Soit

flx, y, ^, X) = o (53)

Téquation d'une surface (S).

Une surface voisine aura pour équation

f[x, y, z, A -f AX) = o

et son intersection avec (S) sera déterminée par Téquation (53) et par

/ [x, y, 3-, X + AX) -- f(x, y, z)

Kx ^ = ^-

En faisant tendre AX vers zéro, on obtient les équations de la caractéristique

f[x, y,z,k) = o \ m^,y.zA)^ • (54]

COURBES GAUCHES. — SURFACES, ETC. 4i3

Le lieu des caractéristiques s'obtiendra en éliminant X entre ces deux équations ; nous écrirons le résultat de Télimination

en indiquant par la notation X que X a été remplacé par sa valeur tirée de la seconde équation (54).

Le plan tangent à Tenveloppée, définie par la valeur X, en un point (a^o, ^q, Sq) commun avec l'enveloppe, a pour équation

(---o)^^^^^«i^+(y-y.)|-fc (---0)3^ = 0.(56)

Le plan tangent à l'enveloppe au même point a pour équation

U j^\ Prixç,, v«, z^, I«) , y(a^o, y», ;»«, Xq) dx 1 Or, par hypothèse,

l'équation (57) se réduit donc à

et, comme Xq est égal à X (on le démontrerait exactement comme au n** 354), le plan représenté par Téquation précédente se confond avec le plan tangent à l'enveloppée.

435. Démontrons maintenant Texistcnce de Tarôte de rebroussement. La caractéristique est définie par les équa-

lions (54), que nous reproduisons

S'il existe sur cette courbe un point qui se déplace tangentiellement à la courbe, il sera possible de déterminer s en fonction de X, de manière que les différentielles prises dans cette dernière hypothèse coïncident avec celles prises en supposant a constant.

Les équations qui donnent ces différentielles s'obtiennent, dans les deux cas, par la différentiation des équations (54), ce qui donne :

1° Si X est constant,

^x ^ ^y ^^ cV .

?V c^V DV ' ^ ^

2* Si X est variable.

La première équation (59) coïncide avec la première équation (58), parce que, par hypothèse,

Il est donc nécessaire que la deuxième équation (59) coïncide avec la deuxième équation (58), ce qui exige

Les trois équations