TT

et soit

l'équation de la courbe (C), dont on veut chercher la polaire réciproque par rapport au cercle.

A cet effet, soit a, g, un point de (C), cVst-à-dire supposons

Sa polaire aura pour équation

a.r + py — 1 — 0, (53)

et nous avons à chercher Tcnveloppe de cette droite. On sait qu'il faut adjoindre à ces deux équations la suivante

puis éliminer a, jâ, entre les trois dernières équations. On reconnaît le calcul qu'il a fallu faire pour passer de l'équation tangentielle (41) à l'équation ponctuelle (43). Donc si, dans l'équation (41), on considère ii, v comme les coordonnées d'un point, cette équation représentera la polaire réciproque de (43), par rapport au cercle représenté par Téquation (50). Ainsi s'expliquent certains faits à apparence paradoxale, signalés dans le chapitre précédent. A un point multiple muni de /? tangentes, correspond, dans la polaire réciproque, une tangente multiple à^ points de contact. A un point d'inflexion où la tangente a trois points confondus, communs avec (C), correspond une tangente du point de contact (point de rebroussement) de laquelle on peut mener trois tangentes confondues à la polaire réciproque (C), et ainsi de suite.

Concavité et convexité

362. Soit M un point ordinaire d'une courbe, MT la tangente en ce point, Mj, Mo, deux points très voisins de M sur

la courbe, et situés de part et d'autre de M. Ou dit que la courbe est concaoe vers les y positifs, dans le voisinage de M, lorsque tous les points de Tare M^MMj se trouvent, par

rapport à la tangente, dans la même région que la parallèle à Oy menée du point M vers les y positifs. Dans le cas contraire, la courbe est concave vers les y négatifs, ou convexe vers les y positifs. Enfin, si des deux arcs MM,, MM.,, Tun est au-dessus, l'autre au-dessous de la tangente, le point M est dit Pj^ 3^ point (V inflexion.

Il est facile d'exprimer les conditions pour que telle ou telle forme se produise.

Supposons que, dans le voisinage du point M, l'ordonnée de la courbe puisse être représentée en fonction de l'abscisse, par une série de Taylor

//=rw+(^-a7o)r(^o)+... + ïÇ^/^^'4^ù+M

L'ordonnée de la tangente se tire de Téquation de la tangente

La courbe sera concave vers les y positifs, si l'on a, de part et d'autre du point Mj,

Soit p*[x), la première dérivée de y d'ordre supérieur au premier, qui ne s'annule pas pour x= x^\ ou aura

Si p est pair, le premier facteur du deuxième membre sera positif, quel que soit le signe de j: — x^, El comme /^'fji est supposée non nulle au point M et continue, le signe de

y — Y sera celui de /^^^ [x^^ c'est-à-dire qu'on aura, vers les y positifs,

concavité si fP [x^ > o,

convexité si p^*^ {x^ < o.

Au contraire, si/? est impair, y — Y change de signe avec X — ^Tq, et la courbe traverse sa tangente ; le point est un point (Vinflexion, Par conséquent, pour qu'il y ait inflexion, il est nécessaire que

rK)--=o; (55)

mais l'analyse précédente montre que cette condition n*est pas suffisante.

36.<. Nous avons supposé, pour la facilité du raisonnement, l'ordonnée exprimée explicitement en fonction de l'abscisse. Il importe de savoir écrire la condition (55), lorsque l'équation de la courbe se présente sous la forme

Il suffit, pour cela, de prendre deux fois de suite la dérivée par rapport à a:, puis d'éliminer y^ entre les deux équations ainsi obtenues, en faisant en même temps y" = o. On trouve

(f;)'^ f;2 - 2F;f;fjj, + (F;)^ f j. .= o. (56)

Telle est la condition nécessaire pour que la courbe traverse sa tangente au point M. Il est essentiel de remarquer que la méthode suivie pour arriver à cette équation a supposé F^ 7^ o, c'est-à-dire la tangente en M non parallèle à 0//. Cette restriction n'avait aucun inconvénient dans l'étude de la concavité vers les y positifs, puisque la question ne se pose pas dans le cas particulier d'une tangente parallèle à 0//. Mais le problème de l'inflexion subsiste.

Remarquons d'abord que le problème de la concavité vers les abscisses positives se traiterait comme le précédent; ce

n'est qu'un changement de nolalions. Si maintenant on veut en déduire la recherche des points d'jDÛL'xion, on jirocf^dera comme ci-dessus, et la symétrie parfaite de Téqualioa (56), par I apport aux lettres s et y, prouve^jue lou relonib^^ra sur la même équation; (56) est doue l'équatioE à laqu^dle .satisfont, dans tous les cas, lescoonionnées des points d'iutloxion.

De la lle^^sieiuie

:<04. Si, dans l'équation (56), on considère x et y comme des coordonnées courantes^ elle représente une courbe qui passe par les points d'iullexion. On voit inimédiatemeDt qu'elle passe aussi parles points multiples, puisque les coordonnées de ces points annulent F^ et F^. Le lecteur v^TJfiera aisément le théorème suivant : introduisons les coordonnées homogènes et appliquons le théorème d*Euleraux dériv<îes rendues homogènes de 1^'(./, y, z]^ c'ef*t-a-dire remplaçons

xn- + yY%, + .-f;„

^'Fi. + ^F;, + ^Ft..

Les points communs à la courbe /tropost^f f/ à la cmtrhei^) se f routent aussi sur la courbe gui a pour èquatiQu

Celte courbe s'appelle la Hessieiine de la courbe proposée, et le déterminant du premier terme s'appelle le Ht$,sien de la fonction homogène F(./\ ?/, r).

Théorème. — La Hessienne est le lieu des points doubler des premières polaires.

On a vu (n'* 293) que la première polaire tl'un point ï, g, 7, a pour équation

aFi-j-pK; + TF,' = o.

{m - 1) Fi

par

{m-i)Fi

par

jiar

Fi.

FL

Les coordonnées d'un point double de celle polairi* vérifieront, en même temps que Téquation précédente, les deux suivantes, obtenues en prenant les dérivées par rapport à x et par rapport à y:

aFi. + pFl, + yF;, = 0, «F^x+pFf,, + yS;, =0.

En éliminant a, g, y, on trouve bien la Hessiennc.

Voici encore deux propriétés de la Hessienne faciles à vérifier en prenant pour axes de coordonnées, dans le premier cas, les tangenles au point double; dans le second, la tangente au point de rebroussement et une droite quelconque passant par ce point :

En un point double de la courbe originaire^ la Hessienne a également un point double^ et les tangentes des deux courbes au point double sont précisément les mêmes.

En un point de rebroussement de la courbe originaire ^ la Hessienne a un point triple, et deux de ses branches y touchent la tangente de rebroussement^ tandis que la troisième a une tangente séparée.

Courbure

;I05. Nous avons vu, dans les paragraphes précédents, que les singularités d'une courbe ne sont pas les mômes, suivant qu'on se place au point de vue ponctuel ou au poinl de vue tangentiel. La notion de courbure que nous avons maintenant à étudier constitue un lien entre les d(»ux points de vue.

Démontrons d'abord que t angle de deux tangentes infiniment voisines est généralement du même ordre que Parc qui unit leurs points de contact.

Soit £ Tangle de deux tangentes, qui font avec ox respectivement les angles V et V + ^A'; on a

e = d\, et £ s'appelle ïangle de contingence.

Or

ta„gV = ^.

On déduit de là en différentiant

1 ,^r dxQpy — dt/dPx

Tv ^V =: ^ , a " »

cos* V cbr

ou

Donc, enfin

dxd^y — dy(Px

^ ~ dx^ '\- dy^

Soit / la variable indépendante

dx =z xdt, d'^x = af'dt'^^ dy z=z y'dt. nhj -= xfdi^\

la formule précédente devionl

^nL^^JU^di. (59)

x^ + y^ Or la différentielle de l'arc a pour valeur principale

r/s = sjdx^ + dy'' — \!x^ -j- y"^ dl. W

Le théorème est donc démontré.

Ci60. On appelle cotirbuf^e le rapport des deux infiniment petits précédents, c'est-à-dire le rapport de l'angle de deux tangentes infiniment voisines à la différentielle de l'arc. Nous désignerons cette quantité qui n'est, en général, ni nulle, ni infinie, par la lettre k,

Si X ost prise comme variable indépendante, la formule devient

['+fê)T

En comparant la formule (61) et la formule (12), on voit que la courbure est l'inverse du rayon du cercle osculateur ; ainsi se trouvent justifiés les noms de rayon de courbure et de centre de courbure, donnés au rayon et au centre du cercle osculateur. Une remarque est cependant essentielle : le signe de la courbure est parfaitement déterminé, au moins une fois fixé le signe du radicîd dans la formule (60), c'està-dire une fois qu'on a convenu de faire croître les arcs, soit dans le même sens que la variable indépendante, soit en sens inverse. Au contraire, le signe du rayon de courbure n'a pas été fixé dans les formules (12) et (13). Nous conviendrons d'appeler expressément rayon de courbure Tinverse de la courbure ; la valeur absolue de ce rayon est le rayon du cercle Osculateur. ^

Il nous reste à montrer que le centre de courbure est du côté concave de la courbe. Les formules (10), qui nous ont servi à le déterminer, s'écrivent en y prenant ./* comme variable indépendante

d-y et la dernière nous montre que y — J et ^-^ sont de signes

contrai es. Or nous avons vu (n" 362) que, si y*^ est > o,

il y a concavité vers les y positifs, c'est-à-dire que la courbe est au-dessus de sa tangente ; mais y — g étant négatif, le

tr

centre de courbure est plus haut que le poiat de contact, 1^ c'est-à-dire également au-dessus de la tangente. Môme con-

& clusion si -r^ est négative : le cercle osculateur est du

m^me côté que la courbe par rapport à la tangente. La définition giSométrique rendait cela évident.

C<67. Soit -7-^ = 0 : le point est un point d inQexion. Los

formules (63) montrent que, dans ce cas, y — 3 et j*— j

sont infinies, pourvu que-r^nesoit ni nulle,ni indétermimv.

Donc, en un poiut d'inflexion simple, la courbure est nulle et le rayon de courbure infini.

La corrélation que nous avons constatée, entre le point d'inflexion, qui est un point ordinaire à tangente singulière, et le point de rebroussoment de première espèce qui est. en général, un point singulier à tangente ordinaire, nous amène h rechercher comment se comporte la courbure en un point de rebroussoment.

Pour cela, reportons-nous a Télude que nous avons fait»' d'une courbe autour d'un point singulier (chapitre xvi, point de rebroussement et formule i-5); nous avons vu que, dans ce cas, la courbe peut être assimilée, au voisinage de l'origine, avec la courbe

(// — Ix)^ ^ M.r2T/«^

m étant égal ou supérieur à l'unité et M étant une quanlilé finie. On pourra (h)nc exprimer les deux coordonnées en fonction d'un paramètre, en posant

Ces deux expressions substituées dans les formules .i<' donncnl pour la deuxième, en divisant par / et faisant ensuite

COURBES PLAJ<^ES

/ = O, d'où X = y = o^

a + Xp = o,

et, en tenant compte de cette équation, pour la troisième, divisée par f*' :

Mp = 0.

On voit ainsi que le centre de courbure est aussi ii Torigine : le rayon de courbure est mil et la courbure infinie en un point de rebroussement de première espèce. Comme, eu

un point ordinaire, -7^ et t^, ont des valeurs finies, non

nulles, et bien déterminées, le rayon de courbure ne peut être nul qu'aux points de rebroussement.

Il en résulte que la développée d'une courbe passe par ses points de rcbroussements de première espèce.

368. Relation entre la coiRnuRE d'dnb courbe et celle DE LA DÉVELOPPÉE. — Lcs auglcs de contingence aux deux points correspondants sont évidemment égaux ; on aura donc^ en conservant les notations ordinaires et appelant en outre p le rayon de courbure de la développée

de

Comme | rfa | = | rfR | , nous pourrons écrire

Pl =

ds

Si le rayon de courbure passe par un maximum

donc

rfR

CALCUL niPINITÉSIMAL.

le point de la développée est un point de rcbroussement de première espèce. C'est ce qu'on peut vérifier sur les exemples que nous avons traités ; aux sommets de lellipse, de l'hyperbole, de la parabole, de la cycloïde, correspondent des points de rebroussement de la développée et, de plus, pour cette dernière courbe, ses points de rebroussements sont bien sur sa développée.

369. Considérons, comme seconde application, la courbe qui a pour équation

Cette courbe, symétrique par rapport à Ox, offre, à l'origine, un point de rebroussement et, àTinfini, un point d'inflexion parabolique.

Posons, pour calculer les coordonnées a, 3 du centre de courbure et le rayon R de courbure,

On trouve sans peine

A l'origine, / == o, le rayon de courbure est bien nul; au point d'inflexion à l'infini, R = oo , ce qui est conforme aux prévisions.

370. Démontrons maintenant une formule élégante, relative au rayon de courbure et déjà obtenue autrement n* llO.

Appelons a l'angle que fait avec ox la tangente au point M, comptée dans le sens des arcs croissants. L'arc s étant pris pour variable indépendante, et l'élément d'arc ds ayant

pour projection cte, on a immédialement

dx

cosa =

siiix

ds dy ds

^ri ^

d'où, en diflférentiant,

Fio. 38.

■ 8in aaa = -tt ds ds^

ces aaa = -~ as.

ds*

Élevons au carré et ajoutons, il vient

Or doL est précisément Fangle de contingence dont la valeur est, comme on sait, ttî on a donc finalement

371 . Différence entre un arc infiniment petit et sa corde. — Cette question est une application immédiate de la théorie de la courbure.

Si Ton prend l'arc pour variable indépendante, la dernière formule du paragraphe 283 devient

d'où en dîfférentiant deux fois de suite

0 = œ'x' + yY,

0 = a/'* + jf^ -{- x'x*^ + yy'".

Cette dernière formule peut s'écrire, à cause de (65),

Cela posé, la différence S entre l'arc A^ et la corde, dont les extrémités sont aux points x, y et a: + A.r, y ■+ Ay est

8 = A* — VAa?> + Ay«.

Or la formule de Taylor donne

Ay = y'rf^ + I yV^> +^y*cfe3 + .

d'où, puisque ds = A.9,

Si l'on tient compte des égalités établies au début de ce paragraphe, et si on développe l'accolade suivant la formule du binôme généralisée, il vient, toutes réductions faites, pour valeur principale de 8,

Donc la différence entre un arc infiniment petit et sa corde est un infiniment petit du troisième ordre par rapport à Tare, et son rapport au cube de l'arc est égal au vingt-quatrième du carré de la courbure.

372. On démontrerait de même les formules suivantes' : La longueur (Tune tangente comprise entre le point de contact et la tangente infiniment voisiîie a pour valeur principale

La différence entre les longueurs des deux tangentes menées aux extrémités d'un arc infiniment petit, et terminées à leur point de rencontre, a pour valeur principale

k' désignant -y.

L'angle de la corde et de la tangente a pour valeur principale

-kds]

c'est la moitié de la valeur principale de Tangle de contingence.

La différence entre cette moitié et Tangle précédent a

pour valeur principale — k'ds^.

Enfin la différence entre les angles que fait la corde de Tare avec les tangentes à ses extrémités a pour valeur principale

Équation intrinsèque

373. Dans le calcul différentiel et intégral, les courbes interviennent surtout pour faciliter la conception ou

^ Voir une note de M. Rouché, qui fait suite au Traité de Géomélrie descriptive d'OLïviER (3* édition).

renoncé des propriétés relatives aux fonctions de deux variables. Cependant, tant au point de vue mécanique qu'au point de vue géométrique, Télude des formes de courbes a en soi tant d'intérêt que nous insisterons encore un peu sur ce sujet.

Un des premiers efforts des géomètres consiste à s'affranchir de la sujétion des systèmes spéciaux de coordonnées, pour concentrer leur attention sur les propriétés qui ne tiennent pas à la situation de la courbe par rapport aux axes de référence. 11 est naturel dans cet ordre d'idées, et c'est précisément ce que nous avons fait dans le paragi-aphe précédent, de considérer la longueur de Tare comme la variable indépendante : si Ton connaît, pour chaque point, la courbure, la courbe pourra être construite. En effet, la connaissance de la courbure entraîne celle de langle de contingence. Or, si nous assimilons la courbe à un polygone inscrit de côtés égaux à ds, on pourra, en vertu du théorème démontré n** 289, considérer le supplément de l'angle de deux côtés consécutifs, comme égal à Tangle de contingence en leur point de rencontre, et le polygone sera entièrement déterminé par la connaissance de ses côtés et de ses angles. On ai)pelle éqvation intrinsèque de la courbe la relation entre le rayon de courbure et l'arc

C<74[. Nous allons vérifier que cette équation suffit pour déterminer la courbe.

En effet on en tirera d'abord

Puis, a étant l'angle de la tangente avec ox^ nous avons vu que l'angle de contingence avait pour valeur

cU = j^.

ds Si donc ç est la fonction déterminée de s, qui a ô" pour

différentielle, on aura

Les coordonnées ar, y du point M se déduiront des formules (6i)

dx = ces xrf^, dy = sinoLds.

Les seconds membres sont connus; on déterminera leurs intégrales X, Y, et Ton aura

375. Supposons, par exemple, que l'équation (66) se réduise h

a étant une constante. La fonction ç a pour valeur

D'où

dx = ces ^ ds.

dy = sin ^ ds,

X = a sin (5 — *j,), Y =^ — a cos (5 — 5j,) , X — x^^ = a sin (s — ^q),

// — ,Vo = — ^ ^^s i-^' — *o) •

L'élimination de .v s'obtient en ajoutant les deux dernières relations préalablement élevées au carré ; le résultat

montre que la circonférence est la seule courbe à ôourbure constante. Nous avions déjà démontré ce théorème dans la théorie des développées.

Ordre, Classe, Genre des courbes algébriques Formules de Plûcker

376. On appelle ordre d'une courbe plane le nombre total de ses points d'intersection avec une droite quelconque, ou encore le degré de son équation en coordonnées rectilignes. Go nombre sera désigné par la lettre n.

On appelle classe d'une courbe plane le nombre total des tangentes que Ton peut mener à la courbe d'un poiiil quelconque, ou encore le degré de son équation tangentielle. Ce nombre sera désigné par la lettre k.

Nous introduirons encore les notations suivantes

d^ nombre des points doubles, i, nombre des tangentes doubles, r, nombre des points de rebroussement, ?<?, nombre des points d'inflexion ;

et l'objet de l'étude actuelle est de trouver les relations entre ces différents nombres.

377. Nous commencerons par observer que nous n'avons pas introduit de multiplicités d'ordres supérieurs au second. C'est qu'on peut, à Taide des considérations' suivantes,

toujours remplacer un point multiple d'ordre h par un certain nombre de points doubles : bornons -nous, pour faire comprendre la méthode, au point triple. H suffît de concevoir trois branches de courbes passant dans le voisinage d'un même point o\ elles déterminent, par leurs intersections mutuelles, trois points doubles. Si on les déforme de manière à les amener à passer en 0, le point triple ainsi

COURBES PLANES :i77

obtenu sera la réunion de trois points doubles. On verrai I de môme qu'un point multiple d ordre h peut ôlre considéiv

comme absorbant — ^ — ^ points doubles.

378. Il a été établi (n° 293) que les points de contarl des tangentes issues d'un point P à une courbe d'ordre a sont à l'intersection de cette courbe et de la première polaire de P, qui est du degré n — 1; ils sont par conséqiuMit en général au nombre de ;i(n — 1). 11 en résulterait l'égaliU'^

si tous les points communs à la courbe et à la polaire de I* étaient effectivement des points de contact de tangente issus de P. Mais on a déjà vu que les points doubles étaient aussi sur la première polaire, et, en faisant passer cette polaîri^ dans le voisinage du point double, avant de la faire exact* ment passer à ce point, on voit qu'un point double absorba' deux intersections de la courbe et de la polaire.

Pour avoir les tangentes effectives issues de P, il faut

donc déjà diminuer — — '- de 2iL Ce raisonnement suppose que la polaire passe au point double sans y avoir, avec la courbe, aucune tangente commune. 11 faut donc chercher la tangente de la polaire au point double.

Nous prendrons ce point pour origine, et les deux tangentes au point double pour axes de coordonnées. Lacourbf^ a alors pour équation

et la polaire du point P(a, ?) (n'^ 293)

o = a/y + P^ + termes du 2® degré au moins.

La tangente, à l'origine,

a// + pa; = o,

forme, avec les axes et la droite OP, un faisceau harmonique. Elle est donc distincte des tangentes au point double. Cette conclusion, à son tour, se trouve en défaut, si les tangentes au point double sont. confondues (point de rebroussement) ; alors la tangente à la polaire se confond avec la taDgenle au point de rebroussement. Soit dans ce cas, ox, la tangente, de rebroussement; la courbe proposée aura pour équation