Cherchons enfin la développée de la cychnde

j X = a (t — sin/), / y = a (l — cos^^

on a successivement

I X = a{\ ^ cos/),

I y = fl sin t ;

\ x" -=. a sin i,

] y" =z a cos /.

Portons ces valeurs dans les formules (H); les cooidonnées du centre N de courbure deviennent

a = a? 4" ^^ sin ^ =: rt (/ + sin i),

p = y — 2fl (1 — cos ^) = — flr (1 — cos t).

Posons

^ zrr T + TT,

La développée se trouve définie par les équations

X = rt (T — sinT), Y = fl (l — cosT) ;

FiG. 3i.

c'est donc une cycloïde égale à la cycloïde proposée, et Von voit aisément que MH = HN.

346. Théorème. — La développée (fune courbe tovcfu' lotîtes les normales de la courbe au centre de courbure correspondant.

En effet différenlioiis la deuxième équation (10) en y considérant ar, y, a, g comme des fonctions de /, et désignons toujours par des lettres accentuées les dérivées par rapport à /. Nous obtenons, en divisant par dt^

et en retranchant cette équation de la troisième équation (10)

aV + py :=0. (15)

Cette équation exprime que la tangente au point M(a:, y) de la courbe, dont l'équation est (n** 287)

JL

dj/ dx

dt 'di

est perpendiculaire à la tangente au point a, g de la développée, qui a pour équation

Y-p Xd^ "" d^ dt dt

Comme on a déjà prouvé que le point a, 3 est situé sur la normale au point M, le théorème est démontré.

•147. Théorème. — Im longueur d*un arc quelconque de la développée d'une courbe plane est égale à la différence des rayons de courbure de la courbe donnée, qui aboutissent aux extrémités de l'arc de la développée.

En effet la combinaison de la deuxième équation (10), avec la dérivée de la première équation (10), fournit Téquation

a'(a;~a) + p'(y-p) = -RR'. (i6)

L'élimination de x et de y entre les deux équations (15) et (10), où ces quantités figurent d'une manière homogène,

conduit à l'équation

Elevons les équations [16) et (17) au carré, ajoutons-los, et tenons compte de la première équation (10); il vienl

Or soit (7 la longueur d'un arc de développée, compte^ h partir d'une origine arbitraire; on aura (n° 283)

Si R' ne s'annule pas, on peut iixer un signe (qui (U^jm ii<! du ?ens dans lequel on compte les arcs croissants) et érrin* par exemple

D'où

^ - ^0 = R - Ro-

Cette dernière égalité démontre le théorème énoncé.

Remarquk. — Si le rayon de courbure est constant, lare ^ïv développée est nul et se réduit à un point. La circonfrmit*' est donc la seule courbe dont le rayon de courbun suit constant.

•^49. Le théorème précédent explique le nom de dilvoloppée, donné au lieu des centres de courbure. Enroufoiis en effet un fil sur la développée, de manière qu'un de ses points soit fixé en C, et tendons-le de manière qu'il se détachn

350 CHAPITRE xvn

de la courbe en Co, par exemple ; il a k ce moment un point en Mq, et sa longueur est

MoCo + arc C^jCp

Fio. 35.

Développons le fil : je dis que son point M^^ décrira la courbe proposée. En effet, lorsque son point de contact est en C, on a, d'après ce qui précède, et en appelant M le point où le fil tendu coupe la courbe,

MCI — MqCq = arc C„C^ — arc CC, , ou

MC + arc CC^ = M^Co -f- arc CoC, ;

la longueur totale du fil n'a pas changé.

La courbe lieu de M prend, par rapport à Tautre, le nom de développante. Ce qui précède fournit le moyen mécanique de tracer les développantes d'une courbe quelconque; géométriquement, ce sont les trajectoires orthogonales des tangentes à cette courbe.

Des enveloppes

350. Lorsque, dans l'équation d'une courbe, figure un paramètre susceptible de recevoir une infinité de valeurs, toutes les courbes obtenues en faisant varier le paramètre

COURBES PLANES 3.;t

constituent une famille de courbes. Ainsi réquatioii

(i^ -\- ^*y -\' c -^^ A [ax "|- b'y + c') = o, iH

où X désigne un paranu'^lre variable, représente la 1;iiiiillr (les droites qui passent par le point commun aux dnïîh^s

ax -{- hy -{- c = o, ax + b'y -|- c' = o. l\l

De môme Téquation

y =1 mx + R \lm^ + 1 , im)

où m désigne un paramètre variable, représente la In mit le des tangentes au cercle dont Téquation est

.y* + y-« =3 R2. ,2lj

:I5I. Cela posé, considérons une équation

t\x, y, X) = o, '±li

dont le premier membre soit une fonction bien détt^namèp des coordonnées cartésiennes x et y, et d'un paninieli'e variable X.

Pour une valeur particulière X de ce paramètre, 1 éqnaliim (22) représentera une courbe particulière G; et, si on ;illi'îbue ensuite au paramètre une autre valeur X + \h. nn obtiendra une nouvelle courbe C, dont Téquation esl

f\x, y, X + AX) = o. -i-'ï

Désignons par /;?, m\ ..., les points où la seconde (iHirlucoupe la première; on nomme points caractéristiqnr^ Av \i\ courbe e' les positions limites M, M', ..., que prennent 1rs points tn, m\ ..., lorsque X tend vers zéro.

Il est aisé de prouver Texistence des points caractéristiques. En effet, les coordonnées des points m^ m', ..., vériliîiiit h \\\ fois les équations (22) et (2i3), satisferont aussi à riHinaHnii

/•(.y, a?, A 4- AX) — f[x, y, X) ^ ^^^

AX

Si Ton fait tendre AX vers zéro, cette dernière équation deviendra

et les solutions communes aux équations (22) et (25'i seront les coordonnées des points caractéristiques M, M', ...

Sur chaque courbe de la famille représentée par Téquation (22), il y a donc un ou plusieurs points caractéristiques, et Téqualion

du lieu de tous ces points s'obtiendra en éliminant le paramétre X entre les relations (22) et (25). On donne à ce lieu le nom d'enve/oppe des courbes (22), lesquelles reçoivent la dénomination A^ enveloppées.

Il est essentiel de remarquer que ce lieu peut ne pas exister, ce qui arrive si X figure au premier degré dans l'équation (22). Cette équation prend alors la forme

P + XQ = o, i22'i

P et Q étant deux fonctions données A'x et d'y. L'équation (25) se réduit à

et les points caractéristiques sont donnés par les deux équations

Ils sont fixes et non mobiles. On peut encore, si Ton veut, considérer, par extension, Tensemblede ces points, comme V enveloppe des courbes de la famille (22'), ou réserver celte dernière appellation pour le cas des points caractéristiques mobiles.

:t52. Nous donnerons deux exemples d'enveloppes. Considérons d'abord l'équation

^ "^ — if

qui représente la parabole que décrirait un corps pesant lancé dans le vide, avec une vitesse constante, sous une inclinaison variable dont la tangente trigonométrique est X. L't^limination de ce paramètre entre Téquation précédente

et sa dérivée 1 — X -- = o, donne pour Tenveloppe une autre

parabole

a?^ -|- ^py — ^a = o.

Ce problème, résolu par Jean Bernouilli (à la fin du xvi'' siècle), est le premier exemple de la détermination de Tenveloppe d'une famille de courbes.

Le second exemple sera traité par des considérations de géométrie pure.

Le sommet A d'un angle droit parcourt une courbe donnée (A); un des côtés de Tangle droit passe par un point fixe F. Trouver le point caractéristique sur Tautre côté AB, et le lieu de ce point (enveloppe de AB).

Appelons |jl le point de rencontre de deux côtés successifs AB, A'B'; il s'agit de trouver la position limite de [jl. Le milieu w de F{j. est sur la perpendiculaire élevée au milieu de AF, et sur la perpendiculaire au milieu de A A', puisque A A' est une corde du cercle décrit sur F|jl comme diamètre ; cette dernière perpendiculaire a pour position limite la normale en A à lacourbe (A), lorsque A' tend vers A. La position 0, limite de w, est donc au point pi^.. 30. de rencontre de cette normale avec la perpendiculaire au milieu de AF; et la limite M du point ;jl s'obtient en prolongeant FO jusqu'à son intersection avec AB. C'est le point caractéristique cherché. Le lieu du point 0 est une courbe, dont tous les points sont à égale distance de F et de la courbe (A) ; donc le lieu des points caractéristiques M est une courbe, dont tous les points sont équidistants de F, et d'une courbe homothétique de (A) par rapport à F, le rapport d'homothétie étant égal à 2.

CALCUL L««FIXITésniAL. 23

En particulier, si la courbe (A) est une droite ou une circonférence, le lieu obtenu est une parabole ou une conique à centre ayant F pour foyer, et Ton voit, dans ce cas, que les droites AB touchent la conique au point M : c'est une propriété bien connue de la projection du foyer sur les tangentes.

353. La proposition que nous venons de vérifier sur un exemple est générale.

Venveloppe (26) est tangente à chacune des enveloppées, aux points caractéristiques.

En effet, remarquons d'abord que P{x^ y) est identique à la fonction f{xy y, X), dans laquelle X est remplacée par sa valeur tirée de (25j, ce que nous indiquerons ainsi

Cela posé, soit .r^, y^, les coordonnées d'un des points carac, téristiques de (C) ; la tangente à la courbe (C) au [oint j-,y,, aura pour équation

La tangente à la courbe (26) au même point

ce qui peut s'écrire, en vertu de l'identité (27) et en désignant par /T) la valeur prise par X quand on y remplace les coordonnées courantes par x,, y,,

Or, A étant déterminé par Téquation (25), on a identiquement

et Inéquation (29) se réduit à

Mais le point j^^, y,, satisfaisant à l'équation (26), X| est solu- ^'

tien commune aux deux équations ^.

c'est-à-dire qu'il a précisément pour valeur celle du para- * !

mètre qui détermine la courbe (C). Les deux équations (28) j

et (30) sont donc identiques, et les courbes (22) et (26), ayant même tangente au point (r,, y,), sont tangentes entre elles.

•lo4. Lorsque toutes les courbes d'une nif^me famille passent par des points fixes, ces points fixes font partie de Venveloppe. En effet, s'il y a des points fixes communs à toutes les courbes de la famille, les coordonnées de ces points, satisfaisant à Téquation (22), quelle que soit la valeur de a, vérifieront Téquation (26), qui comprend tous les points pour lesquels les cHiuations (22) et (25) ont une racine commune en a.

3o5. La développée d'une courbe est Venveloppe de ses normales. Supposons, en effet, que les coordonnées x, tj d'un point d'une courbe soient exprimées en fonctions d'un paramètre /, et désignons toujours par des lettres accentuées les dérivées par rapport à /. L'équation de la normale au point x^ y aura pour équation

356 CHAPITRE XVIÏ

L'enveloppe de la normale s'obtiendra en adjoignant à Téquation précédente sa dérivée par rapport à /

et Ton retrouve ainsi les deux dernières équations (10). Le point caractéristique de la normale est donc le centre de courbure, et l'enveloppe des normales est la développée. C'est, sous une autre forme, la remarqué faite au moment où nous avons écrit les équations (10).

356. 11 arrive souvent que l'équation de la courbe renferme n paramètres liés par n — 1 conditions. Voici comment, dans ce cas, on trouvera Tenveloppe :

Soit d'abord 71 = 2; l'équation de la courbe est alors

r{x, i/j II, v) = 0, (31)

les paramètres u et r satisfaisant à la condition

cp (?<, v) = o. (32t

On peut concevoir v comme une fonction de w, définie par Téquation (82); l'équation (31) ne contient alors que le paramètre ?/, et, pour avoir l'enveloppe, il faut à Téquation (81) adjoindre la suivante

ou ov du Mais -7- est donné par la dérivée de l'équation (82)

t)o ^. <)o dv ^n i^v du

+ TI = o. (34)

' (iv

Eliminons -^ entre les deux dernières équations, il vient

cV^c^^ (35)

L'enveloppe s'obtiendra en éliminant ti et v lu ho les équations (31), (32) et (35).

:I57. On opère de môme pour /i > 2. Soit, par t^xfoiple,

/'(a?, y, w, V, to) = o, m)

Téquation de la courbe, les trois paramMres ?/, t\ ff\ iMaiit lies par les deux conditions

çp {l(^ V, w) -=6

(Ht)

Considérons toujours u comme le paramètre \iij'iîil([o; aux équations précédentes il faudra joindre

Oo c'©

qui, par l'élimination des dérivées v\ w\ donnent

ht

L'enveloppe s'obtiendra en éliminant m, v, w, ciitic lus équations (36), (37), (38) et (39).

Passage de l'équation carlésieniie à l'équation tangentieiie