AX* + CY^) + R'(X,Y
R'(X, Y) étant une série dans laquelle les termes sont au moins du troisième degré en X et Y'; si Ton y fait s = o, on obtient Téqualion de la section par le plan tangent, qui a pour tangentes à Torigine les deux droites
AX« + CY'^ = o.
Ce sont bien les droites définies par Téquation (19).
Dans le cas actuel, toutes les sections normales, comprises dans deux angles opposés par le sommet formés par les droites précédentes, tournent leur courbure, dans le voisinage de M, d'un même côté, par exemple, vers les z positifs ; les sections normales comprises dans les deux autres angles tournent leur courbure vers les z négatifs, et la surface traverse sou plan tangent. On dit, dans ce cas, qu elle est à courbures opposées.
Dans tous les cas, les rayons de courbure maximum et minimum sont dits rayons de courbure principaux de la surface, les sections normales qui les donnent, sections principales^ et, en introduisant ces rayons de courbure principaux dans la formule (!(>), elle prend la forme élégante
qui est due à Euler.
Nous signalerons deux cas particuliers : 1" A = C ou R = R,.
Dans ce cas po = R constamment, le point M prend le nom A^ombilic,
2° AC = o. Dans ce cas, il n'y a plus qu'un maximum (ou un minimum) et qu'un rayon de courbure infini, qui est maximum (ou minimum). Le point de la surfaci' osl dit point parabolique.
480. La connaissance des centres de courbure principaux permet d'élucider im problème de maximum, dont il a déjà été parlé.
Soit P un point de la normale M-s ù la surface (S); cherchons le point ./•, y, ;;, de la surface, le plus rapproché ou le plus éloigné de P. Si Z désigne le segment MP, on aura, les coordonnées ayant toujours M pour origine,
T = NÏP* ==:. x^ 4- .v^ + iZ — zY,
et, pour que T soit un minimum, il est nécessaire que ses dérivées, par rapport à ./■ et y, soient nulles
wi t; = y — ^ (Z — ^) = o,
ou, en négligeant z infiniment petit devant Z,
X — pZ = o, y^qZ — O.
Comme p et ç sont nuls à Torigine, il en résulte j:* = o,
Il faut, de plus, que l'on ait
(Ti,/)' - Ti.T;. < o.
Si Ton suppose les tangentes aux sections principales prises pour axes des x et des y, s = o à l'origine, et l'inégalité précédente s'écrit
— ^1 — rZ) (i — /Z) < o.
OU encore en introduisant les rayons de courbure qui sont donnés par les formules
où r et / ont leurs valeurs à l'origine des coordonnées (R — i;)fR, -z) ^
Deux cas sont donc à considérer :
1^ La surface est convexe en M
RR^ > o.
La condition précédente exprime que le point P ne doit pas être compris entre les centres de courbure principaux. Ainsi si Ion suppose le point P parlant de M vers les centres de courbure principaux, sa distance au point M sera d'abord minimum, parmi toutes les distances aux points infiniment voisins de M ; lorsque P se trouve entre les deux centres de courbure principaux, MP est plus grand que certaines distances voisines, et plus petit que d'autres ; en d'autres termes, la sphère de centre P et de rayon PM traverse la surface (S) en M, qui est un point double de Tintersection. Enfin, lorsque le point P a dépassé le second centre de courbure principal, PM est maximum parmi les droites qui vont de P aux points voisins de M. Sur la portion de normale située de l'autre côté du point M, par rapport aux centres de courbure, PM est minimum en valeur absolue.
2° La surface est à courbures opposées
RR^ < o.
Les résultats sont renversés, et la distance MP n'est un minimum que si P est compris entre les centres de courbufe principaux.
481. Il résulte du paragraphe précédent un moyen do déterminer les rayons de courbure principaux, les axes de coordonnées étant quelconques (nous les supposerons seulement rectangulaires).
Soient j:, y, 5, les coordonnées du point M, et X, Y, Z, celles du point P
MP'^ = T = (X - xf + (Y -y)^ + (Z - z)\ Pour qu'il y ait maximum, il faut que
co qui exprime que P est sur la normale en M ; il faut de plus que Ton ait
(Ti,y - t;.tj, < 0, (22)
et l'équation aux centres de courbure principaux sera, à cause de Tinvariance évidente du binôme précédent,
Or
(t;^)*^ - t;.tj. = o. (23)
Donc l'équation, qui donne les Z des centres de courbure principaux, sera
(T;^)* - Ti.T;. = (s* - rt) iZ - z)^ .
- [2pqs - / (l 4- p') -r[l+ q*)] (Z - z) . (24)
Si l'on tient compte des équations (21), Ton a
OU
