X--,X')t-+IY— t/)T- + (Z — j)^ Ar-— B;^ — Cr
La somme des trois derniers termes étant nulle identi-
quement, il reste, pour équations de la caractéristique,
Dî?
dx
Cette droite doit, par définition, contenir le point x-\--jr du,
y -^-f- du^ 2 ( — di\ ce qui donne deux conditions dont la première est identiquement vérifiée; la seconde est
On vérifiera facilement que cette dernière condition peut s'écrire
Du
'M Dv
Sous cette forme, on voit qu'il y a symétrie entre u et t\ c'est-à-dire que les caractéristiques des plans tangents, le long des courbes v = C^% se trouvent, par la même condition, tangentes aux courbes u = 0\ Ce théorème est dû à Dupin.
Les réseaux qui sont en même temps conjugués et orthogonaux ont une importance capitale dans Tétude des surfaces.
476. On sait que, si un déterminant est nul, il existe une môme relation linéaire entre les éléments d'une colonne, quelle que soit la colonne. Il existe donc, puisque le déterminant (9) est nul, deux fonctions a et g de u et de v telles
que
en d'autres termes, si le réseau (m, v) est conjugué^ les trois coordonnées cT un point de la surface, exprimées en fonction de H et de i\ vérifient une inême équation linéaire -de la forme
5i^ + ^^ + Pc\;~^-
La réciproque est vraie ; car rélimiDation de a et de g entre les trois équations du système précédent donne Téquation (9).
A ce point de vue, la condition pour que le réseau soit on même temps orthogonal s'exprime ainsi : la fonction
JL
est aussi solution de la même équation linéaire. En effet, en substituant, dans Téquation aux dérivées par-
tiellcs précédente, *^ > et en tenant compte de ce
que cT, y, 5, vérifient cette équation, on trouve
c'est bien Téquation (3) qui exprime Torthogonalité des tangentes aux courbes u = C**, v = C**.
Élément d'arc d'une courbe tracée sur la surface (S)
477. La distance de deux points infiniment voisins pris sur la surface s'obtient par la formule
ds^ = dx^ + dy^ + dz^,
dans laquelle il suffit de remplacer x^ y^ s, par leurs valeurs tirées de (1). On obtient ainsi, en posant avec Gauss,
OU ov eu ov * ôuou l ^ ^
ds^ = Edti^ +. 2Fdudv + Gdv^. (11)
On peut obtenir une autre expression de ds^ par des considérations géométriques : soient MN, MP, deux courbes {u) et {v) se coupant en M sous l'angle a. Soient encore MM'=Aûfw, MM" = Cdvy les éléments d'arcs des courbes {u) et [v), M'M* = rf.s, un élément de courbe quelconque infiniment voisin de M. On peut, aux infiniment pj^ ^^
petits du troisième ordre près, assimiler le triangle MM'M" à un triangle rectiligne et écrire
WW' = MM'' + MW' — 2MM' . MM'' cos a, ou
ds^ =z A^du^ + C^dv^ — 2AC cos a dudv, (il') .
C'est, avec d'autres notations, la formule (11); du rappro- j
chement des formules (11) et (H), on déduit iraiiiédiatement*
A^ 1= E, C2 r:^ G, cosa = — -I^o (12i
