o ; (38)

et chacune de ces équations étant analogue à Téquation [X)] fournit une branche avec une des quatre dispositions dessinées figures 13 à 16. La juxtaposition des branches fournies par

ces deux équations conduira à une des sept dispositions que