COURBES GAUCHES. — SURFACES CONGRUENCES. — COMPLEXES DE DROITES
Courbes gauches
CI94. Dans ce chapitre et dans le suivant, nous supposerons les axes de coordonnées rectangulaires, pour toutes les questions qui concernent les angles bu les distances.
Une courbe gauche peut être définie soit comme intersection de deux surfaces dont on donne les équations
soit comme lieu d'un point, dont les cordonnées jr, y, z sont données en fonction d'un paramètre t variable, par les formules
x=zr,[i). y = rAi)^ ^ = /"3(0- (il
L'élimination du paramètre / donnerait les équations de deux surfaces contenant la courbe, et, d'ailleurs, le second mode de représentation comprend le premier, en supposant
Nous pourrons donc, dans ce qui suit, supposer toujours la courbe représentée par les équations (1). En particulier, sauf avis contraire, les différentielles
r/x, dy^ dz
auront pour valeurs respectives
De même d^x = —r dfi, (Py = ... etc.
On appelle ordre d'une courbe gauche le nombre de ses points d'intersection avec un plan quelconque.
Un grand nombre des considérations relatives aux courbes planes s'étend, sans modifications, aux courbes gauches; nous commencerons par les passer en revue.
:I95. Différentielle de l'arc. — La longueur d un arc de courbe se définit exactement comme nous l'avons fait pour le plan ; il n'y a qu'une variable de plus. 11 en résulte immédiatement, pour la différentielle de l'arc, la formule
ds^ z= dx^- + dy^ -f. dz^. (2)
396. Tangente. — La droite qui passe par un poial M (j:, y, 3) de la courbe et par un point M'{j; + Aj:, y-t- Ay, z 4- A:ï) très voisin, pris sur la môme courbe, a pour équations
X — X Y — y Z — 2 \x Ày A^
Lorsque M' tend vers M, la sécante a pour position limite la tangente en M, cette dernière droite a donc pour équations
dœ dy dz
Ces deux équations peuvent aussi s'écrire
Si la courbe était donnée par les deux équations
il faudrait différentier, pour avoir rfx, rfy, rfs, ce qui donnerait
DF , DF yp \
L'élimination de dx^ dy^ dz^ entre ces équations et les équations (3), se fait en remplaçant dans (4) les différentielles, par les valeurs proportionnelles tirées de (3); on trouve ainsi immédiatement
Chacune de ces équations représente un plan, et Tintersection de ces deux plans est la tangente à la courbe. Si
DF
