IB
qu'on peut faire correspondre à
j-, = ar^ — e et x, A. j = :ro -h e', tend
vers zéro, quelle que soit la valeur
donnée à /"(Ji), lorsque e et e' tendent vers zéro ; sa valeur
n'influe donc pas sur la somme "S /(?*)'>, j-i — ^i). L'intégrale
représente encore Taire aABC!\l{jLa.
12. En second lieu, admettons que, pour x = x^, f{x) devienne infinie. Ici il faut y regarder de plus près.
FiG. 1
Reprenons Tégalité (4) que nous écrirons ainsi
L'intégrale intermédiaire
Xo — e
qui tend vers zéro en môme temps que e et e' lorsque f(x) demeure finie, perd toute signification^ en général, si {(x) devient infinie pour x = x^. Supposons alors que les intégrales
f(x)dx et / f{x)dœ
aient, dans les mômes hypothèses, des limites bien déterminées ; nous prendrons pour définition de l'intégrale définie
Tégalité
f(x)dx =:[im j f(x)dx -[-ïim j f[x)dx,
^ a ^ Xo + fi'
Cette définition ne suppose pas que l'intégrale / tende
vers zéro ; mais, si cette dernière intégrale tend vers zéro lorsque e et e' tendent d'une manière quelconque vers zéro, les
intégrales / et / tendent évidemment vers zéro ; les
et /
DBS INTÉGRALES INDEFINIES 0
intégrales qui figurent dans le second membre de Tégalité (9) ont des limites et cette égalité s'applique.
f 3. Considérons par exemple l'expression L*intégrale indéfinie de x^dx est
et Ton aura (n<^ 3)
Mais il faut, pour que cette formule subsiste» que x^ ne devienne pas inBnie dans le champ de l'intégration, c'est-àdire que a soit positif, ou^ si cet exposant est négatif, que les conditions exposées au n^ 12 soient remplies.
Dans ce dernier cas, x^ devient inGnie pour 2: = 0, et nous avons à examiner l'intégrale •
X dx = à
lorsque % et *' tendent simultanément vers zéro. Pour que cette intégrale devienne nulle, il faut et il suffit que l'exposant a + 1 soit positif, ce qui donne la condition
Oa a alors
x^dx = lim
lim I x^^dœ -h lim 1 x doo =
comme dans le cas où a est positif.
Si a = — 1, on a j:* = -,
dûs ,
— = log ^»
ce qui exige essentiellement que x soit positif. L'intégrale
►+1 dx
n'a aucun sens jusqu'à présent.
Si Ton a a < — l, les deux intégrales / x^dx^i j x^dx
\ I x'^dxel I x'^i
sont infinies et leur somme n'a aucun sens.
14, Les limites de l'intégrale ont été, jusqu'à présent, supposées finies. Faisons maintenant croître à l'infini la limite supérieure 6. Si l'intégrale tend vers une limite, on aura, par définition,
f{x)dx = lim / f{x)dx.
DES INTEGRALES INDÉFINIES ii
1 5. Soit par exemple f{x) = — , (p > 1 ).
xi' On aura
dx ^ i / 1 l\
xi' 1 — p \bi*'^ ai"^)
(iO)
et
dx
Si au contraire jo est inférieur ou égal à l'unité, le symbole n'a plus de sens ; le second membre de (10) croit çans
limite.
