Cherchons Tonveloppe de la droite
tue + f.y — i = o, ( U))
sachant que
* [tf^ v) — o. iAl)
L'équation (35), qu'il faut adjoindre aux deux précf^dentes, est ici
L*6limination de </, t% entre ces trois équations, conduira à Téquation de Tenveloppe
Cette dernière équation est Téquation cartésienne de la courbe dont (41) est Téquation tangentieiie (n° 279).
359. Ce qui précède donne le moyen de passer de Téquation tangentieiie d'une courbe à son équation cartésienne (43). Le problème inverse est aussi aisé à résoudre. Il suffit pour cela d'exprimer que la droite (40), en un de ses points d'intersection avec la courbe (43), est parallèle à la tangente en ce point, dont l'équation est
la condition de parallélisme est
Les coordonnées du point de contact satisfont aux équations (40), (43) et (44); en les éliminant, on retrouTem l'équation tangentielle (41).
On remarquera l'analogie complète entre les deux calculs qui viennent d'être exposés.
On pmt simplifier ce calcul. Posons dans toutes les équations précédentes
puis effaçons les indices. Remarquons ensuite que, si Ton appelle m le degré d'homogénéité de f{x, y, 2), on a identiquement
^n + yfy + zn = mr{x, y, z), et par conséquent, si le point est sur la courbe,
xn + yry = -zn^
ou
Cela posé, le système des deux équations (4îi) et (il 1 \\\'y\\ être évidemment remplacé par le suivant
tk-fl-fl.
On verrait de môme que le système des équations \ il 1 et (42) peut être remplacé par
î^60. Cherchons, par exemple, Téquation tangentirdlt^ diis coniques
/'(a?,y.^)=Ai?î + Ay + .W-f2B"a7y + 2B';ra?-|-2By3'=o. S'
OU, ce qui revient au même, la condition pour que la droite
ux -^ vt/ -\- tc2; ^1 o (48)
touche la conique (47).
D'après le paragraphe précédent, il faut éliminer x, y, s, entre l'équation (48) et les deux suivantes
Ace -f B"y + Wz Wx + A y + B^ B n + By + ^"z
Si on égale la valeur commune de ces rapports à —X, et qu'on chasse les dénominateurs, on aura quatre équations homogènes entre lesquelles on éliminera ^r, y, z et X;le résultat est
to
to
Cette équation est du deuxième degré en w, r, iv.
361 . Nous avons dit, en terminant le chapitre précédent, que l'équation tangentielle d'une courbe est susceptible d'une explication ponctuelle. Nous sommes maintenant en mesure d'éclaircir ce point.
On sait que, si
est l'équation d'une conique (F), la droite .
aFi + PF; 4- yFi = o
s'appelle la polaire du point a, 3? Y» P^r rapport k la conique. Si cette polaire reste tangente à une courbe donnée (C), son pôle dé>erit une courbe (C), qu'on appelle la polaire réciproque de (C) par rapport à (F), et réciproquement les tangentes de (C) ont leurs pôles sur (C) ; (C) est l'enveloppe des polaires des points de (C). Cela posé, prenons pour conique (F), le cercle
