L:!ljiLl = , w
Mais
P r= r sin V = - ,- =
c'est une équation de second ordre assez compliquée ; et, il est assurément préférable d'employer les coordonnées polaires et de recourir à la formule
rdr
du n** 44G. On a ainsi pour Téquation différenlielle
rdr f .
et une première intégration donne
en posant, pour plus de simplicilé,
^^^ \Jd?- -V r*rfe»
KQUA-nONS DIPFéltENTIELLE3 A DBLX VARI
el, en portant cette valeur de P dans (j3), puis rapport à t/O, on obtient
d'où, en intégrant cl désignant par e, tu seco arbitraire.
On est de la sorte ramené aux quadratures. Voici deux exemples :
1» Soit
l'ôquotion (o3) devient alors, si l'on désigne I par — a,
f r—a dr
Mais l'expression sous le signe / peut s'écriri
Od a donc pour l'équation de la courbe chère
Cette ligne est une sorte de spirale.
2» Soit
et l'éqi
c'est 11 Daai
l'iolégi devîen
Sous Cl latère.
propori
desx).
L'éqi
oùKe!
courbe
Cette
EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES i
pas X. On peut donc la ramener ai A cet elTet, on pose
et, après la substitation de ces y.
équation
pdp d
qui est du premier ordre.
Les variables étant séparées, on in l'on a, en désignant par c une const
On a ensuite
JWr
a étant la seconde constante arbili radical {37} avec le signe + ; le sig résultat.
Le second membre de la relation binôme ; d'après le n" 3(>, on peut l'i nombre entier d'ailleurs pair ou inr les cas qui correspondent & K =^ ±
lo Soit K = — 1. L'intégrale (59]
372 CHAPITRE Xll
OU
{x — ay -+-!/- = c^ ;
elle représente un cercle de rayon arbitraire et dont le centre est sur l'axe Ox,
2' Soit K = 1. L'intégrale (59) devient
, ^ = a -h c log •'- ^
On peut lui donner une autre forme. Pour cela, on lire de l'équation précédente
y+y/y'-cy ^^.
puis, en renversant,
et enfin» en ajoutant membre à membre, on obtient
c'est Téquation d'une chaînette. On démontre, en Alécanique, que celte courbe est celle que prend un fil pesant, homogène, et suspendu à ses extrémités. Galilée, qui Ta considérée le premier, Tavaii d'abord confondue avec un arc de parabole qui effectivement a une allure analogue. 3^ Soit K = — 2. L'équation (58) devient
dx
ou, en remplaçant la constante c par 2 6,
dx = y dUf u = arc cos ( i — ? ),
EQUATIONS DlFPKRENTtELLF.S A DEUX VARIABLES
on déduit de là
cos « = t — ? ,
d*où
1/ ^ 6 (1 — cos w);
on a ensuite
dx^b (\ — cos w) du
d'où, en iati'grant,
X T=b(u — sin li)
Les équations (60) et (61) dtilinissent (n" 286) une ayant l'axe des x pour base et b pour rayon dt gént^raleur.
4° Soil K = 2, La formule (j9) devient ici
^S=. = 2Vc(y-c).
d'où
c'est l'équation à' une parabole dont la directrice est l'ai
Kquations où flgiirc rnrc <le courbe s
■150. Certains problèmes conduisent à une ôquati laquelle lîgure l'arc s de la courbe en question. ^ marche à suivre pour passer de cette forme dV'quat forme ordinaire en cooi'données rectilignes.
On différentiera l'équation donnée; puis, on rempli par /o^.t* + dij^, et enfin on éliminera s entre l'équatii
CHAPITBK Xll
Dt la proposée. Oa aura de la sorte ane éqiutîoD
ïlle entre x et ^ seulement.
e cas particulier où l'équalion donnée peut être
ar rapport h s, il n'y aura pas d'élimination à faire
[iUérentiation.
ueiques applications :
s ^ X C06 * -h y sin a; itiation donne
ds ^ cos «. dx -+■ sin «. dt/
re
^/do^ + dy* :
a rfic 4- sin a rfy,
. dy cos a -J- sin a -j-
ds ou \/dx' 4- dif
ation difléreutielle de la cycloïde (n" 449, 3o).
ÉQUATIONS DIFKiRKNTIBLLBS A DEUX VAHIAB
3^ Considérons encore l'équation
oup désigne^.
Oq a, par ditréreatiatloa,
rfs = V^l + p* dx = o' Qi) dp, d'où l'on lire
et par suite
pdx ou dy ^= ^^ l dp.
Un déduit de U
C et C étant deux constantes arbitraires. En éliml les deux dernières relations, on obtiendra l'éqi lely.
Si l'on peut résoudre par rapport à p l'une dci tiens (62) et (63), cette relation suffira et il sei lairc iotervenir l'autre. En eiïet, supposons qu résoudre (62) par rapport à p, on aura
p ou ^ = F(^) d'où l'on déduira
¥[x)dx
:0 CHAPITRE Xtl
pour l'équalion ea x el y de la courbe coosidérée. De même, si Ton sait résoudre 63) par rapport à p, ou aura
P ou g = fij,)
d'où Ton déduira
pour l'équation cherchée.
Comme exemple, prenons
s = a arc Ig 'p .
Ici réquation (G3) donne
On en déduit
dx
et enQn, en intégrant,
C est un cercle de rayon donné a, et de centre arbitraire.
Courbe de poursuite
451 • Considérons un mobile décrivant d'un mouvemaflt uniforme une ligne donnée C. On nomme Courbe de poursuite la courbe c que décrit d'un mouvement uniforme un second mobile se dirigeant sans cesse vers le premier.
Soient M(X, Y) et m{j:, y) des positions contemporai du premier et du second mobiles et
