Les équations d'une circonférence
contiennent six paramètres; on pourra donc écrire les six premières conditions (20), ce qui établit un contact du second ordre,
i-^ - xj' + (y - py + (^ - r)' = R'
a (a? — at) + 6 (y — p) + c (z — y) =: o '"'"''
«07' 4" ^,V -\- cz' =0
«a?" + hy" + c j'' = o
Ltîs deux dernières montrent que a, A, c ont précisément pour valeurs A, B, C, c'est-à-dire que le plan du cercle osculateur est le plan osculateur; les trois précédentes détermineront a, ?, y; les deux premières d'entre elles expriment que le point a, jâ, 7, se trouve sur la droite polaire. On peut donc énoncer en passant ce théorème : Le centre du cercle osculateur est à V intersection du plan osculateur et de la droite polaire. 11 résulte aussi des formules (15) que la droite polaire est perpendiculaire au plan osculateur : la droite polaire est Vaxe du cercle osculateur; on rappelle souvent axe de courbure. Calculons maintenant a, g, y; on tire aisément des équations (26) :
x — PL ^ y —P __ ^ — ï Cy — ï^z' \z' — Co;' Wr — \y
— x" {Cy' — Bz') + y" (A^' — C^') + z" (B;c-' — A/f
■vr- ■
Le dernier membre est égal à
Le centre du cercle osculateur est donc donné par des formules relativement simples, qui se déduisent par permutation de la première
On en déduit
^ ~ A2 + B2-f-Ca '
c'est-à-dire la même valeur que pour le rayon de courbure (14). Le cercle osculateur peut donc encore être appelé cercle de courbure, son rayon, rayon de courburCy et son centre, centre de cotn^bure.
Ti4ëdre mobile
413. On appelle normale principale en un point d'une courbe gauche, celle des normales à la courbe qui est située dans le plan osculateur en ce point. La normale principale passe donc au centre de courbure.
Nous pouvons maintenant définir trois droites deux à deux rectangulaires et parfaitement déterminées en chaque point de (G), que nous prendrons comme axes de coordonnées mobiles avec le point de la courbe : Taxe des x sera la tangente à la courbe comptée dans le sens des arcs croissants ; Taxe des y, la normale principale comptée vers le centre de courbure ; Taxe des z, la perpendiculaire aux deux premiers; cette perpendiculaire est parallèle à la droite polaire et a reçu le nom de binormale.
On défmil le sens de cette dernière droite par la condition que le trièdre mobile puisse être amené à coïncider avecle trièdre des axes fixes; en d'autres termes, la binormale est orientée par rapport h la tangente et à la normale principale comme 0;; Test par rapport à Oa: et à Oy.
Nous avons déjà calculé par les formules (6) les angles a. 3, Y, de la tangente avec les axes fixes, et par les formules (9), (15), les angles 5, r^, ï, de la binormale avec les nu^mes axes. On en déduira facilement les angles directeurs X, pt, V, de la normale principale [qui d'ailleurs résulteraient aussi des formules (27)], par les formules
COS X r= ces t| cos y — cos C cos p, cos jjL = cos ; cos a — cos l cos y, C08V = cosÇ cosp — cost, cos a.
Tot*sion
414. 11 existe, entre les différentielles de ces divers angles, des relations que nous établirons bientôt; mais il importe de définir d'abord un dernier élément capital dans IVtude des courbes gauches. Nous voulons parler de la torsion ou seconde courbure.
On comprend, en effet, que la courbure ne peut servir à différentier les courbes planes des courbes gauches ; le caractère de ces dernières étant d'avoir, en chaque point, un nouveau plan osculateur, il était naturel d'introduire, comme élément fondamental, l'angle de deux plans osculateurs infiniment voisins, ou mieux le rapport de cet angle 6 à l'arc infiniment petit correspondant. C'est ce rapport que nous appellerons torsion et que nous désignerons par la lettre - : nous allons la calculer.
Soient (25)
A (X -^) + B (Y - y) + C (Z ^ z) = o, (A+rfA)(X-.î7-c^a7)+(B+^B)(Y-y-rfy)-f(C+rfC)(Z-^-rf^)=o,
les équations de deux plans osculateurs infiniment voisins. Leur angle '| sera donno par la formule
. (BtfC — CdB)^ + [CdX — AdCy 4- (ArfB — BrfA)^ 8»n ? — (Aa+ B» + C^) [(A + d\y + (B + r/B)'^ + (C + dC)^]
ou comme ^b et sin^J; ont la môme valeur principale
r Or
dK = {y'z'"
- z'y'") dt.
Si donc on pose
on voit que les binômes qui figurent au numérateur de tj;^ seront, au facteur dt près, les mineurs du déterminant adjoint de D; leurs valeurs seront donc, d'après un théorème connu,
BrfC — Cf/B == œ'Xydi, Cdk — AdC = y'Ddt, ArfB — Bd\ = z'Ddl.
On en déduit
.2 ^ i^l±jl±jlL^lÊL
rfs "* A2 + B^ + C2
Remarquons que les équations des deux plans osculateurs infiniment voisins peuvent s'écrire
BdC — CdB ~ Cd\ — AdC ~ AdB — BrfA'
OU, d'après ce qui précède,
La tangente en un point est donc l'intersection du plan osculateur en ce point et du plan osculateur infiniment voisin.
415. Les courbes planes ont pour plan osculateur leur plan : leur torsion est donc nulle. Mais sont-ce les seules courbes pour lesquelles on a
Pour répondre à cette question, je supposerai que la variable indépendante soit x :
La condition précédente se réduit donc à
(l}y (P2 (Py (Vz
dx^ dx^ dx^ dx^ '
ce qui peut s'écrire :
dh/ d^z
dx^ dx^
d^ ~ d^z dx^ dx^
En remontant aux fonctions primitives, on trouve
d^y p d^z , dx^ ~~ dx^'
puis
y = C^ 4- C^x + Cj
Les courbes pianos sont donc les seules pour lesquelles la torsion soit nulle en tous les points. Les points d'une courbe gauche pour lesquels la torsion est nulle sont dits points où le plan osculateur est siationnaire . Ils sont les analogues des points d'inflexion dans les courbes planes.
4IO. En gént5ral, la distance d un point M' d'une courbe gauche au plan osculateur en un point M infiniment voisin, est un infiniment petit de troisième ordre par rapport à Tare MM'. En effet, soient x + \x^ y -4- Ay, :; -h Az, les coordonnées du point M'; sa distance au plan osculateur, dont l'équation est
A(X - ^) + B(Y ^ ^) + C (Z - ^) = o, sera
. I AAa? + BA.v + (:Ag I """" v'A» + B-* + C^
Or la formule de Taylor donne
Aic =z dx -{- -z d}x 4- ç. à?x -\- ...
Ay := dy + ...
Lz = dz + ...
et comme par hypothèse
\dx -f- Bc?^ + Cdz = o, Ad^x + Bd^y + Cd^z = o,
il reste
^ i I Ad^x + Bdh/ + Cd^z + ... I
Mais
d^x = x'"di\ d?ij = y"'dt^, d?z = z'"dfi :
la valeur principale de 5 est donc
• ^ 1 |Aa;;" + B.v- + C^'"| .^^, -1 |D1 ^^,
6 VA» + B" -I- C» 6 y/A* -f B» + C^
CALCUL IMFINITÉSUIAL. 27
Elle est bien du troisième ordre. Aux points où le plan osculateur est stationnaire, sa distance au point infiniment voisin devient d'ordre supc^rieur au troisième.
Pour les points or.dinaires, on peut donner un aspect plus géométrique à la dernière formule, en introduisant dans 5 la courbure et la torsion. Un calcul immédiat montre que
Cette distance changeant de signe avec ds^ la courbe traverse le plan osculateur.
Keprcsenlalion spliérique
Relations enlise les différentielles des cosinus
directeurs du trièdre mobile
417. Dans ce qui va suivre, nous désignerons par a, g, v, X, [JL, V, ç, y;, Ç, les cosinus des angles, qui étaient jusqu'ici (n*" 414) représentés par les mêmes lettres, c'est-à-dire que nous écrirons a au lieu de cos a, et ainsi de suite.
Les formules de Frenet*, que nous allons établir, se démontrent très aisément à l'aide de la représentation sphériqiie. Soit o le centre d'une sphère de rayon un; par ce centre menons une parallèle à la tangente MT au point M de (G), et dans le sens choisi comme positif sur la tangente. Cette parallèle percera la sphère en un point m qui est déterminé par la tangente en M et qui la détermine sans ambiguïté. Ce point m est la réprésentation sphérique de MT, et le lieu de m s'appelle Vindicatrice sphérique- ; les coordonnées de m sont évidemment a, ?, y- ^-^ tangente au point M' infiniment voisin sera représentée par le point m' de coordonnées a + c^a, 0 + rfg, y + ^t» de sorte qu'on a
ï On donne aussi parfois à ces formules le nom de Serret, ce géomètre les ayant obtenues, de son côté, peu de temps après Frenet.
2 L'indicatrice sphérique d'une courbe plane est un grand cercle, et récipro quement.
immt'diatement pour la courbure
1 __ arc mm
R "" "^ ■" arc M\r
Remarquons, en outre, que la droite inm' est à la limite perpendiculaire à om, et qu'elle est dans un plan parallèle à Oin et a om\ c'est-à-dire à deux tangentes infiniment voisines : mni est parallèle au plan osculateur et, par suite, à la normale principale. Ecrivons cela, en prenant pour sens de la normale celui de m vers m\
ch rfS r/y fh^
T ~ [x" "~ "^ ~ R ' d'où
r/x = X^, r/^=:ix-j^» (f^ = ^^' (30)
Ce sont les premières formules de Frenet.
Représentons maintenant sphi^riquement les droites polaires en menant o/î, on^ parallèles à ces droites; un mesurera Tangle de deux droites polaires, et l'on aura
__ nn
De plus le plan onn\ étant parallèle aux deux axes de courbure, est perpendiculaire aux deux plans osculateurs infiniment voisins et, par suite, à leur intersection, c'est-àdire (n** 414, Remarque), à la tangente, et comme nn' est perpendiculaire à la droite polaire, ou parallèle au plan osculateur, elle est encore parallèle à la normale principale. Les coordonnées de n étant ?, y;, r, et celles de n ; + f/;, y; -+- (Ir^, :; -h ^/?, le parallélisme dont il vient d'èlre question se traduira par les conditions
f = *3 = iLi=,,.rf,. (3,)
C'est le second groupe des formules de Frenet, et il en
résulte, pour lo signe de t, une délerminatioii précise que n'avait pas fournie la formule (29). Il reste à calculer r/)..
Or le trièdre mobile avant l'orientation convenue, on a
|x z= aï — vÇ ;.
V =3 p; — aiQ \
Nous en déduirons les différentielles; il suffit de faire 1<^ calcul pour la premières
Cette égalité devient, h cause des formules (30) et (31),
(I\ r:= T,v ^ + fiLxds — p^'^ds — îp- fT
ou
d\ = '^'^ ^^ rf5 -j- (vu. — pv) Trf5.
Mais on sait que dans le déterminant a p Y
ut.
chaque élément est égal au mineur correspondant, pris avec son signe; c'est ainsi, par exemple, qu'ont été écrites les équations (32). On aura donc aussi
a =- itX
VT^i
Ç = Pv — YP-'
(32 bis)
ce qui permet de simplifier la formule (33) et d'écrire définitivement (en écrivant aussi par analogie les valeurs de d\i. et de rfv)
dX
dlL
ds ds
Ces équations avec (30) et (31) constituent le groupe complet des fonmiles de Frenet.
ititt. Ces formules offrent certaines commodités pour le calcul. Proposons-nous, par exemple, de calculer les cosinus directeurs de la normale principale en fonction de
Tare. Comme a = nr» ?=-/' ï = t:' ^^^ formules (30) donnent sous la forme la pins simple
et les formules de changements de variables permettraient d'exprimer a, ;jl, v, en fonction d'une variable quelconque. Mais le calcul que nous venons de faire a une plus haute portée; en effet, nous avons obtenu, en fonction des quantités a, g, Y, X, [;., V, et des courbures, les dérivées premières et secondes des coordonnées d'un point courant de (C), par rapport a Tare x. En prenant, de nouveau, les dérivées par rapport à v, dans les équations précédentes, on introduira les dérivées troisièmes des coordonnées, et, dans les premiers membres, les dérivées de X, jji, v; mais ces dernières s'expriment (3i) en fonction des cosinus a, g, y, ;, y;, ;, et Ton pourra de même obtenir successivement toutes les dérivées des coordonnées en fonction des cosinus directeurs du triédre mobile. Par suite, dès qu'on connaîtra la courbure et la torsion en fonction de Tare
et qu'on aura de plus, pour une valeur Vq donnée de 5, les valeurs initiales des coordonnées et des cosinus, .r^„ y^,, Zç,^ ao> ?o» 7oi H^ H^ ^•'o (d'<^ù ;o. %» ïo)» 'a courbe gauche sera déterminée, et les coordonnées d'un point quelconque s'obtiendront, sans intégration, par des séries de Taylor, telles que
. = ., + is - s,! (-)^ + L—ii- ^j + ...
Si on suppose, par exemple, les axes fixes coïncidant à Torigine des arcs avec le trièdre mobile^ on aura
A = 0^ jl=l, v=0,
et les développements en séries dont il vient d'être question donneront pour les premiers termes des coordonnées d'un point de la courbe infiniment voisin de Torigine M des coordonnées du trièdre mobile
Dans ces formules, /* et t sont les valeurs de la courbure et de la torsion au point M; // la valeur au même point de la dérivée de la courbure par rapport h Tare. La dernière de ces formules constitue une nouvelle démonstration de celle donnée au n° il6.
Ces trois formules ont été données, dès 1869, par M. Roiichr», dans une note placée à la suite du Traite de Géométrie descriptive, de Th. Olivier; nous empruntons à la même note les valeurs principales d'un certain nombre de quantités infiniment petites, qu'il peut être utile de connaître, et dont rétablissement n'est plus alors qu'un exercice de géométrie analytique.
IjU distance d'un point à la tangente au point infiniment voisin a pour valeur principale
0 = i kds^.
Uangle du plan osculateur en un point avec la tangente
au point infiainient voisin a pour valeur principale
I I AT I ds\
La plus courte distance des tangentes en deux points infiniment voisins a pour valeur principale
V angle de la tangente en un point et de la trace, sur le plan osculateur en ce points du plan osculateur au point infiniment voisin a pour valeur principale
\iid^;
c'est la moitié de langle de contingence.
L'angle et la plus courte distance de deux normales principales infiniment voisines ont pour valeurs principales respectivement
fis >Jk^ + t2, -zds
Le plan oscillateur en un point M fait avec le plan mené parla tangente en ce point M et par un point M' infiniment voisin un angle dont la valeur principale est
\.ds,
c'est-à-dire le tiers de l'angle de torsion.
La perpendiculaire com?nune aux tangentes en deux points infiniment voi^sins, M et M', fait avec la binormale un angle dont la valeur principale est
424 CHAPITRE XVIIl
Considéi*ations gcoinéti*iques
419. Par un point 0, menons des parallèles (>«, Om\ Oc, aux tangentes MT, MT', et à la corde MM', d'une courbe gauche (G). Si le point M est ordinaire, les angles de MT et de MT' avec MM' sont évidemment de môme nature; en d'autres termes, dans le trièdre Omm'c, les deux faces
cO/n, cOm\ sont des infiniment petits de même ordre; elles
sont donc aussi du môme ordre que mOm', qui est Tangle de contingence de (G) ; elles sont du premier ordre par rapport à Tare MM'. 11 en résulte que la démonstration donnée n" 338, pour les courbes planes, subsiste, et que, sauf aux points singuliers^ la distance d'un point d'une courbe à la tangente au point infiniinent voisin est du second ordre par rapport à F arc qui unit les deux points.
Par la tangente en M, menons un plan P quelconque, et soit M'A la perpendiculaire abaissée de M' sur ce plan, M'B la perpeîidiculaire à la tangente MT. L'angle ABM' n'est pas infiniment petit, et, comme dans le triangle ABM', on a
M'A = M'Bsin;\BM',
la distance du point M' au plan P est du deuxième ordre. Il y a exception si le plan P fait avec le plan MBM' un angle infiniment petit, c'est-à-dire si le plan P occupe la position limite du plan MBM' (plan osculateur). La distance du point M' au plan osculateur est donc d'ordre supérieur au second.
Il résulte de la définition de la torsion et de considérations analogues à celles développées au commencement
de ce paragraphe que l'angle ABM' est, en général, du premier ordre, et, par suite, que la distance d'un point au plan osculateur est du troisième ordre en général. Le cercle osculateur, limite d'un cercle qui touche MT
en M et qui passe en M', est dans le plan osculateur. Soit dans le plan de ce dernier cercle, M'C perpendiculaire sur le diamètre qui passe en M, et Rj le rayon du cercle, on a
