MM'^ =: MC X 2R

d'où, pour valeur principale de la distance de M' h la tangente en M, ^

C'est la formule donnée sans démonstration au n° 418. Sphère osculatrice

420. Considérons une sphère quelconque passant par le cercle osculateur en M. La dislance M'H du point M' à la circonférence osculatrice est du troisième ordre; par conséquent la distance de M' k la sphère qui est inférieure, mais, en général, comparable à M'H, est aussi du troisième ordre. 11 y a exception pour une sphère limite de celle qui passe en M' : c'est la sphère osculatrice.

Etablissons son existence par le calcul, et calculons son rayon. Soit

(X - ^o)' + (Y - .Vo)^ + (Z - ^o)' - R^ = o

l'équation de cette sphère; d'après la théorie de l'osculation, on doit remplacer X, Y, Z, par les coordonnées .r, y, z, du point M, puis différentier trois fois. Nous prendrons l'arc s comme variable indépendante ; on aura

(X - x,)^ + {t/~ y,)^ + (^ - z,)^ - R? = o, (35) puis

OU, en employant les notations du n** 417,

{x — x,,) a + (y — I/o) P + ^3' — -s'o) r = o. (36) Dîfférentions de nouveau ; nous obtenons l'équation

que les formules de Frenet (30) permettent d'écrire

{x — ojo) X -f [y — j/o) if.+ {z — ^q) V + R = o. (37) Différentious une troisième fois; il vient

(•^ ~ ^o) T^ + Cv - yo) i: + ^^- ^o) ,i: + ^ = û'

parce que

*X + pfX + yv := o.

Remplaçons encore les dérivées de X, [jl, v par leurs valeurs (3i). Nous obtenons enfin Téqualion

ou plus simplement à cause de (36)

Les équations (36), (37), (^38) déterminent x^, y^, z^ et (35) donne R^ ; mais il suffit d'élever au carré les. trois premières équations, après avoir isolé les quantités connues dans les seconds membres et de les ajouter membre à membre, pour obtenir, en vertu des relations bien connues qui lient les cosinus directeurs d'un trièdre trirectangle.

Il est à remarquer <jiie les équations (36) et (37) coïirridiML aux notations près, avec la deuxième et avec la tmisirrruéquation (26). Le centre de la sphère osculatrice se Injuv*' donc sur la droite polaire, et cette sphère contieni Ir << rdr osculaleur.

421. La formule précédente montre que le rayon d^* hi sphère osculatrice ne peut être égal au rayon de c-uirliii'i^ que si

1 /V/RV

L'annulalion du facteur - n'offre pas d'intérêt; v\U- uv

donne comme courbes réelles que des droites. Au coiiti;iirLS les courbes définies par Téquation

r/K méritent d'être étudi<'es. Dans ce cas

le centre de la sphère osculatrice coïncide avec le et ntii Av courbure, et c'est le seul cas où la coïncidence dr> tliiiv centres soit possible.

Cherchons, dans ce cas, le lieu du centre de courbui i- Ku différentiant totalement les équations (36) et (37) où*/,j, Vn* -o sont maintenant considérées aussi comme des fonction- h* >, on trouve, (fans tous les cas^

Le centre de la sphère osculatrice décrit donc fniipnirune courbe dont la tangente, perpendiculaire k la la*i|^i'jitL'

MT de (C), et à sa normale principale, n'est aufre que la droite polaire. Donc, dans les courbes à courbure constante, le lieu du centre de courbure est une courbe (Cq) tangente à toutes les droites polaires, et Ton peut déjà remarquer en passant que, contrairement à ce qui se passe dans les courbes planes, le lieu des contres de courbure de (C) n'est pas tangent ici aux normales principales. Le plan osculateur de iQ/-, mené par une droite polaire parallèlement à la droite polaire infiniment voisine, se trouve perpendiculaire à deux plans osculateurs successifs de (G) ou à leur intersection, c'est-àdire à la tangente MT. Gomme, d'autre part, le plan normal de (Gy) n'est autre que le plan osculateur de (G), la droite polaire de (Q,) se confond avec la tangente de (G). Il y a réciprocité complète entre les deux courbes.

Application des théories précédentes à l'hélice

42)2. On sait que Thélice est une courbe tracée sur un cylindre et telle que l'ordonnée d'un point est proportionnelle à son abscisse curviligne. (On appelle ordonnée d'un point la portion de génératrice du cylindre comprise entre le point et le plan d'une section droite fixé arbitrairement, abscisse curviligne. Tare do cette section droite, compté depuis une origine donnée jusqu'au pied de l'ordonnée. ) 11 résulte immédiatement de la définition que la tangente à l'hélice fait un angle constant avec les génératrices du cylindre. Nous allons, dans ce numéro, retrouver cette propriété et quelques autres, en nous bornant au cas du cylindre de révolution; les équations de Thélice sont alors

jc z= a cos 9, ^ = <ï sino, z = ma^.

On en tire

dx = — a sin ^dv^ dy =z a co^od-d^ dz =. madz,^