DF ;>F DF

qu'on appelle le plan tangent en M h la surface (S) : c'est le lieu des tangentes h toutes les courbes tracées sur la surfac^^ et qui passent en M.

40d2. La perpendiculaire à ce plan, au point M, s'appelle la no7*male; elle a pour équations

40«l. Si Ton prend ar et y comme variables indépendantes, et si Ton pose

^ ex ^ oy

la différentiation de l'identité

faite en supposant successivement y et x constants, donne

OX OZ 01/ ' ^ t»^

et Téquation du plan tangent devient

Les équations de la normale sont dans le môme cas

404. Enfin on peut, en introduisant des coordonnées homogènes, obtenir une dernière forme utile. L'équation de la surface peut s'écrire, en multipliant au besoin par une puissance de t,

le premier membre étant une fonction homogène en x, y, z, t de degré m\ il en résulte, en vertu de Kidentité d'Euler relative aux fonctions homogènes,

C^X ' 01/ ' oz ^ ot

Or le plan tangent au point dont les coordonnées sont -> -^î - a pour équation

OÙ à cause de l'identité précédente,

X^ + Y^^ + Z^-hT,^=o. (20)

1^0o. Le plan tangent devient indéterminé, si les trois

dérivées ^* ^^ ^ sont nulles au point j:, y, z, t. Ce point ox oy cz

est alors dity;o//f/ singulier. On peut encore se proposer de trouver le lieu géométrique des tangentes en ce point. La méthode que nous allons employer nous donnera directement Féquation du plan tangent sous la forme (20).

On sait qu'une tangente au point M est la limite des positions d'une sécante qui passe en ce point, lorsqu'un deuxième point d'intersection de la sécante avec la surface vient se confondre avec le premier, suivant une loi déterminée, d'ailleurs arbitraire. Soient alors x, tj^ z, t les coordonnées homogènes du point M et X, Y, Z, T celles d'un point courant de la sécante qui passe i^n M; on sait qu'un autre point M' quelconque de la sécante pourra ôtre considéré comme ayant pour coordonnées

et, si ce point est sur la surface, on aura identiquement f[x + \\, y + XY, ^ + V/., ^-fXT) = o. Développons cette équation par la formule de Taylor :

+ ^:^('x^ + YÏ+zï+Tïr+ .., = „.

Le premier terme est nul par hypothèse; l'équation précédente, considérée comme déterminant les valeurs de X d'où résulteront les coordonnées x\ //, z\ f des points M' communs à la surface et à la sécante, a une racine nulle en X,

ce qui tHait facile à prévoir. Pour qu'une seconde racine soit nulle, il sera nécessaire et suffisant que le coefficient de X soit nul; on retrouve ainsi Téquation (20) du plan tangent. Si ce plan est indéterminé, le point sera singulier. Supposons toutes les dérivées partielles nulles jusqu'à Tordre // exclusivement; a" se trouve en facteur; tonte sécante qui passe en M coupe la surface en n points confondus avec M; le point M est dit multiple dordn n. Pour qu'un nouveau point vienne se confondre avec les précédents, il faut et il suffit que

(]elte équation symbolique est celle d'un cône de degré h contenant toutes les tangentes au point M.

Tliéorie du contact

406. Le principe de la théorie est le môme que pour les courbes planes. Nous laisserons de côté le contact de deux surfaces.

Deux courbes planes ou gauches, ou une courbe et une surface, ont un contact de /i""" ordre, lorsqu'elles ont en commun n -\- \ points infiniment voisins. Si /q, /q H- A,/q» /f) + A.^/q, ..., /n + -^uA) définissent n -f- 1 points de la courbe gauche (G), il faudra exprimer que les points ainsi définis sont sur la deuxième courbe (C) ou sur la surface (Si.

Examinons d'abord le cas de deux courbes (G) et (C), et supposons (G) donnée par les (équations (1), (G) par les relations

En remplaçant dans ces équations .r, y, z par/|(/), f:t[t\ f\^[t) respectivement, on obtient deux équations

et les conditions

+ (0 = 0, 'hM = o,

se transforment, comme dans la théorie du contact des courbes planes, en

S'il s'agit du contact de la courbe (G) et de la surface (S)

il est évident que la même méthode s'appliquera et que les conditions seront

•HO = o, f(0 = o, ..., •^(«^(g^o.

11 résulte de la que, si x^, y,, 2,, sont des valeurs des variables déterminées par une valeur i^ du paramètre, infiniment voisine de t^, l'expression F (2:^, y,, z^) sera inliniment petite d'ordre n + 1, par rapport h l'accroissement de /. On aura en effet identiquement, h cause des relations précédentes,

11 faut remarquer que, si le point est ordinaire sur la courbe gauche, li est du môme ordre que l'arc infiniment petit de cette courbe.

407. Nous démontrerons encore que, par analogie avec le cas des courbes planes, lorsqu'il y a, en un point ordinaire M, contact du n™" ordre entre deux courbes gauches, ou entre une courbe et une surface, on peut trouver sur les deux figures correspondantes deux points N et Nj, infini-

ment voisins de M, et tels que leur distance soit d'ordre n + 1 au moins par rapport à MN. Nous distinguerons deux cas :

1^ Cas de deux courbes (C) et (C,)

yzzzfix), 2 = f^[x), (C)

y=zf\[x), z = ^^{x), (C,)

Soient j^q, yo? ^^^ coordonnées du point M de contact, x, y, :;, celles d'un point N de (C), x^, y^, s^, celles d'un point N^ de (C,). Nous supposerons que la tangente au point M ne soit pas parallèle au plan zoy\ MN se projette alors suivant un infiniment petit x — a^o de même ordre. Prenons le point Nj, de manière que

Xy z= X,

On aura évidemment

Or on voit, comme au chapitre précédent, n*» 336, que

y^y^=f(^x)^r{cC,)=^^;-^^^

Donc NNj est bien du [n -\~ 1)"** ordre au moins par rapport à a: — .Tq ou à MN.

La réciproque se démontre comme pour les courber planes.

2° Cas d'une courbe (C) et d'une surface (S), ayant pour équations respectivement

Soient encore Xq, y^, z^, les coordonnées du point M commun aux deux figures; x, y, z, celles d'un point N de (C); a:,, y,, 5j, celles d'un point Nj de (S). Nous pouvons encore

supposer que la tangente au point M à (C) n'est pas parallèle au plan zoy^ et, par suite, que MN est de mémo ordre que X — x^y D'ailleurs les équations de (G) donnent

d'où il résulte que y — y^ et z — * z^ sont de Tordre de X — Xq, si les dérivées f\x^ et ^'(^o) ^^^ ^^^^ P^^ nulles, ce que nous supposerons. Prenons le point N| de manière que

Alors Or

^ — -^1 = •«' — F («?4, Vk) = ? m - F [x, y)

= <p (a?) — F [X, f[x)] =r .} (jf) = .Ka?o + a? — a?J et

^;K+5irF,)===.H^o)+(^-^o)'fK)+... + |5^

Par hypothèse, il y a contact du //•"" ordre, c'est-à-dire que

La différence 2 — z^ est donc d'ordre /« + 1, au moins par rapport k x — Xq^ ce qui démontre le théorème.

La réciproque est évidemment vraie : si une courhe (G) et une surface (S) ont un point M commun, et s'il existe sur (C) un point N, sur (S) un point Nj, tel que NN, soit inliniment petit d'ordre a< + 1, par rapport à MN, la courbe et la surface ont un contact du z^"*' ordre. Il suffit, pour le voir, de prendre oz parallèle à NNj.

408. Ge qui précède suppose, comme dans le contact des courbes planes, que le point M soit un point ordinaire sur

(C) et sur (S).

Osculation

409. On dit qu'une courbe ou qu'une surface sont osculatrices avec une courbe gauche donnée lorsqu'elles ont avec cette courbe gauche le contact de l'ordre le plus élevé compatible avec le nombre d'arbitraires qui figurent dans leur définition. Comme application de la théorie du contact, nous allons chercher les figures les plus simples osculatrices à la courbe gauche (1).

41 0. Droite osculatrice od tangente. — Les équations d'une * droite renferment quatre paramètres; on pourra donc l'assujettir à quatre des conditions (23). La droite a pour équations

\ = as -{- CL, Y = ô^ + P;

si elle doit être osculatrice à (C), au point x, y, 5, on aura les conditions suivantes, dans lesquelles x\ y\ z\ désignent toujours les dérivées par rapport à t :

œ zzz az -\' a,

x'^= az\

On en tire

Ce sont bien les équations de la tangente (3). Plan oscillateur