VOICI

Vu:. 19.

Troisième hypothhe : a -- 2^. — Les trois termes sont ici de môme ordre, et Téqualion (36) s'écrit en remplaçant a par 2g et divisant par s-

^aW + Y'TlX.j+^-^y^M^o.

Cette équation peut avoir ses racines soit imaginaires, auquel cas il n'existe aucune branche réelle tangente à OT, soit réelles et distinctes, auquel cas Téquation se décompose en deux de la forme x'^ = sB, ce qui conduit, comme dans le cas précédent, à Tune des sept figures 19, soit enfin confondues.

Dans ce dernier cas, l'équation (39) peut s'écrire

rx^

et il semble qu'il n'y ait plus qu'une seule branche réelle tangente à OT. Mais il importe de remarquer que, jusqu'à présent, nous n'avons considéré que les parties principales des infiniment petits; or deux infiniment petits différents peuvent avoir la même partie principale. La question ne s'était pas posée jusqu'ici, parce que les infiniment petits

s'étaient trouvés distingués par leurs parties principales et que nous avions trouvé dans chaque cas deux branches dit férontes correspondant à la racine X^. Ici, les infiniment petits ne sont pas séparés, et le nouveau problème qui se pose est de savoir s'il existe effectivement deux ioliniment petits ayant la même partie principale fournie par Téquation (40). Pour cola, considérant toujours e comme Tinfiniment petit principal, nous poserons

X étant lu partie principale donnée par Téquation (40) et j inliniracnt petit par rapport à x\ Portons cette valeur de j dans l'équation (33), où nous remplaceions aussi X parX^-f-^; nous avons une nouvelle équation entre les infiniment petits x' et s, qu'on traitera comme Téquation (33). En générales deux branches se sépareront dans le cour» de cette nouvelle étude ; mais, si Ton était acculé à la troisième hypothèse que nous venons d'étudier et au cas particulier où Téquation (39' a ses racines égales, il faudrait poser

x" étant la valeur principale do x\ et ainsi de suite. Les deux infiniment petits finiront toujours par se séparer, à moins que la fonction donnée f{x, y) ne contienne un facteur carré qui correspondrait à une courbe double faisant partie de la courbe étudiée.

11 no faudrait pas s'empresser de conclure de la réalité de X donnée par l'équation (40) à la réalité d'une branche correspondante pour toute valeur de s; car il reste à trouver x' et peut-être d'autres termes de cet infiniment petit

Soit, par exemple, la courbe

[y — xY — 2 (^ — x) x^ -[' x^ — x^ — y« = o. On est conduit en posant

>=3 (t + fi) a?

à la première valeur approchée x == s. Soit ensuite

su :=■ x' *\- x" \

on trouve

et Ton voit que e doit fttre positif. On a donc deux valeurs pour x\ d où résultent deux points sur toute sécante passant à Toriginc auKlessus de la tangente. Les valeurs de x sont

et sont positives toutes les deux. On a un rebroussement do seconde espèce.

Ci 13. 3** Il faut maintenant considérer les racines multiples de l'équation (3i), d'ordre de multiplicité supérieur au deuxième. La marche suivie jusqu'ici devient de plus en plus pénible, parce qu'au lieu d'une équation à trois termes, comme l'équation (30), on aura à grouper les termo^ d'une équation à [jl + i termes, si ;j. est le degré de multiplicité de la racine considérée. En pratique, cette équation sera, la plupart du temps, incomplète, et l'on pourra procéder comme précédemment; mais il importe d'avoir unr règle générale pour le cas où le groupement des termes offrirait trop de diflicultés. (^elte règle, qui est due à Newton, est la suivante : soit X' la racine multiple d'ordre |a d<* l'équation (3't), on fait dans Téqualion (33)

soit encore

et* + Ail^-'o;* -{- BcS^ *^a;? -f- ... -f Ki/'o?' f ... + L.r> - o (41

IV^qualion contenant les termes principaux de Téquation (33). ^q liai ion dans laquelle il s'agit de trouver les groupes de termes de Tordre minimum d'infinitude. On trace dans le plan deux axes rectangulaires, et Ton marque dans c-e plan les points qui ont pour coordonnées les deux exposants g et /i dr* X et de £ dans chaque terme. Comme ni a — \\ ni j, ne sont plus on facteur dans Téquation (33), réqualion(Ui conllefidra toujours un terme indépendant de x, et un nglrc de £, c'est-à-dire que, dans le tableau de points précédents, il y en aura toujours un au moins sur Os et un autre sur 0,/". Tous les autres sont, bien entendu, dans Tangle zOi. Cola posé, concevons une droite mobile d'abord dirigée Buivant Oe, et qui s'en détache de manière à pivoter autour de son point A, dans le sens trigonométrique. Arrôtoiis-la an nitmient où elle passe pour la première fois par un des points marqués; dans cette position, elle contient peut-être

Fio. 21.

plusieurs de ces points : soit B le point le plus à droite. La droite AB laisse au-dessus d'elle tous les points qu'elle ne renferme pas. Faisons, do nouveau, pivoter la droite dans le même sens, mais cette fois autour de B, jusqu'à ce qu'elle rencontre un nouveau point; soitC le point le plus à droite parmi ceux qu'elle contient maintenant. Tous les points qui no sont pas sur BC sont au dessus. Faiso.is, de nouveau, pivoter la droite autour de C, et ainsi de suite jusqu'à ce qLi*e!le passe par le point F sur 0^. Nous avons ainsi

COURBES PLANES Sti

formé une ligne brisée ABCDEF, que nous appellerons polygone de Newton. Tous les points qui n'en font pas partie sont dans la région de langle zOx, qui ne contient pas Torigine.

Nous allons démontrer qu'à chaque côté du polygone correspond un groupement acceptable de termes de l'équation (41), et qu'on aura ainsi tous les groupements ; le coefficient angulaire d'un côté du polygone^ changé de signe, est égal au degré d^infinitude de x, par rapport a s, dans le groupement considéré.

Soit en effet m le degré d'infinitude de x par rapport à £,

c'est-à-dire supposons que -;;; ait une limite finie M non

nulle; un terme quelconque do Téquation (41), Kz^x^ sera de Tordre p + mq et, entre les termes de même ordre, on aura les égalités

d'où Ton tire

qi — q q% — q

Or '- ^ est le coefficient angulaire de la droite qui joint

le point ^;, y, au point /jj, y,; donc tous les points représentatifs des termes d'un même ordre m seront sur une même droite do coefficient angulaire — m. De plus, si — m est le coefficient angulaire d'un des côtés du polygone de Newton, tous les autres termes seront infiniment petits d'ordre supérieur. Soit en effet RsV unt el terme; il sera d'ordre s H- mt^ et la droite de coefficient angulaire — m menée par ce point aura pour équation

elle coupe Os au point M', dont l'ordonnée est

s -\- mi,

CALCUL INFINITÉSIMAL. Si

tandis que le côté du polygone qui a pour équation

e — p r= — m [rc — q) coupe l'axe Ot en un point M ayant pour ordonnée

et situé par construction au-dessous de M'. L'ordre .s- + nd, du terme Rs'./', est donc plus grand que celui du lermo Ks'*./'?. On voit en même temps que si, au contraire, on avait laissé des points au-dessous du polygone de Newton, il leur aurait correspondu des termes d'ordre inférieur à ceux conservés. Le théorème est donc démontré.

3111. Il faut maintenant trouver la limite M du rap-

port — pour le groupement considéré, c'est-à-dire pour la

valeur de m considérée. A chaque point q, /y, situé sur le côlé du polygone de coefficient angulaire — m, correspondra un terme dans l'équation : soit

Ke'V^v + K^tP^afi^ + ■•• + ^^tf'^ccf^

l'ensenihle de ces termes ; en y remplaçant x par Ms"', l'équation (41) se réduit à

KM'' + K,M''i + ... + KpM''? = o, (4^.

après suppression du facteur commun e''^'"^ Dans l'équation (42), les exposants sont rangés en croissant; on peut donc encore diviser par la quantité finie non nulle M% et l'on a enfin l'équation

K + K.M'^'i -^ + ... + KpM''?-'^ = o, (43)

qui donnera, pour M, yp — q valeurs, en général dislinctes, à chacune desquelles correspondra une branche réelle ou

imaginaire tangente à la droite ayant pour coefficient angulaire X'.

Remarquons que q^ — q est précisément la projection sur Os, du côté considéré du polygone de Newton ; l'ensemble des équations analogues à Téquation (43) fera donc connaître, en appelant)., X^, ..., q^, q, ..., v, les abscisses des différents sommets du polygone,

X — X^ + >^ — Xa -f ... + (7p — (jr + ... + V — o,

c'est-à-dire X valeurs de x pour la valeur donnée do s. On verrait de même qu'à une valeur donnée de x correspondent jjL valeurs de s, c'est-à-dire qu'il correspond jx branches à la racine multiple d'ordre \)., Chacune de ces branches peut toucher la tangente en plusieurs points confondus.

Ce qui précède suppose que Téquation (43) ait toutes ses racines distinctes. S'il n'en est pas ainsi, on opérera comme au n" 312 sur l'équation (40) : on posera

x' étant infiniment petit par rapport à la valeur principale X = Me"*, qui vient d'être calculée. On substituera cette valeur de X dans Téquation (33) où X aura été remplacé par X-f- s, et, pour le calcul de x\ on sera ramené à un calcul analogue à celui qui vient d'être effectué.

On réussira donc toujours à séparer les valeurs infiniment petites, si l'équation ne renferme pas un facteur multiple.

31o. Jusqu'à présent nous avons supposé que l'équation (34)

n'avait pas de racines infinies, c'est-à-dire qu'elle était d'un degré égal à l'ordre de multiplicité du point 0, ou encore que la courbe n'avait pas de branche tangente à Oy. Si cet accident se produisait, on lèverait la difficulté par le procédé toujours employé, dans ce cas, en géométrie analytique, qui

consiste à remplacer l'équation

soit par l'équation

x = vy,

soit de préférence par les équations

qui permettent dans tous les cas d'obtenir une équation en p d'un degré égal à Tordre de multiplicité du point.

:I16. Dans ce qui précède, nous n'avons pas distingué le réel de l'imaginaire, et nous avons donné le moyen de séparer dans tous les cas les racines infiniment petites d'une équation.

Mais il est clair que les racines réelles seules donnent des branches de courbe.