Considérons une fonction bien définie
de plusieurs variables w, r, tt\ et supposons que les quantités w, r, w soient elles mômes des fonctions bien définies d'une variable indépendante x, La fonction lù est dite alors une fonction composée de x par l'intermédiaire des fonctions î/, r, w de cette variable.
Désignons para^Q une valeur déterminée quelconque parmi celles que la variable indépendante x peut prendre ; soient
t/o,roî*^o^^s valeurs correspondantesdew,r, 10, eto)o==/(wQ,t;o,î^'o) la valeur que prend alors w. 11 est clair que si x tend vers
zéro, w, V, w tendent vers Wq, Vq? ^'oî puisque w, t', w sont des
fonctions continues de x\ par suite w tend alors vers wq
puisque / est par hypothèse une fonction continue de w, v, u'.
Donc : Une fonction composée w =/(«, r, w) est une fonc-
tion continue de la variable indépendante x, si f est une fonction continue des fonctions intermédiaires te, r, w?, et si ces fonctions intermédiaires sont à leur tour des fonctions continues de X.
Nous avons déjà rencontré plusieurs cas particuliers de ce théorème, et notamment le cas des fonctions ia\ */".
Remarquons que si les fonctions intermédiaires ?/, r, w se réduisent à une seule m, la fonction composée o) devient simplement une fonction de fonction.
Enfin, au lieu de supposer que les fonctions intermédiaires w, V, w ne dépendent que d'une seule variable x^ on peut concevoir que ?/, r, w soient des fonctions de plusieurs variables indépendantes j-, y, ... On aura alors une fonction composée de plusieurs variables indépendantes ,q[ii sera d'ailleurs une fonction continue de ces variables si t/, r, w sont des fonctions continues de jr, // ..., et si /est à son tour une fonction continue de r, Uy te,
29. Lorsque Téquation qui lie une fonction y k une ou à plusieurs variables indépendantes est résolue par rapport à y, on dit que y est une fonction explicite. Sinon, on dit qu'elle est implicite; il ne sera question jusqu'au chapitre vu que de fonctions explicites.
Difjrcssion sur le nombre e
30. Le nombre e jouit d'une propriété qu'il est indispensable de connaître : c'est la limite vers laquelle tend l'expression
lorsque m croît indéfiniment.
Supposons d'abord ?n entier et positif.
La formule du binôme donne :
'^"=' + î+rl+îi3+- +
on posant, pour simplifier récriture
w (m — Ij... fm — n+i) m — i m — 2 m — n+i
Un = — ^ :: = > '..■
m'* mm m
OU
//„ est donc de la forme
a, 3, ... A étant des nombres positifs inférieurs à 1.
Or, on sait, par Talgèbre élémentaire (*), que la valeur d'un tel produit est comprise entre 1 et
l-(x + p+...+X) Comme on a ici
il vient
el, en divisant par 1. 2. ... /*,
Dès lors, en faisant successivement n = 2, 3, ... wi, ajou-
(») La preuve est d'ailleurs fort aisée : on a d'abord
pais, en multipliant par 1 — y
(1 - a) (l - p)(l - y) > 1 -(« + i?) - Y + Y (« + ,î)> 1 -(« -f p -f t) et ainsi de suite.
tant et augmentant de 2 chacun des résultats, on a
On voit par là que la valeur de l'expression (12) est comprise entre deux quantités qui tendent Tune et l'autre vers e quand wi croît indéfiniment, d'où l'on conclut que celte expression a pour limite e.
Le théorème subsiste lorsque m, tout en restant positif, n'est plus astreint à ne prendre que des valeurs entières.
En effet, attribuons à ?)* une valeur positive quelconque, et soit \i.-h 1 l'entier immédiatement supérieur à cette valeur. L'expression (12) sera moindre que
et plus grande que
Or, quand ?n croît indéfiniment, il en est de même de l'entier jjl ; chacune des expressions (13) et (14) étant alors le produit d'un nombre qui tend vers e par un facteur qui tend vers 1, aura pour limite e ; et, par suite, il en sera de même pour l'expression (12) dont la valeur reste toujours comprise entre celles de (13) et de (14).
L'expression (12) tend aussi vers e, lorsque ?n est négatif et qu'il grandit indéfiniment en valeur absolue.
Kn effet, soit
|JL désignant un nombre positif, on aura
('+a"=(<-?iîr"=(^r'
OU
Or, lorsque la valeur absolue de m croît indéfiniment, \). devient infini, et l'expression précédente, produit de deux facteurs, dont Tun tend vei's e et Tautre vers 1, a pour limite e.
IM. Si Ton pose — =a, a tendra vers zéro lorsque m
croîtra indéfiniment, et le théorème qui précède prendra ce nouvel énoncé :
L'expressi(m (l + a)« tend vers e, lorsque a tend vers zéro.
Plus généralement, Yejrpressioa (1+a) ^ a pour limite e^^ si, lorsque ol tend vers zéro^ le produit a^ a pour limite p.
Cela résulte du théorème précédent et de ridentité
il»?
(1 + aiP = [(1 + a)i]
Par exemple, l'expression (1 +sin./) ''"•'^' a pour limite e, lorsque x tend vers zéro; car, sinj? tend alors vers zéro et le produit sinr. cotg./-, qui est égal à cos.r, a pour limite l'unité.
Premiers exemples île déi'îvées
3*^. La dérivée d'une fonction /(j), c'est-à-dire {n° 2) la limite du rapport
lorsque h tend vers zéro, est en général une quantité déterminée, indépendante de la manière dont h tend vers zéro. Elle dépend de la valeur attribuée à x; c'est une fonction de cette variable, que Ton désigne par la notation
c'est-à-dire en plaçant un accent sur le symbole / qui désigne la fonction.
La dérivée a été introduite dans la science par Newton, sous la dénomination aujourd'hui abandonnée de fluxion; c'est à Lagrange que l'on doit le nom de dérivée^ ainsi que la notation (2).
