SURFACES, ETC
tration d*un célèbre théorème dû aux efforts combinés de Malus, Dupin, Gergonne et Quételet.
En voici l'énoncé : Si des rayons lumineux sont normaux à une surface^ ils ne cessent pas de conserver cette propriété après nn nombre qitelconqne de réflexions et de réfractions.
Démontrons d*abord un lemme : Soient
les équations d'une droite de la congruence, et iiy r, w ses cosinus directeurs.
En posant dans Tégalité (85),
X OLZ^
p =.- V Va^ + ft^ + 1,
on voit que le théorème fondamental de cette théorie peut s'énoncer ainsi : « Pour que les droites (90) soient normales à une môme surface S, il faut et il suffit que
udx + vdy -f- tcdz^
soit la différentielle exacte d'une fonction des doux variables dont dépend la congruence. x, y, :; sont les coordonnées du pied de la normale sur la surface S. »
Cela posé, sur le rayon incident, portons une longueur MA = 1 et, sur le rayon réfracté, une longueur MB = n, n désignant l'indice de réfraction. La loi de Descartes consiste en ce que la résultante géométrique MC des deux vecteurs MA et MB est normale îi la surface
dirimante ; en effet, dans le triangle MBC, on a
BC MB
sinBMC'sinMCB' ou
sin i = n sin r.
Si l'on appelle / la longueur MG, a, g, y, w, t\ w, u\ v\ ir\ les cosinus directeurs de la normale à la surface, du rayon incident et du rayon réfléchi, le théorème des projections appliqué au parallélogramme AMBG donnera
pr . MC = pr . MB -f pr . MA,
c'est-à-dire
Xa = nu' -f" **»
Xp = nv + V, Xy = mr'-f- w.
Or, pour tout déplacement du point M (x, y, z) sur la surface dirimante, on a
oidx -f- pf/y + Y^^ = o,
ce qui peut s'écrire, en éliminant a, 3» Y au moyen des équations précédentes,
udœ -(- ^cly -{- lodz = — n [udx -f- v'dy -|- w'dz).
Si les rayons incidents sont normaux à une surface, il résulte du lemme que le premier membre de cette égalité sera une différentielle exacte; il en sera donc de même du second, ce qui démontre le théorème.
Le cas de la réflexion s'obtient en faisant /i = — 1 .
Congruences de courbes
464. On peut étendre aux congruences de courbes les considérations que nous avons développées relativement aux congruences rectilignes.
Soient
les équations d'une courbe de la congruence. Définissons une surface de la congruence par la relation
Le plan tangent à cette surface en un point x, y^ z^ sera défini par Téquation, analogue à (78) :
^x ^ ^y '^ ^ ^z TSa ^ ^b ^ '
On peut remarquer en passant que cette équation contient implicitement le théorème suivant : Si ton considère quatre surfaces quelconques contenant une même courbe de la congruence, le rapport anharmonique des plans tangents à ces surfaces en un point quelconque de la courbe demeure constant quand le point se déplace sur la courbe.
Mais Téquation du plan tangent conduit, au point de vue où nous nous sommes placés, à une conséquence bien plus importante. En eilet ce plan tangent devient indépendant de F' (a), et toutes les surfaces de la congruence qui passent par la courbe considérée sont tangentes entre elles aux points de la courbe pour lesquels on a
()® D® "Sa 36 ou
oa cb ob oa
Ces points sont dits les points focaux, et le lieu de ces points est la surface focale de la congruence.
472 CHAPITRE XVIIÏ
465. On retrouve les points focaux en cherchant à assembler les courbes de la congruence, de manière qu'elles aient une enveloppe. En effet le point de contact d'une courbe avec son enveloppe doit satisfaire aux équations de la courbe
et à ses dérivées par rapport à a
M ^ ^h da " ' c>a ^ ^b da ~
L'élimination de -^ conduit de nouveau à Téquation (92).
On voit ainsi que les points focaux sont les points de contact des courbes de la congruence avec leur enveloppe, dans les différents modes de déplacement où ces courbes ont effectivement une enveloppe. Chaque point focal de la courbe décrit une nappe de la surface focale, et Ton voit, par un raisonnement identique à ceux que nous avons déjà faits dans la théorie des enveloppes, que cette surface focale a précisément pour plan tangent le plan tangent commun à toutes les surfaces de la congruence. En effet, pour avoir ce plan tangent, il faudrait différentier totalement les équations de la courbe donnée et (92), puis éliminer da et db ; mais il suffit de différentier les deux premières et d'éliminer da, db s'élimine d'elle-même en vertu de (92), et Ton retombe bien sur l'équation (91).
466. Si f{x, y, z, a, b) est algébrique du degré m, 9 du premier degré, l'équation (92) est de degré m + 1, et Ton voit que, dans une congruence de courbes planes d'ordre m, il y a en général sur chaque courbe 711 [m + i ) points focaux.
Ainsi, dans les congrucnces rectilignes, il y a deux foyers sur chaque droite, dans les congruences de coniques six points focaux sur chaque conique, dans les congruences de cercles, qui admettent les points cycliques comme points focaux, quatre points focaux sur chaque cercle, etc.
Nous donnerons, dans le chapitre suivant, l'extension aux
congruences quelconques de la propriété caractéristique des congruences de normales. Nous n'insisterons pas davantage sur ce sujet, renvoyant le lecteur à l'ouvrage de M. Darboux, pour r étude des cas où quelques points focaux sont confondus, ainsi que pour l'étude des congruences de cercles.
Des complexes
467. Nous avons examiné successivement les systèmes de droites qui ne dépendent que d'un paramètre (génératrices d'une surface réglée), ceux qui dépendent de deux paramètres (congruences). 11 nous reste à envisager ceux qui dépendent de trois paramètres et qui constituent ce qu'on appelle des complexes. Ici, par un point donné de l'espace, il passe encore une infinité de droites dont le lieu géométrique s'appelle le cône du complexe; le degré de ce cône, lorsqu'il est algébrique, est Y ordre du complexe. De même, dans un plan donné, il y a encore une infinité de droites ; ces droites enveloppent la courbe du complexe relative au plan. La classe de cette courbe est égale à l'ordre du complexe : en effet, soit P un point du plan ; le nombre des droites du complexe qui passent par ce point et qui sont dans le plan s'obtiendra soit en menant du point des tangentes à la courbe du complexe, soit en coupant par le plan le cône du complexe qui a son sommet au point P.
468. Pour étudier commodément les complexes, il est bon de mettre les équations de la droite sous une forme symétrique, considérée d'abord par Pliicker. Les trois plans
p — vy — a' \
YA- — az = p' (93)
ay— pa- = / )
passeront par une même droite D, si
«a + pr + ïy' = o. (94)
474 CHAPITRE XVIÏI
Les équations (93) sont celles de la droite D, et les six constantes a, g, y, a', 3', y' sont dites les coordonnées Plûckériennes ou, plus simplement, les six coordonnées de la droite. A cause de (94) et parce qu'elles figurent dans toutes ces équations d'une manière homogène, elles se réduisent au fond à quatre, comme cela doit être.
469. Les droites D feront partie d'un complexe, s'il existe entre leurs coordonnées une relation homogène
r{cL, |i, Y, a, b', y') = o. (95)
Pour obtenir une surface du complexe^ il faudra joindre à la relation précédente deux nouvelles relations
fi =0, /i = o.
Si l'équation (95) est algébrique, son degré sera égal à l'ordre du complexe. En effet, soient j:'o,yoî ^O' '^-^ coordonnées d'un point M quelconque, on voit sans peine que l'équation du cône du complexe, qui a son sommet en M, s'obtient en remplaçant a, g, y, a ..., par les quantités proportionnelles X — x^ ...
/•(d? — Uy, y — t/jj, z — Zç^, zy^ — yz^, -^Wo — -^-j^^, ^^0^ — ^0-^0 = 0. (96;
L'équation du cône est du môme degré que (95), ce qui démontre le théorème.
470. L'équation (95) permet d'établir très simplement une relation homographique entre les points d'une droite D du complexe et des plans passant par cette droite. Soit m un point de D; le cône du complexe qui a son sommet en m contient D, et nous prendrons lo plan P tangent à ce cône le long de D, comme correspondant k/?i. La courbe du complexe située dans (P) touche évidemment D en m. Inversement, dans un plan (P) passant par D, il existe une courbe du complexe touchant D en un point m, et le cône du complexe qui a son sommet en m est évidemment tangent à (P),
le long de D. La correspondance homographiqiie entre (P) et m est donc bien établie. Si Ton considère une origine fixe o sur D et si Ton pose om = p, si, d'autre part, on appelle 6 Tangle que fait avec un plan fixe passant par D le plan (P), la relation homographique sera de la forme
p tangO ~\- ao -{- b tang 9 -[- c =: o, ou
(p + b) (lange + a) + c — rt^> = o, (97)
ez, A, c sont des constantes qui dépendent de la position de D. Un cas singulier se présentera si
ab — c = o ,
cette nouvelle relation ajoutée à la relation (95) particularisera la droite et il y aura une congruence de pareilles droites. On les appelle les droites singulières du complexe. Sur ces droites, la relation (97) se réduit à
(p + b) (tango -\. a) = o.
On voit alors que, quel que soit p, 8 est constant; à tous les points d'une droite singulière, sauf au point p = — A, correspond un plan fixe, qui est un plan singulier. Inversement, à tout plan passant parla droite singulière, sauf au plan singulier, correspond un seul point p = — A : c'est un point singulier. Les coordonnées du point singulier ne dépendent que de deux paramètres ; il y a donc une surface des singularités du complexe, lieu des points singuliers. De même les coefficients du plan singulier ne dépendent que de deux paramètres; ces plans enveloppent donc une nouvelle surface. Mais il se trouve que cette surface coïncide avec la première (Voir, pour la démonstration, la note déjà citée de M. Fouret, au n° 456). Cette surface est une des nappes de la surface focale de la congruence des droites singulières.
On peut encore remarquer que toutes les surfaces du complexe qui contiennent une droite singulière sont tangentes
entre elles au point singulier de celte droite. Mais nous arrêterons ici ces considérations sur les complexes quelconques, renvoyant, pour plus de détails, à la note de M. Fouret, et nous terminerons par Texposé de quelques propriétés des complexes linéaires.
471. Complexes linéaires. — On appelle ainsi les complexes pour lesquels Téquation (95) est de premier degré :
Aqc + Bp + Cy + AV + B'p' + Cy = o. (98)
Le cône du complexe
A (^ - a^,) + ... + A' {zy, - yz,) + ... = o (99)
est ici un plan qu'on appelle le pian polaire du point.
Une discussion simple montre que ce plan est parfaitement déterminé pour tous les points de l'espace à moins que
AA' + BB' + ce r= o. (100)
Dans ce cas exceptionnel, il existe une droite singulière, lieu des points dont le plan polaire est indéterminé ; le plan polaire de tout autre point est déterminé par ce point et par la droite singulière et le complexe, qu'on appelle dans ce cas complexe spécial, se compose de toutes les droites rencontrant la droite singulière.
Laissant les complexes spéciaux de côté, cherchons, dans les complexes linéaires quelconques, Tenveloppe des droites du complexe situées dans un plan quelconque. Cette enveloppe, étant de classe w, se réduit h un point qu'on appelle le pôle ou le foyer du plan.
Considérons encore les droites du complexe qui rencontrent une droite L quelconque ne faisant pas partie du complexe. Tout plan passant par L aura un foyer non situé sur L, puisque L ne fait pas partie du complexe ; je dis que le lieu de ces foyers sera une droite L'. En effet soient F et F' deux foyers : un plan rr quelconque passant par FF' aura pour foyer son point /de rencontre avec L; car les droites /F et
/F' font partie du complexe. Mais alors, en joignant / à un point quelconque F' de FF', on a encore une droite du complexe, et si Ton fait pivoter le plan tj autour de FF', la droite /F* décrira un plan quelconque passant par L et dont le foyer sera en F". Les deux droites L et L' qui contiennent chacune les foyers des plans passant par l'autre sont dites droites conjuguées.
^72. La théorie des complexes a de nombreuses applications en mécanique. Ainsi, dans un système de forces appliquées à un corps solide, les droites de moment nul forment un complexe linéaire; dans le mouvement d'un solide, les droites normales aux trajectoires de tous leurs points font partie d'un complexe linéaire, etc.
Définitions
47C{. Les coordonnées d'un point quelconque d'une surface S di'^pendent de deux paramètres arbitraires qui peuvent ôtre, si l'on veul, deux de ces coordonnées. Pour plus de symétrie, nous ne fixerons pas, dès Tabord, ces deux paramètres, que nous désignerons par ies lettres u et r, et nous écrirons
Lorsqu'on voudra revenir à la forme ordinaire, il suffira de faire ri:=x, r = //; il en résultera que /j devra être remplacée par ./*, et /!, par y. Nous poserons, pour abréger,
Du Dl?
^u Dy
5ÏÏ Dr?
B izj :vi __ i/jL lo -- 1:1 in ::! xr. , (.)\
ces binômes devant se présenter fréquemment dans nos formules.
Si v = 0\ les équations (i) définissent une courbe tracée sur la surface (^S). Lorsqu'on fait varier v, on a une famille
de courbes. Il y a, de môme, sur la surface S, une famille de courbes tt = O^. Ces deux familles découpent sur la surface un réseau («, v). Si Ton a en chaque point de la surface
c\i Dl? ^ c^U c>r ^ 1>U c>t? "~ ' ^^
le réseau est orthogonal ; les tangentes aux deux courbes i^n chaque point se coupent à angle droit.
Une courbe quelconque, tracée sur la surface, s'obtiemira en joignant aux équations (1) une nouvelle équation entn* a et v\ j-, y, 3, deviennent alors fonctions d'un seul paramètre.
Plan taii€|eiii et normale
474. Il importe de savoir écrire, avec les notations actuelles, Téquation du plan langent. Pour cela, il suflha d'exprimer que le plan
qui passe déjà au point,/*, y, z, passe aux deux points u\\\niment voisins pris sur les courbes (//) et (f), points qui (Oit pour coordonnées respectivement
Dp
on a ainsi les conditions
, ^x . ^y . '^z ou ' en ' ou
d'où, en éliminant /, m, n, et se servant des notations (2), A (X — ,/•) + B (Y — y) 4- C (^ — z) = o. (4)
Les équations de la normale seront
Rappelons que, si j:: et y sont prises comme variables indépendantes, les équations ci-dessus sont respectivement, pour le plan tangent,
Z~;r:=p(X~.r)+(?(Y-y), (Bj
et pour la normale
Réseaux conjugués
475. Lorsque les génératrices de la surface développable formée par les plans tangents le long d'une courbe u ^= C** sont les tangentes aux courbes t' = C% et lorsque cela a lieu en chaque point de la surface, le réseau (t/, v) est dit conjugué ; on verra plus loin la raison de cette dénomination. Cherchons la condition pour qu'il en soit ainsi.
La caractéristique du plan tangent
lorsque v varie, s'obtient en adjoignant à Téquation précédente sa dérivée, par rapport à v
