Si, pour x infiniy le produit x^ f{x) reste inférieur en
valeur absolue à un nombre donné Zr, r intégrale 1 f{x)dx
aura une limite^ pourvu que n soit supérieur à Funité.
Supposons positives les quantités x^ f{x), et par suite L, ce qui facilite Técriture sans diminuer la généralité de la démonstration. On aura
x^f{xXU d'où
14 CHAPITRE f
et, en intégrant,
fix)d.K < j^- [^. - ^ LJ
Lorsque x croit à Tinfinî, le second membre a une limite finie ; il en est donc de même du premier qui est une somme de quantités positives.
En particulier, si L est la limite du produit af^ f{^)j on aura
/ i^^y^ = l^^-ZTK ^^
Au contraire si n est supérieur ou égal à Funité et si le produit X" f{x) reste, pour x suffisamment grande supérieur
en valeur absolue à un nombre donné
y Vintégrale j f{x)dx
n^aura pas de limite. La démonstration étant analogue aux précédentes, nous nous dispenserons de la donner.
10« Par exemple, les deux théorèmes précédents permettent d'affirmer que
ri
dx
Xx) {p: — x^) (a? — 073)... ' ^' a
est infinie, tandis que
dx . I dx
et
ont des valeurs bien déterminées, x^ étant une racine du polynôme soumis au radical et a un nombre inférieur à cette racine,
DES INTEGRALES INDEFINIES 15
mais sapérîeur à la racine qui est immédiatement inférieure à Xj. Â vrai dire une nouvelle difGculté se présente ici, les quantités soumises au radical pouvant être négatives ; mais nous supposerons, dans ce cas, qu*on a changé tous les signes, ' sauf à multiplier l'intégrale pary — 1.
• De même [on peut affirmer que / e'^^dx a une valeur
finie.
Rappelons que les théorèmes de la moyenne permettent d'aller plus loin. Nous avons vu par exemple (n* 9) que Tintégrale
dx
yj{\ «. X^) (1 — k^X^)
est comprise entre
-ïi . ■ t:
el
L'intégrale
peut s'écrire
Pour les valeurs de x positives et inférieures à l'unité on aura
j6 CBAPITBE 1
La première expression peat s'intégrer complètement» car
on connaît la fonction primitive de x* ~'*, qni est — 9 ^ "' ' on a donc
il «
e-'\cdx = 2 ( i — - j
et
