II. en résulte pour p la valeur

.2 4. yl

[a.r^ H- tU-y + cy') ^'^^^'

Mais m est à une distance de P infiniment petite du second ordre, et la direction Mm' se confond avec celle de la

' Il résulte de ces hypothèses que la théorie exposée dans ce numéro, pas plus d'ailleurs que les résultats obtenus jusqu'au n* 296, ne s'appliqueront aux surfaces qui ne remplissent pas les conditions énoncées, telles, par exemple, que

z = ar3 4 tj^, ou

tangente MT, à la limite, c est-à-dire que, si Ton appelle 9 Tangle de MT avec or, on aura

y = a7tang(p; d'où

^ a cos^ <f -\- 21) sui cp cos f -\- c sin* (p '

Appelons po le rayon de courbure de la section normale qui correspond à y = o» on aura

^® a cos^ <p -f- 26 sin (p cos 9 + c sin* <p ^ '

et

p = PoCOSY. (15)

Donc, le centre de courbure en un point que/conque d'une courbe tracée sur la surface s'obtient en projetant^ sur son plan osculateiu\ le centre de courbure de la section normale qui a la même tangente au point considéré.

On peut encore dire : Si Von fait pivoter un plan autour d'une tangente à la surface^ le lieu des cercles de courbure des sections faites par le plan dans la surface est une sphère qui a pour grand cercle le cercle de courbure de la section normale.

Ou encore : Si Von fait pivoter un plan autour d'une tangente à la surface y les axes de courbure des sections faites par ce plan dans la surface vont rencontrer la normale à la surface en un même points qui est le centre de courbure de la section normale.

Ces divers énoncés sont des formes différentes du tli»5orème de Meusnier.

479. Le théorème d'Euler permet enfin de ramener Tétude des courbures des sections normales à celle des courbures de deux d'entre elles.

Remarquons d'abord que la formule (14) peut être simplifiée par un changement d'axes. Si Ton fait tourner les axes ox, og^ dans leur plan, d'un angle a, et si Ton pose

cp — 'i; + a,

mi

on pourra toujours déterminer a de manière que la nouvelle expression de po ^^ contienne plus de terme en sin ^^ cos j^, et se présente sous la forme

P® Acos2| + C sin^^^* Il suffira pour cela de poser

tang 2a = —

ce qui détermine pour Tangle a deux directions perpendiculaires entre elles.

Cela posé, écrivons

Po =

A + (C — A) sin^ ^

Lorsque ^ varie de o à x, la variation de pq est facil*^ h suivre : deux plans symétriques, par rapport aux plans de coordonnées, donnent la môme valeur pour po; il y aura un maximum et un minimum entre lesquels, ou en delinrs desquels, suivant les cas, seront comprises toutes les valeurs de Po-

Si A et C sont de môme signe, p^ variera entre le maximum et le minimum, R et Rj, qu'on atteindra, pour ^ ^^ o

et pour '{/ = 5

et le rayon de courbure ne deviendra jamais infini. La f*urface est dans le voisinage du point M tout entière du m'^iu^i côté de son plan tangent.

Si A et C sont de signes contraires, p,) variera du maximum jusqu'à — 00, et de + oo jusqu'au minimum; leraaïimum et le minimum seront d'ailleurs toujours donnés |Kir les formules (18). Le rayon de courbure sera infini, el la section normale présentera un point d'inflexion au poinl M,

pour les valeurs de «^ données par Téqualion

laiig

ce qui donne deux directions symétriques, par rapport aux axes. Ces doux directions sont les tangentes à la seclion de la surface par son plan tangent; en effet, après le changement de coordonnées que nous avons effectué dans le plan des .ry, l'équation (13) de la surface (S) est devenue