On donne ce nom & l'équation différentielle
qui ne rentre dans aucun des lypes précédents mais qi place marquée à côté d'eux.
En diriBtnt par ^ , on obtient l'équation
qu'on peut encore licrire
d'où, en ialégrant,
^. /CMJ' /îW*
364 CHAPITRE Xll
On tire de là
et, comme les variables sont séparées, on peut intégrer immédiatement, ce qui donne
/'''''' dy = C,^ G e-f'^'^'^d. (47)
OÙ C et Cj sont des constantes arbitraires.
445. Voici un problème qui conduit à une équation de la forme (40).
Soit BM un arc de courbe plane. Désignons par u Taire A B M P comprise entre Tare B M, sa projection A P sur Oj-, l'ordonnée fixe A B et l'ordonnée variable PM = y. Appelons A la moyenne harmonique entre Tâbscisse 0 P = ^ et la sou*tangente T P = /, c'est-à-dire le segment rectiligne déterminé par la relation
2 11 „ , , 2xt
-h - d où h =
On demande de trouver la courbe par la condition que faire u soit cotistammetit égale à la moitié du rectangle qui a pour dimensions y et h.
On a d'abord
Mais, ea vertu des relations biens connues
Jy' y~~dx' dx — dx*' ^ '
on peut mettre l'équation (48) sous la forme
d'u du
^ fZF» "^ dx
KQUATIONS DIFFERENTIELLES A DBCX VARIADLES
dx' X dx
Cette équatioQ renlrc dans le type (46) et par cons d'après la formule (47), elle a pour intégrale générale
dans le , elle a
/ a ■' . rfw = C, -t- C / e •' dx
OU bien
log K = C, -^ C log X c'est-à-dire
Oa aura eniin la courbe demandée en remplaçant u \ expression dans la seconde des relations (49). On trou les courbes du genre parabolique
y = hx\
B et P étant des constantes arbitraires.
Problèmes relatiTs iV la courbure «les ligaes |
440. Avant de traiter ces problèmes, nous devons s une expression remarquable du rayon de courbure p en f du rayon vecteur r et de la dîsiancc P de l'origine à gente.
On obtient cette formule
rdr P=rfP
en éliminant ds et rfo entre les relations bien connues
ds ., dr . ,, rrfS
566 CHAPITRE XU
puis en remplaçant r sin V par P ; 6 désigne rargament et Y l'inclinaison de la tangente sur le rayon vecteur.
447. Trouv(*r la courbe plane dont le rayon de courbure est une fonction donnée de F abscisse.
L'équation différentielle du problème est
Elle ne contient pas y ; on pourra donc (n" 439) abaisser son ordre d'une unité, c'est-à-dire la ramener au premier ordre. A cet effet, on pose
ce qui permet de mettre Téquation sous la forme
dp dâc
(1 •+-p^y~fC'^y
Les variables étant séparées^ Tintégration est possible et donae
= XH-a
X désignant l'intégrale j j^ . On sait d'ailleurs résoudre cette équation par rapport à p ; on trouve ainsi
dxi X H- C ^ ou ^ =
et par suite
-hé
^ -t-g — d.T. ^ ry
Il y a deux cas intéressants.
Le premier cas est celui où l'on a
/■(x) = conslanle = R ; IL en résulte d'abord
Vt/ffc
— C,) dx
qui représente des ccrctes de r&yon R.
Le second cas est celui où l'on a
a était une constante donnée.
Il en résulte d'abord
puis, en remplaçant la constante C par -,',
' dx H
Celte équation s'intègre au moyen des tonctions elli Elle est susceptible de diverses inlerprétalions : ainsi, d'abord la consid<!rer comme reprt'sentant la courbe éi c'est-à-dire la courbe formée par une lame de ressort (i; bout et portant un poids à l'autre. C'est aussi l'équati
courbe que décrit le foyer d'une ellipse ou d'une hyperbole dont le grand axe est donné en longueur et qui roule sans glisser sur Taxe des x.
448* Trouver la courbe plane dont le rayon de courbure est une fonction donnée du rayon vecteur.
En coordonnées rectilignes Tëquation différentielle du problème est
