MP

L'équation aux rayons de courbure principaux s'écrira donc

(^2 - rt) MP' + [(1 +p2, ^ ^ (I ^ ç2) r — ^pqs] yJi+p^ + q^^W

Nous donnerons plus loin une seconde méthode pour former cette équation. Mais nous remarquerons immédiatement que, si le point est parabolique, on doit avoir si- — /•/ =: 0. Cette équation, jointe à celle de la surface, donne la ligne des points paraboliques.

4BI2, Il est possible de déterminer les directions principales en s'appuyant sur ce qui précède. En effet, la sphère de centre P et de rayon PM coupe la surface, avons-nous dit, suivant une courbe qui a, en M, un point double à tangentes distinctes, réelles ou imaginaires. Ces tangentes s'obtiendraient de la manière suivante : écrivons T(cr, y) la fonction que nous avons jusqu'à présent désignée par la lettre T, et développons-la par la formule de Taylor

Tix + A, y 4- /.•) = T(.r, y) + /iT; -h AT;

+ l (^*-T>+ âAATly + A'T;.) -h ...

S'il y a maximum ou minimum, T^ = o, T^ ^= o, et la différence l{x-\- h, y + k) — (T^, y) a le signe de

I (An^i. r 2A/iT;^ + A'-'TW,

saut pour les deux directions obtenues, en égalant à zéro

LIGNES TRACÉES SLIl LES SLIîFACES 41» î

cette dernière parenthèse. Ce sont les directions suivanl lesquelles il faut s^éloigner dans le plan tangent pour qu*' la distance MP ne soit ni maximum, ni minimum, par rapport aux distances voisines. Ces directions sont, en général, distinctes; mais si l'équation (23) est vérifiée, cVst-à-din^ si le point P est en un des centres de courbure principaux, ces directions se confondent avec une des tangentes aux sections principales. La parenthèse qui vient d'être considérée étant un carré parfait, on a dans ce cas

hJ^: + at;^ = o, c'est-à-dire

[i + p2 ^(Z — ^)] (Iv + [pq^s (Z — z)] dy = O.

En tirant Z — 2 de cette équation, et portant dans Téquation (24), on aura une équation homogène du second degrr* en ûtr, dy, qui donnera dans le plan tangent les directions principales. On trouve ainsi, après suppression du facteur (1 + p^) s—pqr,

[(i + P') « - IW] dx^ + ^[{'\-p^)i^i\ + q^) r] dxdy

+ [pqf' - (1 + q^) A ^y' = o. (26)

Indicatrice

4B3. Des considérations ingénieuses, dues ji Dupin,per* mettent de synthétiser les résultats précédents et d*en pr«'senter de nouveaux sous une forme simple. Coupons la surface par un plan parallèle au plan tangent en M et infiniment voisin de ce plan. La section s'obtiendra en faisant z = h dans Téquation (13); on trouve ainsi, en négligeant les termes du troisième ordre,

h=:^[ax* -^ ^bxy -f- cy2). (-27)

Celte courbe est une conique; rapportons-la à ses axes en faisant tourner les axes de coordonnées de langle a, déjà défini plus haut par la formule (n'' 477)

lang2a =

a — c L'équation devient

h = Ax^ + cy\

les coefficients ayant les mômes valeurs que dans les paragraphes précédents. La conique homothétique de la précédente, située dans le plan tangent en M, et qui a pour équation

Zh 1 =rr AX« -I- CY2,

s'appelle V indicatrice de Dupin, On voit déjà que ses axes coïncident avec les tangentes des sections principales et qu'elle sera une ellipse dans le cas d'une surface convexe, une hyperbole dans le cas d'une surface à courbures opposées. L'indicatrice devient un cercle aux ombilics; elle dégénère en deux droites parallèles, symétriques par rapport au point M, pour un point parabolique.

Le signe ambigu, qui figure dans le premier membre, permet de s'arranger de manière à avoir toujours une courbe réelle, si la surface est réelle, c'est-à-dire si la surface admet, dans le voisinage du point M, des sections réelles. On peut, par exemple, convenir de toujours donner au premier membre le signe de A. Soit A positif; nous écrirons donc