TT

les équations d'une caractéristique; j-^, ^q, Sq, les coordonnées

(i) Posons ç (a-, y, s, X) == . M W' "^ 7. Lç point (a,, yi, Zi) appartenant à

Taréte de rehroussement, on aura, en appelant X] la valeur du paramètre infiniment Yoi.une de Xo :

o — 9(a:i.y,, Zj, X^) =9(2" -|- a:, —a;, ..., Xq + X, — Xq)

= ?(^, y, z. h) + (^i - ^) ^ + .■• H (Xi - ).o) sf + ï^-

Le premier terme est nul par hypothèse (61;; Téquation précédente définit Xj — Xq en fonction des binômes ^j — J^i y\ — y» «i — 2 ou de MQ.

Si -r^ =r —-L est différent de zéro, Xo — Xi = AX est d'ordre égal ou supérieur

à celui de MQ.

d'un point de cette caractéristique situé sur Tarète de rebroiissement; x^, y^ z^ un point de Tarète de rebroussera en t indniment voisin du premier, c'est-à-dire tel que

X, étant égal à Xq — AX.

n suffit évidemment de démontrer que ^^ ^ ^' (^^ *"!' ^^^J

est infiniment petit du second ordre par rapport à AX; or on a identiquement

MAa

et les deux pn^niers termps du second membre sont nuls, parce que le point ./-j, y^, :îi, X, satisfait aux équations (02). Le théorème est donc démontré.

489. Il est clair que Tenveloppe des caractéristiques |M^ut, comme toutes les enveloppes, se ri^duire à un système de points. Considérons, par exemple, un tore, enveloppe d'une famille de sphères égales dont les centres parcourent une circonférence donnée. Les caractéristiques sont Ici les tirconférences méridiennes, et l'arôte de rebroussement se réduit aux deux points où toutes ces circonférences coupent Taxe du tore.

Surfaces développables

440. On appelle surfaces développables les surfaces enveloppes de plans. Dans ce cas, les caractéristiques sont do?i lignes droites, et Tarôte de rebroussement est une courbe dont toutes ces caractéristiques sont les tangentes, ce qui s'accorde avec la définition déjà donnée n° 427.

448 CHAPITRE XVin

Nous avons déjà remarqué, en étudiant les courbes gauches, que la plus courte distance .de deux tangentes était du troisième ordre par rapport à Tare de courbe qui unit leurs points de contact, et qu'une tangente pouvait être considérée comme intersection de deux plans osculateurs infiniment voisins. Il se trouve de nouveau démontré ici, comme application des deux théorèmes précédents : 1° que la distance d'un point de la courbe gauche au plan osculateur en un point infiniment voisin est du troisième ordre par rapport à Tare de courbe qui unit les deux points ; 2° que la distance d'un point de la courbe à la tangente au point infiniment voisin est du deuxième ordre.

Dans les applications, le calcul se présentera souvent sous la forme suivante. Soit

z = px + qi/+ r,

l'équation d un plan; on doit d abord supposer que les trois coefficients sont fonctions d'un même paramètre, du premier, />, par exemple. On a donc

et l'équation du plan s'écrit alors

z=px+y<^{p)'\-'^{p), (63)

Celles de la caractéristique sont

z = px + yf (p) + ^ ip) l o = x + yf (p) + f (p) j

et en éliminant p entre ces équations, on aurait l'équation de la développable.

Enfin les équations de l'arête de rebroussement sont

z =zpx + y<^ (p) + ^ (p) \

0= X +y^' {p) + f ip) . (65)

m. Les surfaces développables satisfont à une équation aux dérivées partielles qui les caractérise. Considérons en elîet z comme fonction des deux variables x et y, et posons

L'équation du plan tangent à une surface en un point r, y, 5, étant

comme p et q doivent être fonctions d'un môme paramètre si la surface est développable, on aura en premier lieu

Prenons les dérivées des deux membres de cette érpiiition, successivement par rapport à x et par rapport à //; tums aurons

t = HO (p -,

d'où, en éliminant 9'(/>),

rt — 5^ = 0. (66)

Réciproquement cette dernière é(|uation peut s'écrire

^x ^1/ ^.r Dy '

le déterminant fonctionnel de p et de ç est donc nul, et [)ar suite

Le terme constant de l'équation du plan tangent est

px-{^qi/ -^ z,

et le déterminant de ce terme et de p, c'est-à-dire

{ri — 5*) y, est aussi nul. Donc

px-\- qy — z^^]^ [p). (68)

Cela posé, cherchons de quelle nature est, sur la surface, la courbe le long de laquelle p conserve une valeur constante. L'identité (68) diflFérentiée nous donne la nouvelle identité

œdp + ydq = \' (p) dp,

OU, en tenant compte de (67),

^ + yf(p) = 'K(rt. '

Les points, pour lesquels p est constant, vérifieront par suite les deux identités

px + y<^ (p) — z = •} {p), ^ + !/9'{p) =f(p).

Leur lieu géométrique sera donc une ligne droite, et Ton retrouve bien les équations (64).

4412. On sait qu'on appelle surface réglée toute surface engendrée par le mouvement d'une droite dont les équations renferment un paramètre mobile. Ainsi les équations (44) définissent une surface réglée dont l'équation s'obtiendra par l'élimination du paramètre / entre les deux équations (44). L'équation (47) exprime la condition pour que cette surface réglée soit développable. Nous allons retrouver cette condition, ou, ce qui revient au môme, la condition (49), par une autre considération.

Soient

X — aZ — 37^ = 0,

Y - pZ - yo = 0,

les équations de la droite dont les coefficients dépendent du paramètre /. Le plan tangent en un point a:, y, z, de cette

COURBES GAUCHES. — SURFACES, ETC. i5i

droite sera de la forme

X — aZ — a^o 4- ^ (y — PZ — Vq) = Ot

et, pour détermiaer X, il suffit d'exprimer qu'il passe par le point a: + ^x, y-\-dij, z + dz^ pris sur la génératiice infiniment voisine de la première. On trouve ainsi, en àH\gnant toujours les dérivées par des lettres accentuées,

X — gZ — .^'ft ^'s + ^0

et Ton voit que cette équation sera indépendante de s, c\^stà-dire que le plan tangent sera le môme tout le long iIl^ b génératrice, si

c'est bien la condition (49).

Lorsque cette condition n'est pas remplie, la surface réglée n'est pas développable; elle est dite gauche, Dn a alors par hypothèse

Étudions dans ce cas le mouvement du plan tangeal, lorsque le point de contact parcourt la génératrice. Supposons pour cela que, pour la valeur du paramètre / considérée, la génératrice coïncide avec Os

a = o, p = o, a?y = o, yo = o ;

supposolis, de plus, que le plan zoy coïncide avec le [ïlari tangent à l'infini, dont l'équation générale serait

X — aZ — Xq a[

Y-ftZ-.v«-f/' il faut que

L'équation du plan tangent est maintenant

452 CHAPITRE XVIIl

et il suffit (Je porter sur oz rorigine au point qui a pour z

u' la valeur — ^^ finie par hypothèse, pour obtenir la forme

définitive

Pour z = o, on a Y = o. Supposons les axes rectangulaires : le plan zoxy tangent à l'origine, est le plan perpendiculaire au plan tangent à Tinfini; on Tappelle le plan central, et son point de contact est dit le point central de la génératrice. Dans l'équation précédente, le premier membre représente la tangente de l'angle que fait le plan tangent avec le plan central ; elle est proportionnelle à 2, c'est-àdire à la dislance du point central au point de contact.

Lorsque s varie do — 00 à + 00, le 'plan tangent tourne autour de oz comme charnière, toujours dans le même sens.

443. On vérifie sans peine que la génératrice infiniment voisine de oz est dans un plan parallèle à yoz ; la perpendiculaire commune à ces deux génératrices se confond donc avec ox^ et l'on voit que le point central est la limite du pied de la perpendiculaire commune à la génératrice donnée et à la génératrice infiniment voisine. Le plan central est la limite du plan mené par la génératrice et par la perpendiculaire commune. Le lieu des points centraux s'appelle /ly/i^ de striction de la surface; on peut observer que ce n'est pas, en général, une trajectoire orthogonale des génératrices.

Figurons la génératrice OG, la génératrice infiniment voisine O'G', et soit 00' leur perpendiculaire commune, OH la parallèle à O'G' menée par 0. Pour avoir le plan tangent en un point M de OG, on peut couper par un plan perpendiculaire à O'G' : il coupe OG' en M', OH en P. L'angle du plan tangent avec le plan central 0 OP est mesuré, aux infiniment petits du second

ordre près, par MM'P, et l'on a

rn^CTî^ PM sin i x^.- 1 ^^^. tang MM P = 77777 = — r X OM = -r • OM, ® PM 00 k

en appelant / Tangle des deux génératrices. Le théorème' précédent est donc de nouveau démontré, et Ton voit ^d' plus que la plus courte distance des deux génératrices ri leur angle sont des infiniment petits de même ordre. Leur rapport k s'appelle le paramhtre de distribution. Ce païamètre est constamment infini dans les cylindres, et cont^tamment nul dans les autres surfaces développables.

Enveloppes de surfaces à deux paranièii*es

444. Lorsque Téquation d'une surface renferme deux paramètres

f{jc, y, z, a, b] = o, (69 1

on peut encore trouver une surface S, à laquelle ellr demeure tangente, quelles que soient les valeurs prises par a et ô, et qu'on appellera encore Venveloppe de la surfut;*^ variable. Pour y arriver, supposons d'abord

on aura alors une caractéristique définie par l'équation (Ul^ et par

Quelle que soit la fonction ^(a), les courbes définies par (69) et (70) auront un ou plusieurs points communs définie par les équations

Le lieu de ces points s'obtiendra en éliminant a, A, entre cps trois étjuations. On obtiendra une surface S, qu'on peut supposer représentée par la première équation (71), à condition d'y remplacer « et A par leurs valeurs tirées des deux dernières équations. Le plan tangent à la surface (S) aura pour équation

^z "^ cV cV "^ c>6 :)^

et cette équation se réduit à

qui e!?t celle du plan tangent à la surface donnée. Le théorème' est démontré.

i4o. Exemple. — Le plan

iiju -\- vy -\- wz z= yja^u^ + ^^^^ + ^^^^"^ a pour enveloppe Tellipsoïde

x^ l^ z^ "^ + t2 + "â — ^=o• Pour le voir, il suffit de considérer comme paramètres

li V

variables — » — > et d'appliquer la règle précédente.

Théorie des développées

4'il>. Nous avons vu que les normales principales d'une courbe gauche n'ont pas d'enveloppe. Mais on peut se pro-

poser (1 associer les normales d'une courbe, de manirn^ qu'elles forment une surface développable. Ce problème u une infinité de solutions que nous allons rechercher : les enveloppes des normales s'appellent encore des déveU^j^pèes. Nous emploierons une méthode très féconde pour Va résolution des problèmes relatifs aux courbes, et dont nous avons déjà dit quelques mots; nous voulons parier du trièilre mobile.

Soient OX, OY, OZ, les axes de coordonnées rectangulaires fixes, X, Y, Z, les coordonnées d'un point P quelconque de Tespace, par rapport à ces axes; soient a, i, t, les coordonnées d'un point M, de la courbe, M.r, My, fth, les axes mobiles attachés au point M, savoir, la tangente, la normale principale et la binormale. Soient enfin, x, tj, -, les coordonnées du point P par rapport au trièdre mobile.

Les formules connues de la transformation de coordonnées sont, en conservant toujours, pour désigner les cosinuH directeurs des axes mobiles, les notations des paragraphes précédents,

\ =z a -\- (XX -\- \y -\- \z i

Z r= c + Y.r + vy + ^5^ ;

Ces formules, jointes à celles de Frenet, renferment toule la théorie des courbes gauches.

117. Si, par exemple, le point M est le point d'une normale dont le déplacement infiniment petit est tangent à la normale, il satisfera aux trois conditions suivantes : 1' il sera dans le plan des t/z, ce qui donne

X =z o\ 2° son déplacement étant perpendiculaire à Ox, on aura

3° ce déplacement sera dirigé vers le point M.

Or, des équations (69) on tire, parla différentialion, trois équations, dont la première sera

d\ = (fa + Idy -f Idz -f- i/dk + zd"^,

ou, en remarquant que da = arf.y et en utilisant les formules de Frenet (31, 34),

dX = \dy + \dz + ' x — {^i -f- tÇ) y +- Xt^] ds.

Multiplions cette équation par a, les deux analogues par 3 et Y, puis ajoutons membre à membre. Il vient

ar/X + pc/Y + yrfZ = (1 •

— ky) ds,

OU, à cause de (70),

i — ky = o.

Cette équation montre que le point de la normale, qui décrit la développée, est sur Taxe de courbure. Donc toutes les développées sont sur la surface polaire.

Il reste à exprimer que le déplacement du [point P est dirigé vers M ; pour cela, je remarque que les projections de ce déplacement sur Oy et sur 0^ auront respectivemeni pour valeurs

Xf/X + {/r/Y + yfdZ = dy -\- z-cds, IdX + r^d\ + ^dZ = d^ — yxds.

Ces projections devant être proportionnelles à y et à s, on a

dy -\- Z'zds dz — yxds

Cette équation peut s'écrire

ydz — zdy .

(f . arc tan^ ^ = xrf*.

Appelons V Tangle de la normale considérée avec la normale principale; Téquaiion précédente devient

Pour une seconde normale faisant un angle V| avec la normale principale, on aura aussi, si elle enveloppe une courlis

d\^ =z i(h ; d'où

Donc les iiontiales de la courbe qui enveloppent deut développées différentes font, entre elles ^ un angle cofistatf/^

44U. Les développées des courbes gauches jouisses l encore d'une propriété analogue à celles des courbes plaiiis. Leur arc est égal à la différence des longueurs des normales qui aboutissent aux extrémités de cet arc. On pourrait donner de ce théorème une démonstration analytique analogue H celle que nous avons donnée pour les courbes plane-. Nous préférons faire connaître une méthode géométrique fondée sur un lemme qui est d'un usage fréquent.

449. Soit / =: AB un segment de droite qui se déplace suivant une loi donnée ; soit /' = A'B' une deuxième posi* tion de ce segment infiniment voisine de la première. Nous^ allons évaluer la partie principale de la variation du serment. Appelons a l'angle de AB et de A'B'; le théorème d*'s projections appliqué au contour AA'B'B projeté sur AB donne Tégalité

/ = AB = AA' cos iVAB + AB' cos a + B'B cos (tt — B'BA = AA' cosA'AB + /' cos a + BB' cos B'BA.

a est infiniment petit. Donc, en négligeant les infiniment petits du second ordre, on peut remplacer cosa par 1, et écrire

^dl = l' — l= AA' ces A'AB + BB' cosB'BA. (74)

C'est la formule cherchée.

450. Appliquons-la au problème des développées. Soit AB une normale à la courbe gauche en A, B son point de contact avec la développée. Le déplacement de A étant normal à AB, cos A'AB est infiniment petit; le déplacement de

B est tangent à AB, donc cos B'BA est infiniment voisin de ± l, La formule (74) se réduit donc à

dl =^ db BB'.

Mais, toujours avec la môme approximation, on peut, si Ton appelle c; lare de développée, remplacer la corde BB' par la différentielle de Tare cftj, et Ton a enfin

Supposons, par exemple, une portion d'arc sur laquelle les arcs croissent en môme temps que les normales. On aura

(Il = f/<T,

et cette dernière égalité exprime la propriété qu'il s'agissait de démontrer.

451. La notion de développante en résulte. Si Ton fixe un fil en un point d'une courbe gauche (F), et qu'on enroule le fil sur la courbe, puis qu'on déroule le fil en le tendant à chaque instant suivant une tangente, un point quelconque du fil décrira une trajectoire orthogonale des tangentes. Cette trajectoire ^st dite développante de la courbe (F), et (F) est une développée de cette développante. La démons-

tration résulte encore de la formule (74). Ici, par hypothèse,

cos B'BA est infiniment voisin de zéro, rf/= arc BB'; il en

résulte que cos A'AB est infiniment petit, c'est-à-dire que le déplacement de A est normal au fil AB.

45â. Les normales qui enveloppent une développée décrivent, comme on sait, une surface développable. Le plan tangent à cette développable est le plan osculateur de la développée; mais la courbe gauche donnée (C) étant évidemment sur la développable, le plan tangent contient la tangente à (C). Cette tangente étant perpendiculaire au plan tangent de la surface polaire, le plan osculateur de la développée est normal à cette surface polaire. Donc /es développées sont (les géodésiques (p. 430) de la surface polaire,

453. A Tétude des développées se rattache une intéressante question de minimum. Soit x^, y^, Zq, un point P de l'espace; sa distance / au point M (>, IJ-» ^) de la courbe gauche sera minimum, si son carré

a une dérivée nulle, par rapport au paramètre t

Mais il faut-, de plus, que la dérivée seconde

soit positive.

L'équation (75) exprime que le point M est le pied d'une normale issue de P. Supposons que, M restant fixe, le point P parcourt la normale en M, en partant du point M. Les binômes x — ^Tq, y — y^^ z — Zq, commencent par être très petits, et la dérivée seconde •y'(/) commence par être positive : MP est donc minimum. Puis le point P, s'éloignant

dans la direction de Taxe de courbure, la fonction 'i/' ■;/) s'annule au moment où le point P est sur Taxe de courbure, ou, ce qui revient au m(^me, au moment où P est au point de contact G de la normale avec sa développée. 'y(/) devient ensuite négative, et MP est un maximum au lieu d'être un minimum.

Mais il est essentiel de remarquer que le minimum, dont il vient d'être question, est un minimum relatif, c'est-à-dire par comparaison avec les chemins voisins. On peut même démontrer que .la distance MP a cessé d'être un minimum absolu, avant que le point M ne soit arrivé au point C. Soit, en effet, une seconde normale M'C touchant la même développée au point C. 11 résulte des propriétés de la développée qu'on a

MC = M'C + arcC'C; donc

MC > M'C -f corde C'C.

Comment la distance MP a-t-elle donc pu cesser d'être minimum? Cala n'a pu se produire évidemment qu'à un moment où, du point P, on a pu mener à la courbe gauche deux normales égales. 11 convient donc, dans ce problème, de faire intervenir en même temps que Tétude des développées celle des points d'où l'on peut mener à la courbe deux normales égales.

454. Un exemple éclaircira ce qui précède. Dans Tellipse, la normale en M rencontre l'axe en H, avant son point de contact C avec la développée. Or le lieu des points du plan d'où l'on peut mener à l'ellipse deux normales égales se compose des deux axes. Donc, lorsque P sera entre M et H, PM sera un minimum absolu ; entre H et C, PM n'est plus le chemin le plus court; il n'est minimum que par rapport aux chemins infiniment voisins. Enfin, au-delà de C, PM n'est plus minimum par rapport à aucun chemin.

Des <*ongi*ueiices

455. Lorsque les équations d'une courbe contiennent deux paramètres

on obtient, en faisant varier ces paramètres, une double infinité de courbes, dont l'ensemble constitue ce qu'on appelle une congriience de courbes. Par un point de Tespace, il passe, en général, une ou un nombre limité de courbes de la congruence; elles sont déterminées par les équations (76), où d\ y, 2, ont reçu des valeurs données.

Mais il peut arriver que, pour certains points, les deux équations (76) se réduisent à une, ou même soient entièrement indéterminées; par exemple, dans la congruence des droites qui rencontrent deux courbes données, en un point P quelconque d'une de ces courbes, il y a une infinité de solutions : ce sont les génératrices du cône, de sommet P, qui contient l'autre courbe. Les cercles qui passent par deux points forment une congruence, telle qu'aux deux points il y a indétermination absolue.

Si les courbes de la congruence sont des lignes droites, la congruence est dite rectiligne^ et lorsque, par tout point de l'espace, il passe une et une seule droite de la congruence, la congruence rectiligne est dite linéaire,

450. Dans le cas d'une congruence rectiligne et linéaire, en résolvant les équations (7()) par rapport aux deux paramètres, on peut évidemment les mettre sous la forme

P + aQ = o,

P'+ôQ':=0,

et Ton voit que toutes les droites de la congruence linéaire

s'apptdcnt sur devx droites fixes, savoir

Il est évident, réciproquement, que toutes les droites qui rencontrent deux droites fixes, non situées dans un même plan, forment une congruence linéaire. On voit immédiatement que, dans tout plan, il existe une et une seule droile de la congruence, celle qui joint les traces des deux droites fixes sur le plan. Nous n'insisterons pas davantage sur les congruences linéaires qui ont été Tobjet d'une étude méthodique, publiée par M. Fouret, à la suite de la traduction de la Géométrie du mouvement du D" Sciiœnflies .

457. Revenons aux congruences rectilignes quelconques. Si Ton établit une relation entre les paramètres a et A, les droites correspondantes décrivent une surface, qu'on appelle une surface de la congruence. Nous allons démontrer que toutes les surfaces de la congruence, qui contiennent une même droite de la congruence, se touchent en deux points de cette droite.

Soient en effet

,r = cLZ + cCq \ y^P -{-Va \

les équations d'une des droites, a, Aq, g, y^, dépendant des paramètres a et />; de plus

L'équation différentielle de la surface engendrée s'obtiendra en différentiant les équations (77)

dû) = <xdz + 2

l+|fw]

da +

dy = ^dz-^z

da-^

da, da.

COURBES GAUCHES. — SURFACES, ETC. \U:i

et en éliminant da. Le plan tangent à la surface s'obtiondm en remplaçant dx, dt/, dz, par X — j-, Y — y, Z — z. On trouve ainsi

\ — x-<tC/. — z)

dx . dvL , , .H , dxa , dXf. , , . da ^ db ' ^ ' ' da db ^ ^ '

[£+l»-wJ+t+^»'w

Le second membre sera indépendant de <?'(«), si

dj. dx,, ' da^ da

dx . dx„ ' db'^ db

" da^ da

' db ^ db

Cette équation, du second degré en 5, détermine, sur l;i droite de la congruence, deux points F et Fj, où se touchent toutes les surfaces de la congruence. On les appelle poinfs focaux ou foyers de la droite. Les plans tangents en a^^ points, donnés par Téquation (78), où z, .r, y, sont déterminés par les équations (79) et (77), sont les plans focaux,

458. On retrouve les mêmes résultats autrement. Ch*M'chons la condition pour que les droites (77) aient une envi loppe. La formule (49) devient ici

équation du second degré homogène en </a, db^ d'où Ton

tirera

db ,, db

da da

On démontrera, dans le second tome, que chacune de n ^ équations détermine une fonction b de a, satisfaisant à l;i condition de prendre une valeur donnée pour une valeur

s'apjmipnt sur (leur droites fixes, savoir

QzzrrO,

Fz=0, Q'=rO.

Il est évident, réciproquement, que toutes les droites qui rencontrent deux droites lixes, non situées dans un même plan, forment une congruence linéaire. On voit immédiatement que, dans tout plan, il existe une et une seule droite de la congruence, celle qui joint les traces des deux droites fixes sur le plan. Nous n'insisterons pas davantage sur les congruences linéaires qui ont été l'objet d'une étude méthodique, publiée par M. Fouret, à la suite de la traduction de la Géométrie du mouvement du D*^ Sciiœnflies .

Soient en effet

.z^ =: air + cCq \ y = P^ + Vo )

les équations d'une des droites, a, Xq, g, y^, dépendant des paramètres a et />; de plus

L'équation différentielle de la surface engendrée s'obtiendra en différentiant les équations (77)

dx =

(xdz + z

d<x , db , . ~

da +

da.

dy =

pdz-^z

da ^ db^ ^ '

da +

da.

et en éliminant da. Le plan tangent à la surface s'obliemtra ,

en remplaçant dx, //y, dz, par X — j-, Y — y, Z — 5. On

trouve ainsi !

Le second membre sera indépendant de ?'(a), si

cil ^, dx^ ^ ^' i ^^0 ^ da'^ da ^ db'^ dh

^ da'^ da dl'^ db

Cette équation, du second degré en :;, détermine, sur la droite de la congruence, deux points F et Fj, où se touchent toutes les surfaces de la congruence. On les appelle poinf^ focaux ou fo{/prs de la droite. Les plans tangents en Ci*s points, donnés par Téquation (78), où 5, x, y, sont déterminés par les équations (79) et (77), sont les p/ans focaux.

^58. On retrouve les mêmes résultats autrement. Cherchons la condition pour que les droites (77) aient une enveloppe. La formule (49) devient ici

équation du second degré homogène en //a, db^ d'où Ton tirera

On démontrera, dans le second tome, que chacune de ces équations détermine une fonction h de a, satisfaisant à hi condition de prendre une valeur donnée pour une valeur

donnée de a, c'est-à-dire de correspondre à une droite donnée. Donc toute droite de la congruence peut, de deux manières différentes, se déplacer de manière a décrire une développable ; les surfaces, ainsi obtenues, sont les di*veloppables de la congruence. Elles se groupent en deux familles, suivant qu'on part de Tune ou Tautre des équations (81).

Considérons une des développables : son arête de rebroiissement touchera la droite génératrice en un point A; je dis que ce point sera un des deux foyers, F ou F,. En effet, on a vu, n** 427, que le z du point A est donné par Téquation

dx (ioL , , d% ,,

-7- ^m 4- -77 clo da ' db

et il suffit de remplacer z par cette valeur dans l'équation ';79), pour constater qu'elle se réduit à l'équation (80), qui est vérifiée par hypothèse.

159. D'ailleurs, on peut très bien se rendre compte géométriquement de ce qui vient d'être établi. Définisson> d'abord la surface focale de la congruence : c'est le lieu de> foyers, ou encore des arêtes de rebroussement des développables. 11 y a bien, en apparence, deux nappes de celte surface focale, correspondant aux deux équations \^81); mais il est évident qu'au point de vue analytique ces deux nappes se réunissent pour former une seule surface.

Gela posé, les droites sont toutes tangentes à ces deux nappes. Considérons une de ces droites D, et déplaç^ons-la de manière qu'elle reste tangente, en F, h l'arête de rebroussement, qui décrit la première nappe S; elle touchera aussi la seconde nappe S^ en F^. Le lieu de F| sur Sj sera une certaine courbe non tangente à D; le plan tangent à la développable, le long de D, sera donc confondu avec le plan tangent à S^ en F^.

Une surface 2 quelconque de la congruence, passant par D, touchera S^ en F^, puisque la droite qui engendre 2l

reste tangente à S^. Toutes les surfaces 2 se toucheront doue en F^; de même en F.

Congruences de normales

460. Les normales à une surface donnée forment une congruence ; car une normale est déterminée par son pied, dont les coordonnées dépendent de deux paramètres.

Les congruences de normales jouissent d'une propriété remarquable : pour chaque normale^ les plans focaux sont pprpendiculaires. Soient en effet (n° 403)

les équations d'une normale. La condition, pour que cetti' droite engendre une surface développable, est (47)

ou, comme

dx -\- pdz dp

-dp -dq

dy -\- qdz

dz r= pdx -(- qdy^ dp 1= rdx -f- sdy^ dq = sdx -f- idy^ [s{i + p^) -pqr] dx^ + [t[i + p') - r(l + q^)] dxdy

+ {M^ — ^(i + 9')] dy'' = o. (84)

Supposons les axes choisis de manière que la normale considérée coïncide avec oz^ et le plan tangent à xoy ; on a alors

x — y = z = o, p=zq=o,

et Téquation (84) se réduit à

sdx' -\- [l — r) dxdy — sdy- = o,

OU en divisant par dx^

Cette équation définit deux directions dans le plan xoy\ ces deux directions sont rectangulaires, et, comme elles forment le rectiligne du dièdre des plans focaux, le théorème est démontré.

461. Nous allons montrer que la propriété précédente caractérise bien les congruences de normales. Pour cela, il faut déterminer à quelles conditions une congruence rectiligne quelconque peut devenir une congruence de normales.

Il faut et il suffit qu'un point de la droite donnée (77) puisse décrire une surface trajectoire orthogonale ; autrement dit qu'on puisse déterminer, en fonction des paramètres arbitraires a et é, les coordonnées d'un point de la droite, de manière que

oidx + ^dy -|- -^dz = o,

OU, en tirant x et y des équations (77), que

(0,2 ^p^+ i)clz + z [oidx + prfp) + ac/ojo -f- ^y^ = o.

Effectuons le changement de variables

nous obtenons la nouvelle équation

arf^o + P<Vo , (85)

Supposons, pour simplifier l'écriture, que les paramètres indépendants sont précisément Xq et y^; le second membre de (85) ne pourra être une diirérentielle exacte que si

Telle est la condition cherchée. Elle n'est pas vériliée identiquement, ce qui montre, de nouveau, que des droites remplissant l'espace suivant une loi arbitraire n'ont pas de surface orthogonale. Mais, si Ton a trouvé des fonctions satisfaisant à la condition (86), Téquatiôn (85j déterminera, à une constante près, une fonction p et, par suite, 3, et un point de la droite (77) décrivant une surface normale. La condition est donc nécessaire et suffisante. Elle exprime, comme nous allons le vérifier, que les deux plans focaux sont rectangulaires.

D'abord, pour que la droite donnée ait une enveloppe, il faut et il suffit (n° 427) que

dx^jcl^ — dy^d-L = o, (87)

OU que

delà posé, un plan passant par la droite, qui a pour équation

./• — xy — .Vq — X (.y — f.z — y„) = o (89)

sera focal, s'il contient le point infiniment voisin x + dx. y + rfy, z + dz^ ce qui donne la condition

zdy. + dj\, — \\zd^ + dy^ - o,

d'oii l'on tire

'^ - zd} -f- dy^

ou, en tenant compte de (87),

Dans cette équation, y-^' est une racine de (8S). Soient donc X ef >/ les deux racines d ^ (8S); lf*s deux plans focaux

correspondants seront perpendiculaires si

1 + ir + (a — PX) (a — pV) = 0.

L'équation (88) fournit immédiatement les valeurs de a// et de A + >/ ; en les portant dans la dernière égalité, on retrouve la condition (86). Il est donc démontré que la propriété des congruences de normales, d'avoir leurs plans focaux rectangulaires, est bien caractéristique.

46â2. Considérons la surface focale d'une congruence de normales ; elle se compose de deux nappes S et S^. Les arêtes de rebroussement d'une des familles de développablos de la congruence seront sur la première nappe S ; celles de l'autre famille sur la deuxième nappe Sj. Le plan focal au foyer F, situé sur S, se confond avec le plan tangent en S,, et le second plan focal est le plan tangent en F à S ; mais, comme ces deux plans sont rectangulaires, le premier est normal H S, et comme il est le plan osculatcur en F de TartMe de rebroussement tracée sur S, cette arOte est une ligne géodésique de S. Ainsi les arêtes de rebroussement des développables (F une congimence de normales son/ des lignes géodésiques de la surface focale.

Réciproquement, supposons tracée sur une surface quelconque une famille de lignes géodésiques. Les taqgentos de ces courbes forment une congruence. Je dis que cette congruence est une congruence de normales. En effet les plans focaux d'une tangente sont évidemment le plan tangent à la surface et le plan osculateur de la ligne géodésique, et ces deux plans sont rectangulaires par définition.

463. Les congruences reclilignes, comme d'ailleurs les congruences quelconques dont nous dirons plus loin quelques mots, ont été l'objet de nombreux travaux exposés dans les remarquables Leçons de M. Darboux sur la géométrie des surfaces, auxquelles nous ne pouvons que renvoyer le lecteur. Nous emprunterons cependant encore à cet auteur la démons-