Cp3(a.,y
et la première polaire
0 = 2p?/ -f- termes du 2" degré au moins.
Multipliant cette dernière équation par y, et la précédente par — 23, on obtient, en ajoutant membre îi membre, une courbe qui a un point triple à rorigine et qui a, avec la polaire, les mômes points communs que cette dernière avec la courbe proposée. Or, en développant les calculs, on voit aisément que, dans le cas général, cette courbe n'est pas tangente à ox\ ses trois branches en o coupent donc la polaire (qui, elle, touche ox) en trois points simples, et le point de rebroussement absorbe trois des points de rencontre de la courbe avec la première. Finalement, il reste pour la classe k d'une courbe d'ordre //
U70. En considérant la polaire réciproque pour interpréter l'équation tangentielle, comme nous l'avons indiqué n*" 361, on obtient immédiatement la formule corrélative
380. Des considérations analogue spermettent de relier le nombre w des points d'inflexion à l'ordre et au nombre des points doubles ou de rebroussement. Les points d'inflexion sont h l'intersection de la courbe et de la hessienne (57);
comme cette dernière est du degré 2{n — 2), on aurait
ic = 3n{n — 2),
s'il n'y avait pas de points singuliers.
Mais on a vu, n" 364, que les points doubles et de rebroussement de la courbe originaire sont aussi sur la hessienne, et on a donné les tangentes de la hessienne en ces points. 11 en résulte immédiatement deux conséquences : 1° un point double absorbe six des points communs de la courbe et de la hessienne ; 2^ en appliquant un raisonnement analogue k celui que nous venons de faire dans la recherche de la classe et que, pour ce motif, nous nous dispenserons de reproduire, on voit qu'un point de rebroussement absorbe huit des points communs de la courbe et de la hessienne. Finalement la formule cherchée est donc
10 =z= 3n (w — 2) — 6rf — 8/-. (71 )
381. En considérant la polaire réciproque, on obtient la dernière formule
38:i. Les formules (69), (70), (71) et (72), sont appelées formules de Pliicker, du nom de leur inventeur. Elles ne sont pas indépendantes. En ellet, la soustraction permet, appliquée au groupe (69), (71), ou au groupe (70), (72), d'écrire Téquation unique
qui peut remplacer (70) et (72). Il reste donc trois équations distinctes, qui permettront de calculer trois quantités, connaissant les trois autres. Comme application, cherchons les nombres de Plûcker, pour une courbe d'ordre /*, sans point double ni rebroussement. Les données sont n, rf = o, r = o ;
et les résultats sont les suivants
A :^n(n — 1), te = lin (n — 2),
Les mômes formules permettent aussi d'expliquer un paradoxe apparent. Concevons une courbe, en apparence la plu s simple, c'est-à-dire sans singularités; ona û^=r = /=iy = o, et les formules donnent les égalités
évidemment incompatibles, sauf si k = n = 2. Mais il n'y a pas paradoxe, et il se trouve simplement démontré qu'il n'y a aucune courbe d'ordre supérieur au second qui soit dépourvue de singularités.
Nous allons énumérer les diverses espèces de courbes que peut fournir le troisième ordre
d r k te t
Il n'y a jamais de tangente double, ce qui était évident, puisqu'une pareille droite aurait quatre points communs avec la cubique.
383. Les formules de Pliicker suggèrent une dernière remarque. Lci nombres qui sont dans les premiers membres étant toujours positifs ou nuls, il en résulte que le nombre d des points doubles ne peut jamais, en vertu de la for-
I fni^\ I. 'K^ — 1) • ^ ^(w — 2) . ,, mule (69), dépasser -^ — ^» ni même ^ ^ h si 1 on se
reporte à la formule (71). Ces deux limites sont trop élevées, et nous allons démontrer que le nombre maximum des points doubles d'une courbe d'ordre n ne peut pas sur-
passer ^ ^ ^' Il peut atlemdre ce maximum,
comme on le voit, en prenant, par exemple, une cubique à point double.
En eflet, on sait que, pour déterminer une courbe d'ordre n,
il faut se donner ^ ^ points. Cela posé, nous allons,
montrer que, s'il va plus de ^ -^ ^ points doubles,
soit au moins
la courbe comprend une courbe d'ordre moindre, et par conséquent se décompose. A cet effet, déterminons une courbe d'ordre n — 1, en l'assujettissant à passer par d points doubles et par 2n — 3 autres points, pris sur la courbe proposée, soit en tout par
points. Les deux courbes se couperont en 2n — 3H-2rf points, parce que les points doubles doivent être comptés pour deux dans l'intersection ; cela fait
points communs, c'est-à-dire un de plus que le théorème de Bezont n'en permet à deux courbes d'ordre n et n — 1, qui n'ont pas ime infinité de points communs. La courbe d'ordre n doit donc se décomposer, ou n'avoir pas plus de
^ — — — ^ ^ points doubles.
384. Genre d'une courbe. — On appelle genre d'une courbe, l'excès du nombre maximum de points doubles que comporte son ordre, sur le nombre de points doubles
qu'elle possède effectivement. Nous désignerons cet excès par la lettre jo.
Son introduction dans les formules de Pliicker leur donne un aspect plus symétrique.
385. On appelle courbes nnicursales, celles pour lesquelles les deux coordonnées rectilignes peuvent s'exprimer rationnellement en fonction d'un môme paramètre.
Théorème. — Les courbes de genre zéro sont unicursales ou se décomposent.
En effet, par les points doubles de la courbe donnée (C), et par n — 3 autres points fixes de (C), faisons passer une courbe (C) d'ordre n — 2, ce qui est toujours possible et d'une infmilé de manières, puisque Ton n'a fixé que
points de la courbe d'ordre ;i — 2, c'est-à-dire un de moins qu'il n'est nécessaire pour déterminer la courbe. Les conditions qui expriment qu'une courbe passe par des points donnés étant linéaires par rapport aux coefficients inconnus de cette courbe, on aura
équations linéaires entre
coefficients qui permettront d'exprimer tous ces coefficients en fonctions linéaires d'un seul, et finalement Téqualion
de (C) se présentera sous la forme
S 4- XS' = o, (75)
X étant un paramètre arbitraire, et S, S', des fonctions de degré n — 2, au plus.
Les courbes (C) et (C) se coupent en
n — 3 -}- 2rf = n — 3 + (n — l) (w — 2) = n{n — 2) — 1,
points fixes. Elles ont donc en plus un point commun, et Ton peut profiter de Findélermination de X pour que ce dernier point commun soit un point quelconque de (C). Cherchons les coordonnées de ce point M. Des opérations, purement algébriques, permettront d'éliminer une des coordonnées, y par exemple, et Ton obtiendra ainsi une équation de degré n (n — 2) en x; de cette équation, on connaîtra toutes les racines, sauf une, savoir les abscisses x^, x.^^ ..., Xrf, des points doubles, et celles x[, x'^, ..., x'^^ des points fixes donnés. Donc, en divisant le premier membre de l'équation par
[x—'X^f {X — X.^f ... [x — XdY [X—X[) ... [X— a?;;3),
il restera une équation du premier degré en x, qui fera connaître Tabscisse du point M, en fonction rationnelle de a. On aura de môme l'ordonnée, ce qui démontre le théorème. On pourrait craindre que le dernier point commun, laissé indéterminé entre (C) et (C), ne fût fixe lui-môme; mais, dans ce cas, Tindétermination de X permettrait de faire passer (C) encore par un point de (C). Les deux courbes auraient alors
points communs, et auraient une courbe plane commune; (C) se décomposerait.
J386. Réciproqvement, toute courbe unicursale a son maximum de points doubles, c'est-à-dire est de genre zéro.
Supposons, en effet, que les coordonnées s'expriment rationnellement en fonctions d'un paramètre t par les formules
dans lesquelles une, au moins, des fonctions 6, 6,, 60, est de degré w, et oii Ton peut évidemment supposer les fractions irréductibles.
D'abord la courbe est bien de degré /<, car ses points de rencontre avec une droite quelconque
ua? -|~ t?^ + to = o sont donnés par l'équation de degré n
L'équation de la courbe s'obtiendra en éliminant / entre les deui équations. (76); ce sera
et l'on sait que, en général, si cette équation résultante est vérifiée par un système de valeurs Zq, y^, les équations (76) ont une et une seule racine commune. Donc, à tout point de la courbe (77), correspond une seule valeur de /, en général.
Le contraire pourrait cependant arriver: par exemple, si
les équations
a^t^ j^ Vi -I- c' àTi^ 4- b"i -f c'
ne représentent pas une conique, mais une droite parcourue deux fois, et à tout point de la droite correspondent deux valeurs de t, reliées par Tégalilé
(«y' ba') t^t.^ + [an" — ca') (/, + L^) + hc" — ch" = o.
Mais nous allons montrer que, si tous les points d'une courbe peuvent être obtenus par plusieurs valeurs du paramètre /, on peut toujours trouver un nouveau paramètre T, tel que, à tout point de la courbe, corresponde une seule valeur de T (exception faite pour les points multiples).
Si un môme point est obtenu par deux valeurs /, et L, du paramètre, on aura les deux conditions
Les deux fonctions R et Rj admettent évidemment le diviseur /j — /o; mais il peut y avoir un diviseur de degré plus élevé. Soit D(/,, to), le plus grand commun diviseur, ou sorte que
Q et Q, ne peuvent plus s'annuler que pour des systèmes isolés de valeurs de t^ et A,, ce qui donnera des points doubles avec branches distinctes, puisque les valeurs de /, infiniment voisines de ^, et de /.,, n'annulent plus R et R,. Ordonnons le polynôme D par rapport à A, :
L'un, au moins, des coefficients A, est de degré m en t^ : car, si Ton échange les lettres /| et /.,» '^s polynômes R et R, changent de signe, sans changer de valeur absolue, et par
CALCUL INFINITÉSIMAL. 2r>
conséquent leur plus grand commun diviseur D reste le même, h un facteur constant près. Soit A^ Tun des coefficients de degré m en /j; les autres coefficients seront de même degré, ou de degré moindre; A sera certainement de degré moindre, parce que D, devant s'annuler pour U^i^, ne peut pas contenir le terme t"' /'^. Maintenant, si Ton remplace dans D, soit ^,, soit t^, par une quelconque /, des m racines de Téquation
cette équation sera évidemment encore vérifiée, et les deux équations
D(^;,g=:A(/,)^y+A,(^)/r*+...+A«(f,vr*+-..+A,„(//)=o,
et
dans les coefficients desquelles nous avons mis en évidence la variable, auront les mêmes racines en L2 » leurs coefficients seront proportionnels, et Ton aura
A«(/,) Aa(/,)
A(^) "" A(/,) pour i = 1, 2, ..., m. Si donc on pose
le paramètre T prendra une valeur unique pour les m valeurs /j, /g, ..., /«, c'est-à-dire pour le point de la courbe considérée.
387. Nous pouvons maintenant aborder la démonstration du théorème énoncé au numéro précédent et supposer qu'à un point quelconque de la courbe définie par les équa-
lions (76) correspond une seule valeur du paramètre / (exception faite des points multiples que nous allons rechercher). Ces points seront donnés par les solutions communes aux équations (78) : divisons R et R, par /, — tç^, pour exclure la solution parasite L, = t^^ nous obtenons deux nouvelles équations
symétriques en /, et t<^, et de degré n — 1 , par rapport à ces deux lettres.
Posons alors
Comme les deux équations (81) sont composées avec des termes de la forme
et que les sommes /f H- /i s'expriment, à cause de la formule de récurrence
par des fonctions de degré k en u, v, la substitution (82) dans les équations (81) conduira à des équations de degré n — 1, qui auront (/i — 1 )* groupes de solutions communes. Mais tous ces groupes ne conviendront pas. En effet, pour obtenir les équations (78), nous avons dû multiplier par 6(/|), 0(^2)1 6^ si /| el /o annulent 0(/), le groupe correspondant doit être rejeté. Or il y a de ces groupes autant qu'il y a de combinaisons des n racines de 0(/) deux à deux, savoir
Il restera donc
FI n — 1. n — \ n — 5'
groupes de solutions ulile<, à chacun desquels correspond un p«:>int double. La courbe a donc son maximum de points doubles: elle est de frenre zéro.
3S8. !>an> tout ce «]ui préct*de. nous avons supposé que la iourbe n'avait pas d'autres singularités que des points d«»ubb*s. Nous avons d^jà eu Tiiccasion de dire qu'un point uuihipb* dordn* l\ h tang^'utes distinctes, peut être considéré comme remplaçant points doubles ordinaires,
et qu'un |M»int de rebnjkus*»emenl de première espèce équivalait à ln»is [H»iut> d«»ubb'>> «lans la diminution de la classe ou du genre. On p«>urrail aller plus loin; mais nous nous K^rnenai»- à éu«»ncer le résultat suivant : toute courbe algébrique, quelle que soit la nature «le ses singularités, peul, par un»* transf.»rmation biralii>nn»*lle. être remplacée, sans que le g^ure s*>it altéré, par une courbe algébrique n'ayant que des iM'iu'-i multlpU^s à tangentes séparées*. On appelle tran>formati«ms bîrationn^Iles celles qui donnent les coordonnées d un p«>iat quelLV»nque de chacune des deux courbes, à re\oi*ption de certains jv«»iats is*»lés. en fonctions rationne II •:*> des ctx^rdoiiut^e- d un point d»^ l'autre courbe. i Par de pareiU«^*> traus forma tiens, deux ci>urbes quelconques d'un m<?uie goure peuvent se cr»rresp«»nJre point par point. Nous allons en donner deux exemples.
Citt^. S4.ût d'abord uue courbe C indécomposable de ç*'nre zt^m. Pur st^s points doubU'S et par /i — 4 autres points tiv^ de C . fiiisons pu>s«T une courbe C d'ordre n — 2;
comme nous avons av.» seu:ement r :i
' V >ir. p.ir e\eii ù'?. J«»h>v.>, '.'w^w frtriifUf dt* CE'^Ae Polytechniquf, J'Mivit^iiic -fàitiou, t. L oQip. V. Li p«i.>si!)iiite au pn:>bIetDe résulte de rél««le t|ije ri.'iK ivorK fîiite lunti coiirot» iiifuir d iin point sui«^Uer. étude dans l.t'iuoi.e :iou5 Avv^us rvasc>i i *<?|Mr»fr t^»uIe^^ le» brinrhe**
COURBES FLANES 389
points, il restera deux paramètres arbitraires, et l'équation de la courbe (C) sera de la forme
9,, 92» ?3» étant des fonctions déterminées. La courbe (82) a, comme cela résulte du n* 385, n(n — 2) — 2 points fixes communs avec (C). Comme (C) et (C) se coupent en n{H — 2) points, il en reste deux seulement, dont les coordonnées dépendent do a,, a^, x,.
Posons
X = ÎJ, Y=2î. (83)
Si X, y, est un point donné, X, Y, est déterminé d'uno manière univoque par ces formules. Eliminons jt, y, entre les équations (83) et celle de (C), c'est-à-dire exprimons que les équations
f[co,y)=zo \
ont au moins une solution commune de plus que celles déjà existantes. Le résultat de Télimination sera
A tout point M de (85) correspondra, au moins, un nouveau point m[x, y) de (C), commun aux trois courbes (84); mais les deux premières de ces courbes appartiennent au type (82), et, par conséquent, avaient déjà 7i(n — 2) — 2 points communs avec(G). Elles ont donc, si le point X, Y, est sur la courbe (85), n[n — 2) — 1 points communs avec (C), et elles ne peuvent en avoir davantage, sans quoi la courbe
qui aurait aussi n [n — 2) points communs avec (C), pourrait, par un choix convenable de a, avoir n {n — 2) -+- 1 points
sur (Cj, et par conséquent faire partie de (C), qui serait décomposable, ce qui est contre l'hypothèse. Donc, à un point M de (85) correspond un point unique m de (C).
Il est essentiel de remarquer que Téquation (85) est celle d'une conique; il suffit, pour h; prouver, de montrer qua toute valeur donnée de X correspondent deux valeurs de Y, et réciproquement. Or, si Ion se donne X, la première équation (8i) détermine une courbe du réseau (82), c'est-à-dire une courbe qui coupe (C) en deux points seulement, dont les coordonnées dépendent de X. A chacun de ces points correspondent par (83) une seule valeur de Y, donc en tout deux.
D'ailleurs, une transformation homographique, suivie d'une inversion *, permet de faire correspondre à une conique un cercle, puis une droite. Il se trouve donc établi que, par une transformation birationnelle, on peut toujours faire correspondre, point par point, une courbe quelconque de genre zéro à une droite.
390. Lorsqu'un procédé quelconque permet de faire correspondre, d'une manière univoque, les points d'une figure aux points d'une autre figure, on dit qu'on a obtenu une représentation conforme de la première sur la seconde. Les résultats acquis dans le paragraphe précédent peuvent donc s'énoncer ainsi : « On peut toujours obtenir d'une manière rationnelle la représentation conforme d'une courbe de genre zéro sur une ligne droite. »
391. Comme second exemple, nous allons montrer qu'on peut obtenir d'une manière analogue, la représentation d'une forme courbe (C) de genre un, non décomposable, sur
1 La transformation qui permettra de passer d'une conique au cercle sera, par exemple, une perspective conique, quant aux formules dMnversion un peu moins usuelles, les voici, en mettant le pAle sur le cercle,
£ n k jc^ 4- y^
k est la puissance d'inversion, et ces formules sont bien biratîonnelles.
une cubique sans point double. La métho le étant identique à celle qui vient d'ôlre employée, nous n'insisterons pas sur les détails.
Par les
points doubles et par n — 3 autres points fixes de (C), faisons passer une courbe (C) d'ordre n — 2. Son équation sera de la forme (82)
a4?i (^1 y) + «aTa (^» P) + «sTs (^» P) = o^ (^2) et elle coupera (C) en
points fixes et en trois autres points dont les coordonnées dépendront de a^, a^, ag. Posons encore
et, entre ces deux équations et
f(x, tj) = o, (84)
éliminons x, y. Nous obtenons Téqualion
A un point m de (C) correspond évidemment un seul point M de cette nouvelle courbe (F). Réciproquement, si X, Y satisfont à Féquation (85), les trois équations (83) et (84) acquièrent une nouvelle solution commune en x, y, ce qui fait en tout
et elles ne peuvent en avoir une de plus, sans quoi la
courbe
n'aurait plus avec (C) qu'un seul point d'intersection dont les coordonnées dépendraient de X; les coordonnées de ce point s'exprimeraient rationnellement en Tonction du paramètre X; la courbe (C) serait de genre zéro, ce qui est contraire à l'hypothèse.
Ainsi, à tout point de la courbe l\ correspond bien un seul point de (C). D'ailleurs (F) est une cubique. En effet se donner X, c'est prendre pour valeurs des paramètres
a, = 1, ta -- o, «3 = X,
et l^on sait que trois seulement des systèmes de valeurs correspondantes de j:: et de y dépendent de a^, ao, «3. Par suite, Y prend au plus trois valeurs différentes pour une valeur donnée à X, et réciproquement : T est donc une cubique. Cette cubique n'a pas de point double, sans quoi elle serait unicursale; les coordonnées de ses points s'exprimeraient rationnellement en fonction d'un paramètre, et il en serait de môme pour (C), ce qui est contre l'hypolhèse. Le théorème est donc démontré.
Corollaire. — Projetons la courbe F de manière qu'un de ses points d'inflexion soit à l'infini et que la tangente en ce point soit également rojetée à Finfini; z =0 doit donner trois points confondus. L'équation sera donc, en coordonnées homogènes, de la forme
P-î + zP, = 0,
Pj étant une fonction linéaire, Po un polygone du second degré. Un changement de coordonnées permettra d'écrire l'équation précédente sous la forme
œ^ + P2 = o, et Po contient nécessairement un terme en y^, sans quoi y
s'exprimerait en fonction rationnelle de l'abscisse, H lu courbe serait unicursale. P2 pourra alors se mettre sous la forme
[ai/ + bx + cY + dx^ -\- ex + f
a ^ 0. Prenons la droite
ay •\- bx -{ c = o pour axe des x, Téquation de la cubique devient
1/3 = oo?» -f- pa?2 + yo: + s.
Une dernière substitution, qui remplacera x parXj: -h \^^ donnera enfin la forme la plus réduite
y^ z= Ax^ — g^ — ^3 (8iVi
d'une courbe sur laquelle on puisse obtenir la représentai ron conforme de toutes les courbes de genre un.
Quelques formules en cooi*données polaires
392. Les formules que nous avons à donner dans ce |mragraphe s'obtiennent parde simples changements de variâmes. Soit
X = p cosco, y r= p sinu).
On en tire, si w est pris comme variable indépendautL\
dx =z — p sincjc^o) -f- cosWp,
dy = p coswrfu) -f- sinwr/p,
<Px =1 — p cos(i)rfoj* — 2 sinwrfwefp -f- coswrf^p,
d^y = — p sincoefu)^ + ^ coswrfw/ip -f- sinuxi^p,
et par suile, comme on l'a déjà vu, pour la différentiel Ir ilr l'arc
ds^ =: 4* + pVa>a
39i CHAPITRE XVn
et pour le rayon de courbure (n* 104)
R (p'+pT . (87)
Si Ton pose p =-» cette formule devient
et Ton voit que les points d'inflexion s'obtiendront en faisant le rayon de courbure infini, ce qui donne l'équation
qu'on peut écrire
393. Concavité vers le pôle. — Nous allons retrouver ce résultat en cherchant directement la condition pour que la courbe tourne sa concavité vers le pôle, c'est-à-dire pour qu'elle soit située dans le voisinage du point M, entre le pôle et la tangente en M.
Soit MT la tangente au point po, wq. Si la courbe est concave vers le pôle, en menant un rayon vecteur, voisin de OM, qui coupe la courbe en M', et la tangente en M", il sera nécessaire que Ton ait
OM' — OM' > o.
FiG. 40.
Si p est positif au point M, et par conséquent dans le voisinage, en appelant r le rayon vecteur OM' de la tangente, et p celui OM' de la courbe, l'inégalité précédente s'écrira
si p est négatif en M, il faudra écrire
Pour traiter simuUanément ces deux cas, nous emploierons la formule unique qui convient toujours
Etudions donc le signe de la quantité r — p, ou celui de
) qui est le môme.
P ^ On a vu, au chapitre précédent (formule 51), que
r p ^ "^ ' \Po/
ou ICI
+ay
- = - COS Ao> + I — ) sin A<o.
De plus, si l'équation de la courbe est
P on aura, dans le voisinage du point M,
^ = /"K + Au.) = /-(«o) -h Aa,/-(a,o) -f ^* /'(a,, + eAo,).
Si l'on remplace cos Au et sin Au par leurs développements en série, on voit que la valeur principale de la diffé-
1 1 renée sera
^'[rKi + A"*)].
si la quantité entre crochets nest pas nulle. Par conséquent, pour que la courbe soit, dans le voisinage du point M, con-
cave vers le pôle, il sera nécessaire et suffisant que Ton ail en ce point
HJ+C)']>»-
Si
la valeur principale de sera de troisième ordre et
changera de signe avec Aw, il y aura inflexion. Le lecteur
verra lui-môme ce qu'il faudrait dire, si la valeur princi-
1 t pale de était d'ordre supérieur au troisième.
