DX

permettent d'exprimer x^ y, z en fonction de X, et par conséquent définissent une courbe tangente à toutes les caractéristiques. C'est larête de rebroussement.

436. Les équations (60) sont susceptibles d'une autre interprétation.

L'équation

f[x, y, ^, X -f AX) =r o

d'une surface infiniment voisine de la surface (S) peut s'écrire, si la formule de Taylor est applicable,

nx, y, ^, X) + AX 1+ ^' g + MAX3 = o.

Cette surface coupe la caractéristique en des points qui, à la limite, se trouvent aussi sur la surface

Les points caractéristiques de cette caractéristique sont donc les points communs à celte caractéristique et à la surface infiniment voisine.

437. Théorème. — Varéte de rebroussement a^ avec chaque enveloppée^ un contact du deuxième ordre.

Soit M (x, y, z) un point de l'arête de rebroussement sur l'enveloppée, qui a pour équation

Soit Q (x^, yj, ^i) un point de l'arôte de rebrousseraent infiniment voisin de M. Il suffit (n° 407, 2°) de démontrer que /(jr,,y,, z^^ \q) est infiniment petit du troisième ordre par rapport à MQ. Or

MQ = y/ia^'-œ.Y + (y ~ y^)'' + (* - ^,i^

et comme x^ y, z sont des fonctions de X, x — ^ii Jf — Vi» z — -, sont, en gt^néral, du premier ordre par rapport à AX ; il en est de même de MQ^

Il ne reste donc plus à démontrer que /(x,, y,, Sj, />^) est du troisième ordre par rapport à AX. Cela résulte de ce que Ton a identiquement, en posant \^ = X, -f- AX,

et de ce que, dans cette identité, les trois premiers termes sont nuis en vertu dels équations (60).

4;i8. Théorèmk. — IJanUe de rehroussement a, avec chaque caractéristique, un contact du premier ordre. Soient