Exemple. — Soit la courbe

ce [x^ - yy 4- Axy{x — yY - 4y (2y — 3a?) = o.

V Disposition à /'origine. — Les termes du plus faible degré sont — 4y (2y — 3a:*), d'où deux tangentes : l'axe des X (y = o) ol la droite OA, représentée par {2y — 3x = o). Pour voir comment la courbe se comporte dans le voisinage de Ox^ coupons par

y = tx.

En égalant à zéro les termes infiniment petits de Tordre moindre, nous obtenons Téquation

d où la disposition indiquée par la figure 22.

I LVUide de cetlc courbe a été proposée au concours d'admission à l'École Tï^rmnte en 1888.

jTan^'^n/eOA. — Nous poserons y =(5+ ijx. Les termes infiniment petits à conserver sont ici

d'où la disposition représentée par la figure 23.

2" Branches infinies. — Les termes du plus haut degré étant X {x^ — y'^f, nous trouvons, comme directions asymptotiques Taxe des y, qui est direction simple, et les bissectrices OF et OG, qui sont directions doubles.

Fio. 22. Fio. 23.

Direction asymptotique Oy. — Soit x infiniment petit ; comme y est infiniment grand, nous poserons y = ->» et y'

sera infiniment petit. L'équation entre x et y' devient, en se bornant aux termes d'ordre moindre :

X doit être positif, et il lui correspond deux valeurs pour y\ d'où deux valeurs infiniment grandes pour y. On a donc la disposition de la figure 25.

Fio. 24. Fio. 25.

Direction de la première bissectrice OF. — Posons y=x-|-E, e doit être infiniment petit pour que x soit infiniment grand ; donc OF sera l'asymptote elle-même, et nous poserons

X étant infinimeut petit : Téquation réduite entre x et s sera

Donc X est négatif, quelle que soit la valeur de =, el Ton a la disposition représentée figure 24.

Direction de la deuxième bissectrice OG. — Après avoir constaté que Tasymptote correspondante est rejetée à finfini, posons

X étant un infiniment petit.

Le faisceau des droites qui vont de Torigine aux points de rencontre de la courbe avec la droite (A) a pour équation, après suppression du facteur x -+- y,

^ (^ + y] {^ — yy -f ^xy\ [œ — y)^ — 4y (2^ — 3a;) X* {x + y)» = o.

Une ou plusieurs de ces droites sont très peu inclinées sur la bissectrice; posons donc

i/ = (- ^ + 0 ^■ L'équation, réduite à ses termes d'ordre moindre, devient

Donc X et £ sont de même signe : la droite OP, qui correspond à £ positif, rencontre la courbe sur une droite parallèle à la direction asymptotique qui a une ordonnée à

l'origine r-? infiniment grande et positive. La droite OP', q«i

correspond à s négatif, rencontre la courbe h Tin fini audessous de la bissectrice. D'où la disposition indiquée {fig, 26) (branche parabolique).

La courbe, représentée par la figure 27, s'achèvera aisénient au moyen dés quelques remarques suivantes : les axes, ni leurs bissectrices ne rencontrent la courbe en des points réels à dislance finie; la droite OA rencontre la courbe au

point dont Tabscisse est x =

Les branches de courbe

ne peuvent donc, sauf la branche OE, sortir de l'angle où nous les avons amorcées. Nous représentons, en pointillé, les parties de courbe qui raccordent de la manière la plus simple celles qui sont déjà trouvées.

On peut d ailleurs étudier complètement cette courbe en la coupant par des droites pivotant autour de Torigine ; mais cette discussion sortirait du cadre que nous nous sommes tracé.

328 CflAPITRE XVI

Kepi*ésenlation parabolique de la courbe à l'origine

318. Toute Tétude que nous venons de faire des courbes dans le voisinage d'un point singulier est fondée sur ce théorème, que les valeurs de y peuvent, dans ce voisinage, être développées en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes et positives de x. Il importe de donner les premiers termes de ces séries. Pour cela, remarquons que nous avons posé

\i étant une racine de l'équation (34), et que tout Tesprit de la méthode a consisté à trouver la limite du rapport -^ = M.

On tire de là

et c'est la solution du problème, lorsque les diverses valeurs de y — \iX n'ont pas la môme valeur principale. Dans le cas contraire, on pourra poser

g' étant la valeur principale qui vient d'être calculée, et s' une nouvelle inconnue qui se déterminera en fonction de rinfmiment petit x, comme précédemment. En répétant cette opération autant de fois qu'il sera nécessaire, et substituant £ dans (44-), on obtient finalement la valeur de // sous la forme

y = A,x + Kx* + Lx? -f ... (46)

les exposants a, g, ..., étant positifs et croissants.

Ce calcul peut être traduit par Ténoncé géométrique suivant : « Dans le voisinage d'un point singulier, chaque^ branche de courbe peut être remplacée par un arc de parabole facile à construire; Téquation de cet arc de (>arabolf est Téquation (46). »

319. Ainsi, dans Texemple du n* 312 fns, on trouve comme valeur principale de s

posant alors, parce que les deux branches ne sont pas encore séparées,

y = X -\- œ'^ -{- t'x^ on trouve

d'où enfin les deux branches représentées par roquatiou

y =: X '\- x'^ ± x'^ sjx,

3âO. Enfin, dans l'exemple du n° 317, on a trouvé, pour la branche tangente à 0.r,

x^ et la parabole auxiliaire a pour équation

Pour la branche tangente à la droite

on a posé d'où

ce qui donne la parabole

1^ Are, tangente, asymplole et normale

I en coordonnées polaires

l 3:21. Arc. — Pour obtenir la différentielle de Tare en

't coordonnées polaires, il suffit de poser

l' .r = p cosu),

I ^ y = p sinw,

» d'où

\ dx = coswc/p — p sincocfu),

dy = sin w r/p -|- p cos w rfco.

Faisant la somme des carrés et ajoutant, on trouve

ds^ = r/p2 +• p'^cD». (47)

li^t^. Tangente. — L'équation d'une droite en coordonf^ nées polaires est

- 1= A sino) -[- B cos CD. (48)

Exprimons que cette droite passe par les deux points delà courbe infiniment voisins, qui ont pour coordonnées r, a et r -+- df\ a + (h ; nous avons les conditions

- = x\ sin a + B cos a, (49^

. , = A sin (a + rfa) -}- B cos (a + ^«)ï

dont la dernière peut être remplacée par celle qu'on en déduit en en retranchant l'équation (49), et divisant par r/a,

r -^ dr r . sin (g + <^«) — sino -^ cos (il + d^) — cos a dx d(x d(x

OU encore

doL

A cos a — B sin a.

Éliminant A et B entre (48), (49) et (50), nous nl>t)Minn.s l'équation de la tangente au point /*, % :

sincD

sina

cos (I)

cos a

cos a — sina

OU en développant

- = - cos((o — a) + ^-j sin(a> — a). i5J)

On déduit de là la sous-tangente en faisant o) = a -h r/ *' *^f'

sous-tang \rj

En faisant p = oc , on aura la valeur cd, de o), qui d^linît lu direction de la tangente

tang(a>, — a)==: — -q- \r)

Appelons V Tangle de la tangente et du rayoîi vreleiit* mené au point de contact ; nous aurons

d*où

tangV = -;-

[Vd\

3^3. Soit, par exemple, Is, spira/e logarith7nîyut\ (jui \\

pour équation

La formule

donne

tang V ~

Donc la spirale logarithmique coupe tous les rayons vecl<'urs issus du pôle sous un angle constant.

:i^4. Asymptote. — Soit a Tangle polaire qui définit une direction asymptotique, c'est-à-dire Tangle fait avec Taxe polaire Ox^ par le rayon vecteur qui joint le pôle 0 au point rojeté à l'infini. L'asymptote correspondante peut être considérée comme une tangente dont le point de contact est rejeté à Tinfini ; Téquation (51) donnera donc immédiate-

ment, en y faisant ^ = o, Téquation de l'asymptote

i=(i)%in(c.-a). (32)

Mais nous avons vu qu'il n'est pas toujours permis de considérer l'asymptote comme limite des positions d'une tangente. Revenons donc à la définition de l'asymptote.

Soit toujours a l'angle polaire définissant la parallèle OH, menée par le pôle à l'asymptote AB. Par définition, la distance MQ, du point M à AB, doit tendre vers zéro. Menons

par 0 une droite qui fasse avec Ox l'angle a + ^; cette droite

COURBES PLANES àH2

coupe Tasymptote en un point C, qu'il suffit de connaîtrtî, i-t

que nous définirons par le segment dirigé OC = d. Puisque MQ tend vers zéro, d sera la limite de la projection ^lu

rayon vecteur OM ou p sur OK, c'est-à-dire qu'on aura

d = lim p cos ( a -|- - — co J»

d =z limp sin(to — a), (5ii,i

et pour équation de Tasymptote

7 = - sm (a> — a).

325. 11 est intéressant de montrer que les formules {'ri) et (Ki) conduisent bien au même résultat, en général, En effet, remarquons que si, dans la formule (52), nous faisons

o> = a -h^' nous obtenons la valeur de rf, c'est l'inverse ilo

(-) ; tout revient donc à démontrer que

limpsin((o — a) = Jïy"

Or on peut écrire, puisque -= o.

sin (u> — g) p sin ((D — a) = •

. sin(o) — a) a> — a

et la limite du second membre est bien ( - j -La seule cnndition pour que cette démonstration soit acceptable i -il que l-j ait une limite bien déterminée lorsque œ («ihI

vers a, c'est-à-dire que la tangente dit une position liraile. C'est la condition déjà trouvée (n^ 302).

3120. On pourrait se demander ici ce qu'il advient lorsque Téquation de la courbe

dont la dilFérentiation est nécessaire pour obtenir la déri-

vée -y^ donne pour cette dérivée une expression indéterminée.

Mais cette étude, peut-être intéressante comme exercice de géométrie, ne révélerait pas d'autres faits analytiques que ceux auxquels nous a conduits l'étude d'une courbe autour d'un point singulier en coordonnées rectilignes. Il n'y a donc pas lieu d'insister.

:i:i7. Normale. — L'équation de la normale s'obtient en cherchant la droite passant par le point /•, a, et qui est perpendiculaire à la tangente. On trouve aisément

- = - cos ((O — a) H — , sin (o) — a).

Pour avoir la sous-normale, on fera w := a + ^» ce qui donne

Ainsi, dans la spirale d' Archimhle ,

p := aco,

la sous-normale est constante.

Coordonnées tangentielles

•i28. La remarque du n° 326 s'applique textuellement à l'équation tangentielle

La (liirérentialion de cette équation, qu'amènera nécessai* rement Tinlerprétation géométrique, conduira à des distinctions dans les propriétés de la courbe représentalive ; mais les faits analytiques concernant la fonction ©(m, v) ne seront pas nouveaux. — Je montrerai seulement, par un exemple, combien les mômes faits analytiqiies peuvent donner lien h des interprétations géométriques dilîérentes. En coordonnées cartésiennes, le fait qu'un système de valeurs Xq, y^^ annule simultanément la fonction f[Xy y), ainsi que ses? dérivées partielles jusqu'à Tordre /> exclusivement, s'est traduit par le langage suivant : En un point singulier, la courba* a^ tangentes distinctes ou confondues, distinctes ou imaginaires. En coordonnées tangentielles, si /^oî^o^^^*^^*'^^^^'"^^^'" tanément la fonction 9 (?^,r) et ses dérivées jusqu'à l'ordre /^ exclusivement, voici, en admettant que les droites de coordonnées u^ V soient les tangentes d'une courbe, quelle sera l'interprétation géométrique : toute tangente singulière est touchée par la courbe en p points distincts ou confondus, réels ou imaginaires. Ainsi, taudis qu'un point d'inllexion n'est pas, au point de vue cartésien, un point singulier, la tangente au point d'intlexion, en coordonnées tangentielles, est une tangente singulière. Au contraire, si le point de rebroussement de première espèce est, en coordonnées cartésiennes, un point singulier, la tangente de ce point, en coordonnées tangentielles, est, en général, une tangente ordinaire.

:3^5>. D'ailleurs on verra, dans le chapitre suivant (n" 3Gi j^ que l'équation tangentielle d'une courbe n'est pas autre chose que l'équation ponctuelle d'une courbe intimement associée k la première et que les |)ropriétés de l'une se déduisent aisément des propriétés de l'autre; en particulier, les faits îi apparence un peu paradoxale que nous venons d'énoncer se trouveront expliqués.

COURBES PLANES {suite) : CONTACT, ENVELOPPES OSCULATION, COURBURE

Définitions

:^30. On dit que deux courbes ont en un point un coniact dt( n"® or(l7*e si elles ont, outre ce point, /i autres points communs infiniment voisins du premier.

3;n. Une courbe d'ordre m est dite oscttlatrice en un point h une courbe d'ordre p [p > w/), lorsqu'elle a avec cette courbe un contact de Tordre le plus grand possible compatible avec le nombre d'arbitraires que son équation renferme.

Ainsi une tangente doit être considérée comme osciilatrice h la courbe en un point ordinaire, parce que deux points (infiniment voisins, ici) suffisent à déterminer une droite. Il peut d'ailleurs arriver que le contact de la tangeute et de la courbe, au point simple, soit d'ordre supérieur au second : c'est ce qui arrive aux points (/'inflexion.

Pour déterminer un cercle, il faut trois points; donc, en un point d'une courbe, il y a toujours un cercle osculateur. Ce cercle a avec la courbe un contact du second ordre. Exceptionnellement ce contact peut être d'ordre plus élevé ; ainsi, au sommet A d'une ellipse, un cercle tangent en A, qui passe par un point B infiniment voisin de A sur l'ellipse, passera aussi par le symétrique B' de B par rapport à Taxe;

il aura donc avec Tellipse quatre points communs, deux en A, plus B et B' ; le contact sera du troisième ordre.

Par contre, s'il y a inflexion, le cercle osculateur dégénère en ligne droite. La parabole osculatrice, en un point d'une courbe, sera déterminée par quatre points infiniment voisins, c'ost-à-dire aura avec la courbe un contact du troisième ordre; Tellipse osculatrice présentera un contact du quatrième ordre, et ainsi de suite.

33â« L'objel du chapitre actuel est de chercher les conditions analytiques de contact et d'oscillation et d'étudier quelques questions se rattachant à ce problème.

Conditions de cfoniael

33«^. Soit une courbe C

et une seconde courbe C dont nous supposerons les coordonnées exprimées en fonction d'un paramètre /

Nous allons exprimer que les a -h 1 points qui correspondent aux valeurs du paramètre

sont sur la courbe C. Posons

les conditions seront

F(/o+A,g^F(V) + A,/oF'(0 + ... + f7|f|^

F(^o + A,0 = F(0+A,^oF'(0 + ... + J7|^

338 CHAIMTHK XVII

Retranchons la première (^^quation îles suivantes et divisons-les respectivement par lyl^J, X,Iq, ...; puis faîi^aiis tendre, dans la seconde, \^i^^ vers zéro, de manière qu'elle se r(^duise à

retranchons alors F'(/,i} des n — 2 équations restantes, et

divisons-les respectivement par -^^ —^5 ,..; puis raisons

tendre lJ^y vers zéro de manière k réduire la première de ces équations à

répétons cette opération jusqua épuisement des n -h 1 équations; nous aurorts finalement les conditions cherchées

Fig = o, F'(g.-o. FM^,) = û, ..„ F-M'o) = o-(3)

•i31i. Si maintenant la courbe C et la courbe C sont données par des équations telles que

Jl/ - /i {al (^)

En rempla(^ant la seconde ])ar

on rentrera dans le cas [ïrécédent. Ici lou aura et par conséquent les oniidi lions cherchées seront

:<«I5. Entîn si les deux courbes sont données par les équations

AU-,Y)=o (' W

il faudra d'abord quele point (j:^,, y^ == Y,,) satisfasse aux cond liions

/'(^o»yo) = o, /"iG^oi Yo) =o;

il faudra ensuite, en considérant jc comme la variable indé* pendante, exprimer que

yo — ^0

-/«) — \in)

yo — * 0 • Or on a, en dilTérenliant les équations (6) n fois,

! cV^ ^ ^^ Da?DY ^ r^Y-* ^ ^ c^Y ~ •

Entre les deux premières, on pourra éliminer y^» q^' ^'st égale à Y^ ; j/' étant donnée par une de ces deux équations ^ on portera sa valeur dans les deux suivantes, et l'on éliminera entre ceâ doux équations yJJ = YjJ. De proche en proche, on obtiendra les conditions cherchées

Remarque. — Tout ce qui précède suppose les dérivées non toutes nulles, c'est-à-dire le point simple sur chacune des courbes.

3.I6. TaÉORÈME. — Si deitx courbes ont un contact d'ordre n en un point ordinaire M, on peut trouver deux points N, Nj, infiniment voisins de M,/)m Fun sur la première courbe^ l'autre sur la deuxième^ et tels que leur distance soit d'ordre n + 1 a?/ moins par rapport à MN.

Soient en effet

les équations des deux courbes; x^^ y^, les coordonnées du point M de contact; x, y, celles d'un point N de (C), j:,, y|, celles d'un point Nj de (C,). On peut toujours supposer les axes choisis de manière que Taxe des y fasse un angle fini avec la tangente commune en M. Alors la distance MN se projette suivant un infiniment petit x — Xç^^ de môme ordre que MN. Nous choisirons N,, tel que

La distance NNj sera ainsi égale au module de y — yi, c'est-à-dire à

Or on a, par la formule de Taylor,

f[x) = rM + (0? - X,) r «) + ... +.^7^^ r^u^o)

+i':^2iff+V^-^^w+... (8)

Comme

0? = Xi

et que les conditions de contact sont

la soustraction des équations (7) et (8) donnera

ce qui démontre le théorème.

II faut remarquer que le second membre change de sigin^ avec X — Xq, si n est pair. Donc les courbes se traversent air point M si leur contact est d ordre pair, et ne se traverse» t pas dans le cas contraire.

ÎI37. Réciproquement, si l'on peut trouver sur dc/f.r courbes, qui ont un point commun ordinaire M, deux poitUs N et N,, infiniment voisins de M, et tels que leur distanvf^ NN, soit d'ordre n -h 1, par rapport à MN, les deux courbrs mit un contact d'ordre n. Pour le démontrer, on prenrlnt Taxe des y parallèle à P^N^ ; on supposera les équations des courbes sous la forme (4) et (5), et il restera à exprimer qii4^ f{x) — /i(^), c'est-à-dire à cause de (7) et (8),

est du (n + 1)"* ordre par rapport a. x — 0:^, ce qui exige que

fi") {X,) = /•;»' K).

Ce sont bien les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il y ait contact du n"* ordre.

•338. Par exemple, la distance d*un point M' d'une courbe à la tangente au point M infiniment voisin est infiniment petite du second ordre, si Ton "^j^r>-T prend comme infiniment petit principal la FiG 30 distance des deux points de la courbe.

On peut voir géométriquement que cette distance est, en tout cas, d'ordre supérieur au premier. En effet, soit M'P la perpendiculaire abaissée de M', sur la tangente; dans le triangle MM'P, on a

M'P = MM'sinM^,

et comme le sinus est infiniment petit, le théorème est démontré.

Soit N le point d'intersection de MT et de MT'. I^es deux angles en M et M' du triangle NMM' sont en général de môme ordre, ainsi que langle TNT', qui est égal à leur somme. On verra bientôt que ce dernier angle est généralement du premier ordre; il en est de même de TMM', et M'P est du second ordre.

339. il est essentiel d'insister sur ce que le point doit être ordinaire sur chacune des courbes. Ainsi, dans le voisinage de Torigine, pour la.courbe

la dislance d'un point M de la courbe à la tangente en G, c'est-à-dire à Taxe des x^ est représentée par l'ordonnée y. L'élément d'arc ds a pour différentielle sjx*- -+-y^ = \/x- + a:^ = x, en se bornant à la valeur principale ; or l'équation de la courbe

donne

Donc la distance à la tangente est d'ordre ■- etnon d'ordre 2.

Les démonstrations données au commencement du chapitre ne conviennent plus ici ; la formule de Taylor ne s'applique plus, la dérivée seconde de l'ordonnée étant infinie à Torigine.

:I40. Comme application, cherchons les tangentes aux podaires. On sait qu'on appelle ainsi les courbes, lieux des projections orthogonales d*un point fixe 0 sur les tangentes à une courbe (C). Soient MT, MT, deux tangentes à la courbe (C), M, M', leurs points de contact, P, P', les projections de 0 sur ces tangentes. Il faut trouver la position limite de PP', lorsque M' tend vers M. Mais PP' est évidemment du premier ordre par rapport à MM'. Soit MP" la parallèle à M'P' menée par M, P" son point d'intersection avec OM'; P'P" est du second ordre, d'après ce qui précède, et il en est de môme de l'angle P'PP". La position limite d«i PP" est donc la môme que celle de PP'; c'est la tangente en P à la circonférence décrite sur OM comme diamètre.

Cercle oseulateur

341. Proposons-nous de déterminer le cercle osculateur à une courbe définie par les équations

Soit

l'équation du cercle osculateur; les conditions (3), prises en nombre égal au nombre des inconnues a, p, R, seront ici, en écrivant x^ y, au lieu de /(/o)» ? Wi ^^ désignant les dérivées par des lettres accentuées,

(07 — a)a;' + (// — p)./ = o (iO)

La seconde de ces équations montre que le centre (a, ^) du cercle se trouve sur la normale à la [courbe^ en x et y, et la troisième, que ce centre se trouve aussi sur la nornuUe au point infiniment voisin.

On tire des équations (10)

, x'^ + y"' ^ ' co'y" — y'x" 1

[xy — yos)^

xy — yx

Si X est pris comme variable indépendante, la dernière

formule s'écrit

Le centre du cercle osculateur s'appelle aussi ce^itre de courbure; et Ton désigne souvent son rayon sous le nom de rayon de courbure. On verra bientôt la raison de ces dénominations, et nous admettrons provisoirement que les signes des seconds membres dans les formules (12) et (13) sont positifs.

I>es déi'eloppées

342. On appelle développée d'une courbe plane le lieu de ses centres de courbure. Voici quelques exemples importants.

343. Soit à chercher Téquation de la développée de la parabole

Prenons X comme variable indépendante, et calculons ?/,?/ :

En portant ces valeurs dans les formules (H), on obtient, pour les coordonnées du centre L de courbure,

Eu éliminant .r, y, entre ces deux équations et celle de la parabole, on trouve Téquation cherchée

Fio. 31.