MM

A la limite, lorsque M' tend vers M,MP devient la tangente inconnue MT, et Ton voit que les sections par le plan normal ZMT ont la môme courbure au point M. La droite MT rencontre donc les deux indicatrices aux mêmes points; cette tangente est donc un diamètre commun aux deux indicatrices. Comme il y a deux diamètres communs, on voit que la ligne d'intersection L a un point double au point M.

En particulier, si Tune (S) des surfaces est développable, son indicatrice consiste en deux droites parallèles symétriques par rapport au point M, et tangentes à Findicatrice

de l'autre surface (S^). Les diamètres communs aux deux indicatrices se confondent donc avec la corde de contact, et Ton tombe sur le théorème des tangentes conjuguées qui se trouve ainsi démontré géométriquement.

Enfin, dans le cas plus particulier encore où Tune (S) des deux surfaces est un plan P, son indicatrice est la droite à rinPini et par suite le^^ tangentes à la ligne d'intersection de la surface (S|) et de son plan tangent P sont les asymptotes de rindiratricf* de la surface (Sj). Ce résultat a déjà été trouvé sous une autre forme, à la page 488.

Iles lignes de eourbure

^87, On appelle ligne de courbure d'une surface une ligne le long de laquelle les normales à la surface forment une surface développable. Cette définition a besoin d'être expliquée : les normales à une surface forment une C(mgruencc et, en général, comme Ton sait, la plus courte de deux •droites d'une congruenco est du premier ordre par rapport aux paramètres variables [u et v). Dans le cas spécial que nous examinons ici, les surfaces de la congruence prennent, d'après M. Mannheim, le nom de normalies, et ici, comme dans les congruences rectilignes quelconques, il y a deux manières de grouper les droites do la congruence, de manière à avoir des surfaces développables. Les lignes de courbure sont les traces sur la surface (S) des normalies développables et, lorsque nous disons, que le long d'une ligne de courbure deux normales se rencontrent, nous voulons simplement dire que la plus courte distance de ces droites est d'ordre supérieur au premier.

488. Formons l'équation différentielle des lignes de courbure. Soient

les équations de la normale dont le pied sur (S) a pour coor-

données j-, //, z ; soient

X — .r — (le 4- in + dp) {7.-^Z'-'dz)=zo | Y — y — c?y + (7 + ^7) (Z — -2- — rfz) = o y

les équations de la normale au point infiniment voisin. Pour que ces deux droites se rencontrent, aux infiniment petits du second ordre près, il faut et il suffit que

(/.y -[- j,fi^ ^ dy + qdz ,^

dp dq

Cette équation, développée après qu'on a remplacé dp^ dq^ dz par leurs valeurs en fonction de dx et de dy, sVcrit

'(i + P^) s — pqr] d,v^ + [i\ + p^) / — (1 + p^) r] drdy

+ [pqt - (i + q') s] dy^ ^ o. (31j

L'équation (30) ou l'équation (31) donnent la solution du problème. Elles définissent les deux directions du plan tanf^ent, suivant lesquelles il faut se déplacer pour obtenir des normalies développables. L'identité de celte équation et de l'équation (2(5) nous niontre que :

Les lignes de courbure se coupent à angle droit ; elles sont tangentes aux sections principales. En d'autres ternies, elles forment sur la surface un réseau conjugué orthogonal, et c'est évidemment le seul.

La démonstration directe de ce théorème est d'ailleurs des plus simples; il suffit de prendre les axes particuliers qui nous ont déjà servi, savoir la normale au point M pour axe des z et l(»s axes de l'indicatrice pour axes des x et des y. On a alors à l'origine

)) = o, q zz^ o, s = o,

et l'équation (31) devient

(/ — r) drdy =z o, ce qui donne bien |)our directions des tangentes aux ligne>

(lo courburo

i*'ost-à-dire les deux axes de coordonnées. 489. Aux ombilics

el l'équation des lignes de courbure est indéterminée. Cela ne veut pas dire que toute ligne qui passe en un ombilic est une ligne de courbure, mais seulement qu'il y a, en un tel point, plus de deux lignes de courbure. Il peut n'y en avoir que trois, comme l'a démontré* M. Darboux.

Le fait que Téquation des lignes de courbure est indéterminée aux ombilics permet de former aisément deux équations qui, jointes k celle de la surface, détermineront les ombilics; ces points sont donc en nombre limité. Il suflit pour les trouver d'annuler les trois coefficients des différentielles dans l'équation (31). On trouve ainsi trois équations qui se réduisent à deux

4»0, Posons encore la question de savoir s'il existe des surfaces dont tous les points soient des ombilics, ou, ce qui revient au même, dont toutes les lignes soient lignes de courbure. Il faut pour cela que les équations (32) soient identiquement vérifiées. Voici comment Serret, dans son Cours de calcul différentiel, a obtenu l'équation de la surface : les cosinus directeurs A, B, C de la normale en un point sont donnés par les formules

VI + P" + ?' VI +y + q' VI +i>* + q''

et les <5qualioi)s (32) expriuienl quo

Dy "~ °' ?j- ~ °' :>■•• ~ Dy * ' leçons générales sur la théorie des surfaces, t. IV, note vu.

502 CHAFIÏHE XIX

Donc A ne d(*pond que de j:, B de y et, comme leurs dérivées sont égales, elleij ne peuvent avoir qu'une valeur cons-

tante -• On a ainsi a

On en déduit

Donc

A li

yja^ — [x — x^Y — (y — yo)* et enfin

- — -»« = v^^' — (a? — x^Y — [y — yo'*- Cette dernière équation, rendue rationnelle,

est l'équation générale des sphères. La sphère (et comme cas particulier, le plan) est donc la seule surface dont toutes les lignes sont lignes de courbure.

40I. Les lignes de courbure étant tangentes aux sections principales, Téquation (31) est, comme nous l'avons déjà, di!, celle qui fait connaître les directions des tangentes aux seclions principales. Mais il importe de remarquer que le rayon de courbure d'une ligne de courbure ne coïncide nullement avec la normale à la surface. Ainsi, dans les surfaces de révolution, les lignes de courbure en un point M sont le méridien el le paralU'^le, vu que les normalies ayant ces lignes pour directrices sont respectivement un plan et un cône: or le cenln^ d'une parallèle n'est pas situé sur la normale MX a la >urface.

LIGNES TRACÉES SUR LES SURFACES 50*i

Ajoutons quVa un point M d'une surface de révolution, les plans des sections principales sont le plan m 'ridien ot le plan mené par la normale MN et la tangente au parallèle . Par suite le centre de courbure du méridien est Tun des centres de courbure principaux; quant h laulre, il doit, d après le théorème de Meusnier, se projeter sur le plan du parallèle au centre mMne de ce cercle ; c'est donc le point où la normale MN rencontre Taxe de la surface de révolution.

492. Vu Timportance des lignes de courbure, nous allons écrire leur équation différentielle avec des coordonnées curvilignes w, V quelconques.

Conservant les notations des paragraphes 473 et 474, nous aurons pour équation de deux normales infiniment voisines

X — g- — (f'V __ Y — y — dy Z -- s -- dz , , ,. A + ^A ^" B + ^H - C+.rfC -^■t-^^''-

S'il existe un point X, Y, Z commun aux deux normatles, on obtiendra, en égalant les valeurs de ces coordonnées tirées des deux groupes d'équations précédents, les égalités

dx ^- bd\ + Ar/e — o .

dy + 6/fB + B^/0 = o , (33)

dz + Of/C + Cdf} = o 1

qui, par Télimination de 0 et de rf6, donnent la condition cherchée

du- d\ A

di/ dB B = o. (34)

dz dC C

Il suffira de remplacer d.r par ^ ^'' + ^ (à\ d\ par — - du -+- "— dv, etc., pour avoir l'équation du second degré

du cV

en f/w, di\ dont Tinlégration fera connaître les lignes de courbure cherchées. Cette équation se décomposera en deux

du ^ ,

Chacune de ces équations donnera par intégration, comme on le verra dans le second volume, une équation telle que

Ff«^ r, X) = o,

X étant un paramètre variable, et cette équation, jointe aux équations (1), délinira une famille de lignes de courbure tracées sur (S).

40I2. Equation aux rayons de coukbuhes principaux. — Soit R Tun de ces deux rayons. On a

R z= V(X - xf + (Y - yY + (Z - ,r^ = H VA^ + B* + C», or les équations (33) développées peuvent s'écrire

Eliminons entre ces équations du^ di\ d^ et remplaçons 6

par sa valeur —== =1 nous obtenons Téqualion du

second degré

^£ ___R___^ cU- R :)A ^

^u y^A'-'+B^+C^^^ ^^ VA^+B^+C» ^"^^

Tiz R ;)C cV R ^C

<^w VA^+B^+C^^w' :>i?"^v'A*+B2+C«^»'

Pour retrouver Téquation (25) il suffira dans cette équation de faire

On trouve ainsi

Vi+^,» + ç»

Vi+y-h

c'est l'équation (25).

493. Comme première application, nous chercherons les lignes de courbure des surfaces de révolution. Nous supposerons que l'axe de la surface ait été pris pour axe des z\ son équation sera alors

Le plan tangent en un point ayant pour équation

(X ~ X) ^Ix + (Y - y) 2j/ - (Z - z) (p'(z) = o, on aura

d\ =: 2e/,r, r/B = 2^y, r/C = — 9'' (^) e/^. L'équation (34) est donc ici

dx, 2j;, Mx

dy, 2y, My

dz, -o'(.i, -<p"(;r)./^

506 CHAPITRE XÏX

Le second facteur égalé à zéro donne les méridiens

y — Ce = o ;

le troisième, d'où Ton tire z ^-- C\ correspond aux parallèles. Enfin de

,on déduit

et Téquation de la surface de révolution

représente une sphère sur laquelle les lignes de courbure sont indéterminées; on retrouve ainsi un résultat démontré d'une manière générale, n" 490.

4f>4. Comme seconde application, nous chercherons (»ncore les lignes de courbure des surfaces développâmes .

Une telle surface s'obtient par rélimination du paramotn» u entre les deux équations (n° 427)

y = àz + p r (^'

dans lesquelles a, a, 6, 3 désignent des fonctions de w; soient a\ oi\ b\ 3 , leurji dérivéï^s par rapport à t/ ; on a de plus, par hypothèse, entn» ces quantités, la relation

En posant z = v, on aura

-- — a'z + a', rf- = h'z ou eu

Dy ^

A = 6'^ + p', B = — {a'z + a'), C = {ba' — a6') ^ -f 6a' - a^'. Mais de IVquation (39), on tire

"k étant une fonction de u ;

Doù

A = b'iz +. X), B = ^a'{z + X), C = {ba' — ^lô') r^ 4- /)

?V dC OV

Si Ton porte ces valeurs dans l'équation (34), on verra que le coefficient de r/t>-, c'est-à-dire le déterminant,

i , [ba' — aô') (^ + a), ba' — a^^'

a deux colonnes proportionnelles ; il est donc nul, et Téquation (34) développée est de la forme

Vidii^ -^"^dudv = o;

on aperçoit immédiatement une solution

rfw nr o,

ce sont les génératrices rectilignes de la surface développable. La seconde famille de lignes de courbure serait donnée par l'intégration de l'équation

qui ne peut pas être ellVctuée en général.

495. On peut enfin, par les mêmes formules, trouver les lignes c/e courbure de f ellipsoïde.

A cet effet nous poserons

avec

Ces valeurs de j:, y, 2 véri lieront bien l't^quation de Tellipsoïde, à cause des identités connues

: + 7^ — zrn^ — r; + t. — zrr. — r\ = ^^

, + TE — ±7^ — 3 + 7:: — ifrT — ^ = « •

Il sera alors facile de calculer 7-» ^> ^> etc. ; on trouvera

^u Dv T^u

ainsi pour les lignes de courbure, par un calcul un peu long,

mais sans difficulté, une équation de la forme

}Adicdv ^^ 0,

dans laquelle M est une quantité essentiellement différente de zéro.

Les lignes de courbure auront donc pour équations, soit

u = C^% soit

Leurs projections sur les plans de coordonn(^es, obtenues en éliminant le paramètre variable [v ou ?/) entre deux des équations (41), seront des coniques ayant pour axe respeclivement ceux des ellipses principales de Tellipsoïde.

^96. Ce résultat est susceptible d'une intéressante interprétation géométrique ; pour Texposer rapidement, nous remplacerons dans l'ellipsoïde a-, ffi, c^ par a — ^^, Ji — u\ Y — w. L'ellipsoïde a ainsi pour équation

et les formules (41) contiennent n, t\ w symétriquement. Les coordonnées de la ligne de courbure i/ =^ C vérifieront donc aussi l'équation

c'est-à-dire que celle ligne de courbure sera l'intersection de l'ellipsoïde donné et de la quadrique homofocale

On sait que l'équation

représente une famille de quadriques dont les sections principales ont les mômes foyers; suivant que À est inférieur, supérieur aux quantités a, g, y, ou compris entre les extrêmes, l'équation représentera un ellipsoïde réel, un ellipsoïde imaginaire, ou un des deux hyperboloïdes.

Restant dans le domaine riM^I, nous voyons que les lignes de courbure dun système sur l'ellipsoïde proviennent de l'intersection de celte surface avec les hyperboloïdes homo-

focaux à une nappe ; le second système des lignes de courbure proviendra des hyperboloïdes à deux nappes.

Chacune de ces surfaces est coupée orthogonalenient par les autres, c/esl-îi-dire quVn chaque point de rinterseclion on a

(oc - a) (a - tr; "^ (p — u) (p — xc) "^ (y — «) (y — «?) - '

en effet cette dernière équation résulte de la soustraction des équations (42) et (43).

L'équation (44) est du troisième degré en a, c'est-k-dire que, par chaque point de l'espace, il passe trois des quadriques de la famille. Voilà donc des surfaces telles que, par chaque point de l'espace, il en passe trois; ces surfaces .se coupent orthogonalement et forment ce qu'on appelle un synthne triplement orthogonaL Leurs intersections mutuelles sont lignes de courbure sur les surfaces auxquelles elles appartiennent. C'est un cas particulier d'un célèbre théorème, dii à Dui>in, et que nous allons établir.

Théorème de Dupin H\iv les systènies triplement orthogonaux

407. Trois familles de surfaces, deux à deux orthogonales^ se coupent mutuellement suivant leurs lignes de courbure.

Les familles de surfaces dépendent chacune d'un paramètre qui reste constant sur une surface déterminée; soient u^ i\ it\ ces paramètres. Nous supposerons que les équations des trois surfaces aient été résolues par rapport à:r, y, js, de sorle que les coordonnées d'un point de l'espace s'expriment par des formules de la forme

; .r=r^(M,r, to),

y rrr/'2(w,r, W?),

Si «/', par exemple, reste constante, ces formules expriment les coordonnâmes d'un point de la surface (w); si deux paramètres II, V, restent constants, elles représentent la courbe d'intersection des surfaces (u) et (v) ; sur celte courbé, w seule varie.

Une fois posés ces preîliminaires, qui s'appliquent à toute représentation de l'espace en fonction de trois paramètres, c'est-à-dire à tout système de coordonnées, venons au théorème de Dupin.

Si les plans tangents aux trois surfaces qui se croisent en un point forment un trièdre trirectangle, il en sera évidemment de même des tangentes aux intersections mutuelles de ces surfaces prises deux à deux. On aura donc les conditions

et deux autres analogues ; nous (crirons, par une abréviation facile à saisir,

V ^•'" *^'" ^ ii-\

Dérivons chacune de ces équations par rapport a la variable qui n'y entre pas; nous obtiendrons trois équations, telles que

Yi ^^z' ^ i V ^'*' ^^''

Additionnant ces trois équations, et retranchant chacune de la somme, nous trouvons

Eliminons 7- ? ^^"> f^» par exemple, entre la dernière éqna- ^w ^w ^w ' ' ^

tion du système (46) et les deux dernières équations du système (45); nous trouvons

Dmi>C

Cette condition exprime (n° 475) que les surfaces (m) et (v) découpent sur la surface [u)) un réseau conjugué; or ce réseau est déjà orthogonal en vertu des hypothèses ; c'est donc le réseau des lignes de courbure.

M. Darboux a complété ainsi le théorème de Dupin : lorsqu'on a deux familles de surfaees se coupant mutuellement à angle droit, et suivant des lignes de courbure cornmunes^ il curiste nécessairement une troisième famille de surfaces qui forme ar.ec tes deux premières un système triple orthogonal,

La démonstration résulte immédiatement du théorème suivant, que nous nous bornerons à énoncer, et qui généralise un théorème, démontré au n* 460, sur les congruences rectilignes :

Les surfaces d'une congruence quelconque^ qui sont assujetties à contenir une courbe de cette congruence^ et à admettre en un de ses points M la tangente MT comme direction principale, forment deux séries distinctes et so?it tangentes à deux plans différents passant par la droite MT; réciproquement^ toute surface de la congruence, tangente en M à un de ces deux plans, satisfait à la condition proposée. Pour que les courbes de la congmience admettent des surfaces trajectoires orthogonales, il faut et il suffit que les deux plans précédents soient toujours rectangulaires.

40II. GonoLï.AiHE. — La transformation par rayons vecteurs réciproques conserve les lignes de courbure, — En effet

complotons un système triplement orthogonal qui comprenne la surface (S), en adjoignant h ces surfaces les surfaces parallèles; ce qui fait une première famille, el les normalies développables le long des lignes de courbure, ce qui constitue les deux autres familles. Dans Tinversion, ce système se transforme en un autre système triplement orthogonal, et les intersections mutuelles des surfaces restent lignes de courbure, en vertu du théorème de Dupin.

Formules d'Olinde Rodi*igues

499. Ces formules résultent imm(?diatement des égalitt^s (33). Supposons, en effet, que, dans les i^quations de la normale, A, B, C, au lieu de représenter des quantités proportionnelles aux cosinus directeurs de la normale, désignent ces cosinus eux-mêmes, c'est-à-dire que

\i +B« + CJ = 1, ou

ArfA-f-BrfB +CdC = o;

on a alors (n° 492)

De plus, en multipliant les équations (33) respectivement par A, B, C et ajoutant, on irouve

(A* +B^ + CJ) d-i =: o,

parce que,-à cause de la perpendicularit '• de la normale et de l'élément dxy dy^ rf^, on a

kdx -\- Bc/y -|- Cdz =. o.

Donc, en excluant les surfaces imaginaires qui satisferont à la condition

Aa + B« -f. C2 r o, on trouve

et les formules (33) se réduisent à

dx + RrfA = o \

rfy + Rf^Br:^o |. (47)

dz + RrfC ^ 0 )

Ce sont les formules d'Olinde Rodrigues. Elles supposent qu'on a fixé un sens sur la normale et que R est positif ou nf^gatif.

On peut donner de ces formules la démonstration intuitive qui suit. Soit MM' un arc infiniment petit d'une ligne de courbure ; les normales à la surface aux points M et M' se coupent (n° 487) en un point 0 qui est le centre de courbure de la section normale en M, et Ton a sensiblement MO = M'O = R.

Si A, B, C désignent les cosinus directeurs de la normale MO, ot A + ^A, B + </B, C + ilC, ceux de M'O, on aura, en projetant le contour fermé OMM'O sur les trois axes

pr. OM + pr. MM' + pr. M'O = o ;

par exemple sur Ox

OM X A 4- ^a? + M'O (A + rfA) =. o, ou

— R X A -t- ^o; + R (A + rfA) = o, ou enfin

dx + RrfA =r o.

Lignes de eoui*bure eominiiiies à deux surfaces

oOO. Les formules d'O. Rodrigues fournissent une démonstration aisée d'un beau théorème de Joachimstahl : Deux surfaces qui ont une ligne de courbure commune se coupent en tous les points de cette ligne suivant le même angle.

Soit un élément ds de la ligne commune, dont les projections sur les axes sont dx, dy, dz\ appelons R et R| les rayons de courbure principaux correspondants dans les doux

surfaces, eî A, B, C, Ap Bj, Cj, leurs cosinus directeurs. On aura par les formules d'O. Rodrigues

dx + RrfA = 0, dy + RrfB ^ o, ds '\- RrfC = o,

dx 4- R«c£A^ = 0, dy-\- R,rfB^ = o, dz + R,c?C, = o;

multiplions les (égalités de la première ligne respectivement par RjAj, RiBj, RjCj, membre \\ membre, celles de la seconde par RA, RB, RC, et ajoutons. Si Ton remarque que la perpendicularité des rayons de courbure aux lignes de courbure entraîne les égalitt's

A,fAr -|- B/'.y -f- (-1^^ -- o, i\dx + Y^dy-^Cdz =r o, on trouve

Ac/A, + BrfB, + C(/C, + A^rfA + B,f/A + C,rfC = o,

c?(AA, + BB, +CC,) = o.

Donc

A A, + BB, + ce, = C»%

c'est-à-dire que les normales aux deux surfaces Amt entre elles un angle constant.

r>01« Ce thporème résulte immédiatement de la théorie des développées. Nous avons en elTet démontré (n** 447) que les normales d'une courbe I^ qui enveloppent deux développées différentes se coupent sur L, suivant un angle constant ; cette propriété s'applique évidemment aux normales considérées dans le paragraphe précédent, qui, en vertu même de leur définition, enveloppent une développée de L.

Réciproquement, si deux surfaces (S) et (S') se coupent suivant U7i angle constant le long d'une courbe L, et si cette courbe est ligne de courbure pour (S), elle est aussi ligne de courbure pour (S'). En ellet, par hypothèse, les normales de (S) enveloppent une développée de L; les normales de (S') le long de L, faisant un angle constant avec les précédentes,

onvi^loppont aussi une dt^veloppée de L, et, puisqu>lli>s forment une développable, L est une ligne de courbure

de (S').

50^. I^ir exemple, si un plan ou une sphère coupeni une surface suivant un angle constant, rintersection est une ligne.de courbure de cette surface. Car tontes les courbes tracées sur un plan ou sur une sphère sont des lignes dt* courbure du plan ou de la sphère.

Surfaces*envel6ppe8 de sphèi*es. Cyt^lidcs

503. Parmi les surfaces à lignes de courbure planes, nous considérerons en particulier celles (S) pour lesquelles un des systèmes de lignes de courbure est formé de circonférences. Dans ce cas, les normales à la surface le long d'une des Iignes.de courbure circulaires vont rencontrer Taxe de cette circonférence en un même point 0, et la sphère qui passe par la circonférence et qui a pour centre 0 louche la surface (S) le long de- cette ciiTonférence. (S) est donc une enveloppe de sphères.

Réciproquement toute enveloppe de sphères à un paramètre a un système de lignes de courbure circulaires. En effet la caractéristique d'une de ces sphères est évidemment une circonférence ; les normales à la surface le long de cette circonférence sont les rayons de la sphère et, par suite, font un angle constant avec le plan de la circonférence, et comme celle-ci est ligne de courbure sur la sphère, elle est aussi ligne de courbure sur la surface-enveloppe.

504. Dupin a appelé cyclides les surfaces dont les lignes de courbure sont circulaires dans les deux systèmes. D'après ce qui précède, ces surfaces sont de deux manières enveloppes de sphères ; leurs normales rencontrent deux courbes, auxquelles se réduisent les deux nappes de la surface des centres de courbure.

En un point d'une de ces courbes, centre d'une sphère enveloppée, les normales qui y passent forment un cône de révolution; ces normales rencontrent la deuxième courbe, qui est ainsi située sur un cône de révolution et, de môme, sur une infinité de cônes de révolution ayant leurs sommets sur l'autre courbe. On reconnaît le système de deux coniques focales, dont chacune est le lieu des sommets des cônes de révolution qui passent par l'autre. Les génératrices de ces cônes constituent la congruence des normales à une famille de cyclides parallèles.

On peut ici faire une application du théorème que nous avons démontré (n° 461) relativement aux congruences de normales. Les deux plans focaux sont en eflFet les plans tangents aux deux développables réduites aux cônes, dont les sommets S et S^ sont sur les coniques focales; or c'est une propriété bien ccmnue de ces coniques que Taxe du cône de révolution de sonnnet S est précisément tangent à la conique qui renferme ce sommet . Le plan tangent au cône Sj passe donc par l'axe du cône S et est perpendiculaire au second plan tangent. Les droites SS| sont donc bien normales à une surface.

50o. Considérons trois sphères qui ont leurs centres sur la première conique; une sphère quelconque de la seconde série touche les trois premières aux points où sa caractéristique touche les caractéristiques de ces trois sphères. La cyclide peut donc être considérée comme l'enveloppe d'une sphère tangente à trois sphères données.

Soient C, C, C" les centres de ces trois sphères; faisons de la figure une transformation par rayons vecteurs réciproques, en prenant le pôle d'inversion sur la circonférence qui passe par('., C', iV\ Les trois sphères transformées auront leurs centres en ligne droite; la surface nouvelle sera l'envehippe d'une sphère tangente aux trois sphères précédentes, elle admettra évidemment la ligne des centres CC'(7' comme axe de symétrie. La caractéristique de la sphère enveloppée sera une circonférence F dont les points de contact avec les sphères fixes s(mt dans le plan de l'axe, et la surface-enve-

loppe sera un tore engendré par la révolution de F autour de l'axe. Dans cette transformation, les plans des lignes d<> courbures circulaires se transformeront en sphères: mais, comme les angles se conservent dans l'inversion, ces sphères couperont le tore suivant un angle constant le long d'une circonférence transformée, et cette circonférence sera encore une ligne de courbure du tore. Il était d'ailleurs évident que les lignes de courbure du tore étaient, d'une part, les parallèles, d'autre part les circonférences méridiennes. Les cyclide^ de Dupin sont donc les inverses du tore (Mannheim i.

506. Il est à remarquer que, dans le tore, les sphères qui ont pour caractéristiques les circonférences méridiennes sont toutes égales. Le tore est donc une uf r face-canal : on appelle ainsi l'enveloppe d'une sphère de rayon constant dont le centre décrit une courbe quelconque. Il est évident que, dans ce cas, la caractéristique de la sphère enveloppée est un grand cercle normal au lieu des centres.

Kepi'éseiitaiion spliérique de Gauss

507. Nous allons maintenant étudier l'important mode de correspondance des surfaces dû à Gauss et connu sous le nom de représentation sphérique.

Fixons sur la normale en M à la surface (S) un sons, et par le centre 0 d'une sphère de rayon égal à l'unité, menons une parallèle à cette normale dans le sens lixé. Cette parallèle perce la sphère en un point m qu'on appelle Virnage sphérique ou la représentation sphérique du point M.

Si le point M parcourt une ligne sur (S), son image m parcourt sur la sphère une ligne, image de la première. Les plans tangents aux points correspondants étant évidemment parallèles, les tangentes conjuguées des tangentes à une ligne et à son image sont parallèles; en d'autres termes, Fimagt* (/) d'une ligne ( L) fait avec (L) un angle complémentaire de celui que (L) fait avec sa conjuguée.

Par exemple à la tangente d'une ligne asytnptotique (ligne tangente à une asymptote d'une indicatrice) correspond une droite perpendiculaire. Nous utiliserons plus loin cette propriété.

A une tangente principale correspond sur la sphère une tangente parallèle. Les formules d'O. Rodrigues ne font qu'exprimer cette propriété : en effet les coordonnées du point m sont évidemment les cosinus directeurs de la normale en M. Exprimons que les déplacements de M et de m sont parallèles; nous obtenons les conditions

dx dy dz

dX"'dB'^ dC.'

qui ne sont autres que les équations (47}, dont on a éliminé R.

508. La représentation sphériqne (F une ligne de courbure plane L est une circonférence ; car les normales à la surface le long de L font un angle constant avec le plan de L (n** 502), et les parallèles à ces normales menées par le centre de la sphère sont les génératrices d'un cône de révolution qui coupe la sphère suivant une circonférence.

Réciproquement, si la représentation sphérique d'une ligne de courbure L est une circonférence, la ligne de courbure est plane ; en effet les tangentes de L, étant parallèles à celles de la représentation sphérique, sont parallèles à un plan, et L est une courbe plane.

Ligaes asymptotiques

509. On appelle lignes asymptotiques d'une surface celles qui ont en chaque point pour tangente une des asymptotes de Tindicatrice. Le paragraphe précédent permet d'obtenir immédiatement leur équation différentielle; eu effet, exprimons qu'elles sont, en chaque point, perpendiculaires à leur image. Nous obtenons l'équation cherchée

d.vdX + dydB + dzdC = o, (48)

dans laquelle il n*y a plus qu*à remplacer dx par

ilff par

Dans le cas particulier où les variables indépendantes sont î/ = T et r = //, l'équation précédente devient

dpdx -}- dqdy = o, (49)

rdx^ + ^dxf^y -f- /û^y* = o. (50)

51 0. Une remarque importante s'impose ici : Téquation (48) subsiste même si A, B, C désignent non plus les cosinus directeurs de la normale, mais simplement des quantités proportionnelles. En effet il faut, dans c^tte hypothèse, écrire au lieu de dk

ou ■ + Aa.

y/A- + B*^ + (:« \/A« -I- B^ + C« V A-* + IP + C«

mais les termes, qui se trouvent ainsi ajoutés dans l'équation (48), disparaissent, parce que Ton a évidemment

\(U + Wdy + Cdz z=: G.

r>I 1 . Théorème. — Le plan oscillateur d'une ligne a^ymptotique en nn point est tangent à la surface en ce point. Le plan tangent à la surface a pour équation

Nous devons exprimer qu'il contient, outre le point .r, y, ;;,

les points x + dx^ y + dy^ z '\- dz, et jc + dx + - d-x^

y + dy -\-- d^-y, z + dz-^-- d^z, ce qui donne les condi-

tions

Adx + Bdy + Crfs = o (51)

Ar/«./- + BdV -|- ÇA^z = o.

L'équation (51) est identiquement vérifiée; elle exprime que la normale est perpendiculaire à la tangente. En la différentiant et en retranchant (48) du résultat, on trouve IVquation (52). Le théorème est donc vérifié.

On voit, de plus, que l'équation (52) est équivalente h Téquation (48); elle peut donc, au nièuie litre que celle dernière, être prise pour équation des lignes asymptotiques. Elle peut encore s'écrire

?if

ou en remplaçant les différentielles secondes par leurs valeurs

Dm*

DwD»

rftt» +2

D* Dm

cludv

iz 7>v

Dt)

Ds Dr

Dp»

D^ Di.

512. Il est intéressant de remarquer que cette équation prend la forme simple

lorsque le réseau (//, v) est conjugué (})). Ce résultat s'explique aisément dans le cas particulier où Ton a pris pour axes des x

et (les y les tangentes \\ deux courbes du réseau conjugué. L'équation s'écrit alors

et elle exprime que les tangentes asymptotiques coïncident avec les diagonales du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués de rindicatrice.

513. Dans le cas des lignes asymptotiques, le théorème de Meusnier se trouve en défaut. En effet, Téquation (15), qui donne le rayon de courbure d'une courbe dont le plan osculateur fait avec la normale Tangle Yi est

p = p^, ces Y-

Mais ici y = ^' ^^^ y = o et po = ^^ puisque la section

normale a pour trace, sur le plan tangent, une asymptote de rindicatrice. Le lecteur pourra voir dans le tome II des Leçons sur la Géométrie des surfaces^ de M. Darboux, page 397, comment il faut procéder dans ce cas.

514. Pour la section de (S) par son plan tangent, comme pour la ligne asymptotique, la formule de Meusnier devient illusoire; mais il existe entre les rayons de courbure de ces deux courbes une curieuse relation due à M. Beltraaii, et que nous nous bornerons à faire connaître sans démonstration : le rat/on de courbure de la section plane est égal à trois fois la moitié du rayon de courbure de la ligne asymptotique.

Nous donnerons enfin un dernier résultat relatif aux lignes asymptotiques; si Ton appelle tq la torsion de la ligne, R et R' les deux rayons de courbures principaux de (S), on a