Il n'existe pas de règle générale pour reconnaître si

fn^

)dx est bien déterminée, pas plus qu'on ne sait en

général, reconnaître, si l'intégrale / f{x)dx conserve un

sens défini lorsque /(.r) devient infinie pour une valeur de x comprise entre a et 6.

Voici deux théorèmes qui permettent de résoudre la question dans des cas assez étendus.

1 1. Si, pour X = Xof f{x) devient infinie^ mais si le produit (x — ^offi^) conserve une valeur finiey * étant inférieur à

runité, rintégrale 1 f[x)dx^ où Von a a <CXo<:ibyanraun

sens bien détermine.

Il suffit évidemmeat, à cause de la définition, de démontrer que chacune des intégrales suivantes

/ fix)dw et / j

a un sens bien déterminé ; la démonstration esl ta même pour les deux. Nous n'examinerons que la première. Soit A la limite du produit {x, — x)' f(x), on aura, pourvu que x soit suffisamment voisin de x„ {x < x„),

t étant un nombre donné aussi petit qu'on voudra. Ou déduit de là

et par suite

Or l'intégrale qui figure dans le premier et dans le troisième membres a une valeur L bien déterninée. L'intégrale

/ f{x)dx a donc une limite A X L bien déterminée.

De méme,si ce produit ne tend pas vers zéro, et sia est supérieur

à l'unité, l'intégrale / f{T)dx n'a pas de sens ; l'expression

croit sans limite quand c tend vers zéro. La démonstra-

tîoa est identique à celle qui vient d'être donnée : on pourra, pour t sufBsamment petit, et en supposant, par exemple

(Xo — xf f(x) positif, trouver un nombre n tel que Ton ait ou, comme (x^ — x)*est positif,

ou, en intégrant

fÇv)dx > 71

(Xo — xf

L'intégrale du second membre a pour valeur

-1 L-» (xo^yA

{xo ~ y

et croit sans limite lorsque t tend vers zéro.