Soient deux sections normales correspondant à deux
directions rectangulaires 'J; et '^ 4- ^' les diamètres X et a' de
Tindicatrice, ou les rayons de courbure de p^ et p^ de ces sections, vérifieront la relation
On appelle courbure moi/fifuw d'une surface en un point, la demi-somme de ses courbures principales. L'égalité précédente peut donc s'énoncer ainsi : La demi-somme des courbures de detw sections normales dont les plans soîU perpendiculaires entre eux est constante et égale à la courbure moyenne de la surface au point considéré.
Posons
il résulte do IVquation (25) que la courbure moyenne a pour expression, en fonction d\r et d'y,
M. DM
486. TuÉORÈMR. — Les tangentes en un point à deux courbes d'un réseau conjugué sont deux diamètres conjugués de r indicatrice de Du pin.
Pour le démontrer, supposons toujours l'origine des coordonnées en M, et prenons pour axes obliques des coordonnées dans le plan des x^ y les tangentes à deux courbes d'un réseau conjugué, l'axe des :; restant quelconque. On a, au
point M,
L'équation du plan tangent en un point {x, y, z) infiniment voisin de M, qui serait en général
Z ^ z = {p +dp) {X ^ X) + {q + dq) {Y -• y),
se réduit ici, si Ton pre,nd le point sur la courbe tangente à oy [x=zOy z = o), à
Z = sy\ + ty\,
en tenant compte de ce que
dp = rx-\- sy, dq = SX -{- ty.
Par définition des réseaux conjugués et à cause de notre choix des axes, ce plan doit contenir ox^ ce qui exige qu'on ait, au point M,
sy==:o,
et comme y n est pas nul,
or cette condition exprimée dans l'équation (13)
conduit à
L'indicatrice a alors pour équation
i=\[ax^+cy^y.
c'est bien la forme que prend l'équation d'une conique rapportée à deux diamètres conjugués.
Ce théorème a reçu le nom de théorème des tangentes con-
CALCIL INFINITÉSIMAL. 32
jvgiiées; il a une importance capitale dans VArt du traii^ car il permet de construire les tangentes aux courbes d'ombre ou de perspective, c'est-à-dire à la ligne de contact L d'une surface (S) et du cône ayant pour sommet le point lumineux ou le point de vue. Ce cône est la surface développable circonscrite à la surface (S) suivant la courbe L; la tangente à la courbe L en un quelconque M de ses points est donc le diamètre conjugué du rayon lumineux ou du rayon visuel correspondant par rapport à l'indicatrice au point M de la surface (S).
486 bh. Voici une autre proposition qui trouve aussi son application en Géométrie descriptive, et dont le Ihéor«>me des tangentes conjuguées est une conséquence immédiate.
Lorsqifff deux surfaces (S) et (SJ se touchent en un point M, leur ligne d'intersection L a pour tangentes en ce point les diamètres communs aux indicatrices des deux surfaces.
En effet, soit MZ la normale commune en M, M' un point de L infiniment voisin de M et P la projection de M' sur le plan tangent en M. Le plan ZMP donne dans les deux surfaces deux sections normales dont les rayons de courbure diffèrent Tun et Tautre infiniment peu de
