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la tangente est indéterminée, et le point de la courbe est dit singulier. Nous n'étudierons pas les points singuliers dans les courbes gauches ; le lecteur trouvera sur ce sujet des indications utiles dans le tome I du Traité (Tafmlyse de M. Emile Picard.
397. Les cosinus directeurs de la tangente, c'est-à-dire les cosinus des angles, que fait la tangente avec trois axes rectangulaires, sont proportionnels aux dénominateurs qui
figurent dans les formules (3). On a donc :
cosa cosp COSY V^cos^ g -f~ cos^ ^ + cos^ T | JL
dx "" di/ ^ dz V^* + dy^ + dz^ ^'
ou, en choisissant pour sens positif, sur la tangente, celui dans lequel croissent les arcs
d.v , dy
cosa ~ -T" cosfe =1 -f )
ds • as
^ ds
Ces formules pouvaient aussi s obtenir par des considérations géométriques, comme les formules (64) du chapitre précédent.
398. Plan normal. — On appelle plan normal à une courbe gauche en un point le plan perpendiculaire à la tangente en ce point. Comme, lorsque les axes sont rectangulaires, la perpendiculaire à un plan a ses cosinus directeurs proportionnels aux coeflicients de X, Y, Z dans Téqualion du plan, on voit que Téquation du plan normal au point M {j\ y s z) est
P = (X — x\ dv + (Y — y\ dy + (Z — z\ dz = o. (7)
L'intersection de ce plan et du plan normal infiniment voisin s appelle la droite polaire ; elle est déterminée par Téquation (7) et par Téquation
P + efP = o, ou encore
a?p == (X — x) dKv 4- (Y — y) d^y -f (Z — z) d}z -- ds^ = o. (8i
Si on appelle ;, r,, î, les angles que fait cette droite avec les ax(»s de coordonnées, on aura
cos l
cos;
'yd^^ — dzd'-y dzdKv — dxd^z dxd-y — . dyd'Z
■ W,»Ui
Le Heu des droites polaires d'une courbe s'appelle la surface polaire.
:I99. CooRBL'RE. — Vangle de contingence est encore ici Tangle de deux tangentes infiniment voisines, et la courbure^ la limite du rapport de cet angle à Tare. Calculons ces éléments.
La tangente au point x H- r/x, y -+- rfy, z -+- dz, a pour équations
X — X — dx Y — y — di/ Z — z — dz , .
dx + d^œ "" dy + d^y ~~ dz + d^z ' ^^
Or, si deux droites ont pour équation
leur angle V s'obtient par la formule
. \J(bc —cby +-(ca' — ac)^ + (ab' ^ baV
y/(a^ + b'i + c») (rt'a ^ ô-i | e'2)
On aura donc, en appliquant la. formule précédente aux équations (3) et (10)
. y yJidyi^z -^dzd^yf + {dzd^x — dxd^x)^ + {djcd^y -^dyd'^x)^ ~ yj(dx^ + dy^ + dz'')[{dx + d\xY + [dy + d^yf +(c/^+ cf^^
Si Ton remarque que sinV et V ont la môme valeur principale, et qu'au dénominateur d-x est négligeable devant dx^ d-y devant dy^ d-z devant dz, on trouve pour la courbure
^ V >J{dyd^z-'dzd^y)'+[dzd^x-dxd}z)'+[dxd*y-dyrpœY ~'ds~ \[dx'+dy^-\'dz^Y
CALCUL INFINIT^-SIMAL. 26
On retrouve au numérateur des binômes déjà rencontrés (9); nous adopterons, pour désigner ces binômes ou plutôt leurs quotients par dt^^ une notation spéciale. Nous poserons
A = yz" -^ zY, B = z'cx? — x'z\ C == xf — y'af, (12)
La courbure s'écrira ainsi
A = iAiiBi+jÇ!^, (13)
et son inverse, que nous appellerons encore rayon de courhure, aura pour expression
enfin les équations (9), qui définissent la direction de la droite polaire, deviendront
COSÇ COSTl cosÇ i ,,-,
Remarquons en passant que la formule (14) est tout à fait l'analogue de la formule (65) du chapitre xvn, si l'on prend .v comme variable indépendante. On a en effet, dans ce cas
et en différentiant
Puis, à cause d'une identité connue,
= (a;'» + y'» + z'^) Ix"* + y"» -I- ^"*) — {m'a:" + i/i/' + *V)' = x"* + y"» + z"K
D'où
4CM>. Différence entre un arc infiniment petit et sa corde, — Le calcul fait au n^ 371 pourrait être reproduit ici textuellement; il n'y aurait qu'à écrire une variable de plus. Le résultat est donc le même :
0 = ^ k^ds^. (17)
Du plan tangent et de la normale à une surface
