COS

COURBES fiAUCHES. — SURFACES, ETC, 429

en posant

m. = tang 0,

Comme -j =^m . cosO = sinO, la tangente à F hélice fait

un angle constant avec taxe du cylindre.

D'ailleurs les cosinus directeurs de la tangente auront pour valeurs

a = — sin^cosG, ft = cos<p cosô, y = S"*^-

Les quantités A, B, G (12), qui figurent si fréquemment dans la théorie des courbes gauches, se calculent aisément

A = ma^ sin<p, B = — yna'^ cos(p, C = a^

On en tire

La courbure (13) et le rayon de courbure auront donc pour expression

le rat/on de courbure de f hélice est constant.

Les cosinus directeurs de la droite polaire peuvent s'écrire immédiatement

$ ::= sin cp sin 0, tj = — sin 0 ces ^, C = cos ô.

Cette droite est perpendiculaire au rayon du cylindre dont les cosinus directeurs sont

coscp, sin^, o.

cosô

fl3

cos^ a

cos^Q a

Donc le plan osculateur en un point de Thélice, qui est perpendiculaire à la droite polaire, contient le rayon du cylindre, ou encore est perpendiculaire au plan tangent du cylindre; la normale principale de l'hélice se confond avec le rayon du cylindre.

Nous verrons plus loin qu'on appelle lignes fféodesiynes dune surface les courbes dont le plan osculateur contient la normale à la surface; Thélice est donc une ligne géodésique du cylindre. Si l'on admet, ce que nous démontrerons,' que, sous certaines réserves, une ligne géodésique est le plus court chemin qu'on puisse tracer sur la surface, entre deux points de cette ligne, la propriété, qui vient d'être énoncée, était évidente puisque Thélice, dans le développement du cylindre, devient une^ ligne droite.

Cherchons enfin la torsion; le déterminant (25), qui figure au numérateur, a pour expression

D = Aœ"' + B.y' ' + iW" = ma^.

Donc

m cos^ 0 sin^ cos©

La torsion est constante.

423. L'hélice est la seule courbe qui ait sa courbure et sa torsion constantes. Nous allons même démontrer que les seules courbes, pour lesquelles le rapport de la courbure à la torsion est constant, sont des hélices tracées sur un cylindre à base quelconque.

Les formules de Frenet (30) et (31) donnent

Cil" d-fi~ di:~ T '" ^*

a étant une constante. On en déduit

OL = al -{- A I

p = avi+B , (40)

A, B, C, étant de nouvelles constantes. Multiplions ces irriis* équations respectivement par a, g, y^ ^^ tenons complo dos relations connues

»^+ ?^ + ï*= i a5 + p-^ + YÎ = G

Nous obtenons Téquation

Aa + Bp + CY = i, («1

qui exprime que la tangente à la courbe fait un angle constant avec la droite

or ^ £

Le théorème est donc démontré; mais nous allons prouvi^r en outre que, si la courbure et la torsion sont constaiilcsi, le cylindre, sur lequel est tracée Thélice, est à base ci rrnlaire.

Nous prendrons la direction des génératrices du cyliiulrn pour axe des z{k = o^ B = o). L'équation (41) devient

et la troisième équation (40) donne, pour ;, une valeur constante, qu'il est inutile de calculer. La dernière équation -jm donne, puisque r/v = o,

c'est-à-dire que la normale principale, pour toute hélice, est perpendiculaire aux génératrices du cylindre. La jtn'* mière formule (82 fns) devient alors

a = [xî,

et de môme on a

p = - xç.

Mats les formules iV» donnent encore

^ ^=: il -; — u. = n — î

ih ' ffx

de sorte que les êqualions prêcé«lenles peuvent s'écrire

On en J^'-vluit >an> jK-iiu'

,:iî s$ = o. x»-fS»=i«», (43i

Ht ^l S étant lies c»>n>tante>. La dernière étjaatioQ donne

et ea eaiibiuaut ;tvei' rê^^aati^'n io

Mtt t*^ut évi.Jeaiciieat ch:isîr le si^e en extrayant les imctués ciirTve> **t ^^.>ser

eu déviu

jr ^

^ /tcx^ >!::

i = -f- ^= « >-rî

ir;

V = — «TiR , Cv.:fcS — »r^ 1" >♦-

«ne ïlf 1 ce trjL^ee sar le cyLLa'!-^ de ^^vt>l.Ifei>n. qui a pour

équation

{x - x,)^ + (y - y,f = mmK^. '

^^124. Les raisonnements faits dans le paragraphe précédent ont supposé essentiellement les constantes réelles; c'est sous cette réserve que Téquation (41) a pu être considérée comme équivalente à la suivante

Aa + B^ + Cy i

VA^ -I- B2 + C2 v'A* + B* + C2

dont nous avons donné Tinterprétation géométrique. Examinons le cas où Ton aurait

et supposons toujours la courbure ot la torsion constantes. Les formules (40) donnent alors

(a - a\)^ -t- (p - a7i)2 + (j -- «Ç)' = « OU

Prenons

d'où

a = il + A,

et, en portant la valeur de ; dans la première équation (34),

Mais

as (Is^ L'équation qui définit a est donc

434 CHAPITRE XVHI

Mais, par définition (n** 423), on a

a OU en tenant compte de la valeur actuelle de a

Rt = — t.

L'équation en a est donc simplement

Elle donne pour a un polynôme du second degré en ^, et pour X un polynôme du troisième degré. Il en serait de même pour y et pour ;;, et la courbe est une citbique gauche imaginaire (M. Lyon, Thèse sur les courbes à torsion constante).

4r25. Nous avons envisagé plus haut les courbes à courbure constante. Les courbes à torsion constante ont fait, depuis quelques années, Tobjet d'intéressants travaux dont les auteurs se sont efforcés d'obtenir des courbes algébriques*.

Enveloppes des courbes

426. Lorsque les équations d'une courbe renferment un paramètre variable, en faisant varier ce paramètre, on obtient une famille de courbes^ et l'élimination de ce paramètre conduit à l'équation d'une surface contenant toutes ces courbes. // n existe pas en général de courbe tangente à tontes les courbes tCune mvme famille ; en d'autres termes,

' Nous venons de parler de la thèse de M. Lyon. M. Fourhé. par une élégante méthode, a donné de nombreuses solutions, en général imaginaires {Annales de r Ecole Normale, 1890, p. 33o). M. Fabry a déterminé {Annales de l'Ecole Sormale, 1892, p. 177) un certain nombre de courbes algébriques réelles à torsion constante. On peut encore consulter un mémoire de M. Koenigs dans les Annales de la Facullé de Toulouse (1887), et une note de M. E. Cosserat (C. W., 1895, p. 1232). Mais la question est loin d'être élucidée, même en se bornant aux courbes algébriques.

une famille de courbes n'a pas d'enveloppe. C'est ce qui a lieu, par exemple, pour les génératrices d'un hyperboloïde. Le contraire peut cependant se produire : ainsi les droites polaires d'une courbe gauche sont tangentes au lieu des centres des sphères osculatrices.

427. Nous chercherons d abord à quelle condition une famille de droites a une enveloppe (la surface réglée, lieu de ces droites, est dite alors surface développable).

Soient

les équations d'une droite. Les quantités x^^, y^, z^^, a, g, y, dépendent d'un paramètre t et, pour une valeur de t donnée, à chaque valeur de p correspondra un point de x, y, z de la droite par les équations précédentes. Si Ton considère p comme une fonction de /, il y aura, sur chaque droite, un point déterminé dont le lieu s'obtiendra en éliminant t entre les équations (44) ; ce sera une courbe. Dans le cas où les droites ont une enveloppa, une des courbes qui viennent d'être définies sera tangente à toutes les droites; la tangente en un point x, y, z de cette enveloppe se confondra avec la droite donnée, et les cosinus directeurs de cette tangente qui sont proportionnels à dx^ dy, dz, devront vérifier la relation

dx d]i dz

Or les équations (4t) donnent x, y, 2, et par suite

dx = dœ^ + pda. + *c?p, dy = dy^ + pdp + p(fç., dz = dzQ 4" pdy 4" Y^P-

Les égalités précédentes peuvent s'écrire, à cause de (45),

dx^ + prfa -f- (^? — ^dl) a = O \ dyo+9dp+{d?-lrn)^=:o ; (46)

dz^ + p^Y + (^? '^^0 Y = o /

et elles n'admettent de solutions en p et rfp — \dt que si

Cette condition, nécessaire, est suffisante en gémirai; car on peut alors déterminer p et rfp — \dt. Nous laisserons au lecteur le soin de faire la discussion complète des équations linéaires (46).

Si les [équations de la droite sont sous la forme plus maniable

X =^ dZ -\- Xq

y = ^^ + Vo

la condition (47) devient

dx^d^ — doidy^ = o, (49)

et cette condition aurait pu être obtenue directement, en exprimant que la droite (48) a un point commun (aux infiniment petits du second ordre près) avec la droite infiniment voisine. En effet la difi'érentiation des équations (48) donne

zdi. -f- dxQ = o, zd^ + d^Q = o,

et la condition pour que ces équations soient compatibles avec les équations (48) s'obtient immédiatement en éliminant :; entre les deux dernières. On retrouve ainsi l'équation (49).

428. Vérifions, par exemple, que les droites polaires ont une enveloppe. Pour cela, nous devons d'abord tirer des équations (27) les coordonnées du centre de courbure que je désignerai par ar^j, ^q, 2q au lieu des lettres a, g, y ; on trouve, en prenant s comme variable indépendante,

et les équations de la droite polaire sont

^ — a?o y — yn iJZLlù.

C'est la forme (44); la condition (47) peut donc être employée

dx^.

dA,

dy^.

dB,

dz„,

dC,

En développant ce déterminant et se reportant aux for* mules (28) et suivantes, on trouve l'équation

dx dojg d^ dy^ , dz dzj^

ds ds ds ds ds ds '

qui à cause de (50) s'écrit 2j\ds) '^2jdsds^A^+B^+C^^ds\^+B^+C^2jdsds^ ^''' ^ ^

Mais

On en déduit, en différentiant,

2dœ dPœ ds ds^ "■ ^'

comme on Ta déjà vu (16). L'égalité (51) est donc une identité.

4S9. Au contraire, les no?*mal€S principales dune courhf^ gauche n'ont pas d'enveloppe. En effet les équations de la

n«>ni]al<> ëtant

CB.IPITRE Wni

X — -rV-yZ-

la Coud tt ion 47 s'écrit

On a Jonc

En ajoutant à la 5ecoûde colonne la première multipliée par — ? changeant Ivs signes et mettant i en facteur, on trouve

Mais le di^ terminant a pour valeur ±: 1 ; la condition pour que les normales principales aient une enveloppe est

c'est-à-dire que la courbe doit être plane.

430. On traitera le problème général d'une manière analogue. Définissons par les équations

les courbes d'une famille. Si v reste constant, en faisant varier u^ on aura une courbe particulière (C) de la familiis et la tangente en un point de cette courbe aura gour équalioiis

Considérons maintenant u comme une fonction de r\ s\ on se donne v^ on déterminera simultanément une cour ho et un point de cette courbe, et le lieu de ce point s'obticndrii en éliminant v, ce qui donnera une courbe (C). S'il exisl^a une courbe (C) tangente à toutes les courbes (C), on devra pouvoir déterminer n en fonction de v, de manière qui' la tangente à (C) se confonde avec la tangente à (C), dont les équations sont

du (Iv i^v ^u dv <>v

^ ^ i ii

Pour que ce soit possible, il faut et il suffit que

Dw Dt?

-7- a disparu. Le problème n'est donc pas possible en gémirai, puisque les équations (52), jointes aux équations dv la courbe, déterminent un certain nombre de points, et non nnc courbe. Les équations (52) expriment les conditions de possibilité du problème.

En posant

/ (m, v) = au + a7o, ? (w, v) = pw + yoi •Kw, t?) = YM + ir„,

et faisant Thypothèse que a, 3» ^^ ^o» ^o» ^o s^^* ^^^ fonctions de V seulement, on obtient les équations d'une famille de droites ; les équations (52) deviennent

au + a?i f/u + yi &u + ^i'

et il suffit d'éliminer u pour retrouver la condition (47).

Il est évident qu'on pourrait aussi, dans le cas général, éliminer w tant dans les données qu'entre les conditions (52) ; nous rencontrerons plus loin ce procédé de calcul. Nous n'y insisterons donc pas pour le moment.

431. Les mômes résultats peuvent être retrouvés par des considérations tout à fait différentes. On sait, en efiFet, que la plus courte distance $ de deux droites dont les équations sont

. y-yi £.

a pour valeur, au signe près,

Xf x^

Or, si les deux droites sont deux positions successives des

droites d'une même famille, on aura

y^ = .Vo + ^^0 = —

Yi = ï + ^Y = Y + ^^Y +2 ^^2Y + g ^3Y +

et la valeur principale de 5 sera

dXf,

^'yo

rf^o

rfa

rfp

rZï

Cette expression est du premier ordre. Pour qii elle soit d'ordre supérieur au premier, il faut que

6te„

fiy»

.dz

rfp

C'est la condition (47). Ainsi la plies courte dislance l rh deux droites infiniment voisines est, en général, du premier ordre : pour quelle soit (Tordre supérieur, il est nécessaire et suffisant que les droites de la famille soient les tangentes d'une même courbe. Nous allons montrer que, dans ce cas, comme nous Tavons énoncé, n° 418, 8 est, en générai, du troisième ordre. Les termes du second ordre sont

ll^jd^d^y^ + dy^d^^ — d^d'z,, — dz,,d^^) ^ V^S (ar/p — prfa)2 '

le numérateur, étant la dérivée du déterminant qui précède, est nul, ce qui démontre la proposition.

432. M. Darboux a étendu le théorème précï^dent, qui est dû à Bouquet, au cas de deux courbes infini meut voisines d'une môme famille; leur plus courte distance est du

premier ordre, à moins qu'elles n'aient une enveloppe, auquel cas cette distance est du troisième ordre au moins.

Enveloppes de .surfaces à un paramétre

4:i:i. Lorsque Téquation d'une surface (S) renferme un paramètre variable X, en faisant varier ce paramètre, on obtient une famille de surfaces. Chaque surface coupe la surface infiniment voisine, suivant une courbe qu'on appelle la caractéristique de la première surface; nous démontrerons que le lieu géométrique de ces caractéristiques est une surface (2), tangente à toutes les surfaces (S), et que les caractéristiques ont elles-mêmes une enveloppe. La surface (2) est dite Xenveloppe des surfaces (S), qui sont les enveloppées; Tenveloppe des caractéristiques s'appelle Varête de rebroussement,