Le cas particulier le plus intéressant est celui où

;-4 CHAfITRB XU

J^-n* C e-l une îL-ne dro.te. La courbe de poursuite corresf :-idàii'e r re-'-lt aIofs le nom de courbe du cAiVnqui cherdie à r-joîûlre son maître.

Le cLlrD part de Torî-'ine O des coordonnées tandis que le VL±Azt part au itr-me insUnt d'un point A (oA = a) de Taie de» X et d«kr t la parallèle menée par A à l'axe des y.

\jA équations *>4) et ^ô5) sont alors

on obtient, par ditTérentiation,

c/x "" "' dx~ '^'^ ^> d.c^ '

puis, en portant ces valeurs dans (66), on trouve réquation diilérentielle du second ordre

Elle est de celles où y n'entre pas (n° 439). On pourra donc la ramener au premier ordre.

A cet effet, on pose

di-p'

d'y «?P dx* dx '

ce qui permet de mettre l'équation (67) sous la forme

.jg..., dx

Les variables étant séparées, on a, en intégrant,

log (p -4- V^i H- jî2) = — - log (a — j:) -h log Cj

OU

p -+• v/rTp"' = C, (a — i') '»

Cl étant uue constante arbitraire. En résolvant par rapport à Pj on a

puis, en intégrant,

•si n diffère de 1 , et

si n est égal à 1 .

Lignes géodésiques

453. Nous avons vu au n« S2S du tome I que Téquation <lifférentielle des lignes géodésiques est une équation du second ordre qu'on ne sait intégrer que rarement.

Nous avons en outre donné au n« 533 du même tome Téquation différentielle des lignes géodésiques des surfaces de révolution, et nous avons annoncé que cette équation

où r' désigne la dérivée de r par rapport à w, avait pour intégrale générale

/a du

« et i désignant deux constantes arbitraires.

C'est ici le lieu de montrer comment on trouve celle

intégrale.

On pose

du /y'

d'où

dy^ du

2yV^3/

et, en portant ces valeurs dans (60), on obtient réquation linéaire du premier ordre

du r ^

que Ton intègre par le procédé connu (n® 377). On a ainsi

puis, la relation (71) donne la formule (70).

454. Comme second exemple, nous allons chercher les lignes géodésiques de rhèlicoide à plan directeur. Nous partirons de l'équation différentielle

dx

dy

dz

qui exprime qu'en tout point de la ligne géodésique le plan osculateur est normal à la surface. On a d'ailleurs, pour Thélicoïde,

iZj = r CCS 0, 2/ = î' sin 6, ' z = flO

d'où ron déduit

a sîn 0 a cos 0

ainsi que les valeurs des différentielles dx, dy, dz d-x^ d^y, d^z calculées (n<> 104, tomel) dans Thypothèse où e estla variable indépendante.

La substitution de ces expressions dans le déterminant (72) donne^ par un calcul un peu long mais facile, Téquation différentielle du second ordre

qui ne contient pas 0.

On ramènerait cette équation à une équation linéaire du premier ordre en posant

'Jr. = Jl .

mais il est plus simple de poser

7' == a tg V. (75)

L'équation (74) devient alors

-yr^ = Sin V COS V

06* ou

On en déduit par deux intégrations successives

G et C étant deux constantes arbitraires.

En revenant à l'ancienne variable r d'après la relation ("ô>, on a déGnitivement

c'est une intégrale elliptique.

La question se prête à une discussion intéressante, pour laquelle nous renvoyons le lecteur au Mémoire de M. Catalan sur les surfaces réglées à plan directeur [Journal de tEcok Polytechnique 1843).

ÉQUATIONS LINÉAIBES D'ORDRE Q

455. On nomme Equations linéaires d'oràr. différentielles dans lesquelles la fonclion in( dérivt^es jusqu'à l'ordre n incluBiveroent n'enti mier degré et ne se multiplient pas entre elles

Leur forme générale est

P,, P,,... P„ Q étant des fonctions données la variable indépendante x.

Ces équations jouissent de propriétés reii l'ensemble constitue un des chapitres les plus Calcul intégral. Mais ce n'est pas uniquement . Analytique que cette théorie offre une grani elle intervient en outre fréquemment dans i physiques. Considérons en effet une équatic quelconque

et supposons que cette équation soit l'exprès: de la Loi d'un phénomène naturel. Il arri\ vent, d'après la nature de ce phénomène, que t sont astreints à rester très petites. En néglige

S84 CHAPITRE Xlll

produils et leurs puissances supérieures, on est conduit à ane équation linéaire, et Ton peut prévoir par ce simple aperçu le rôle important des équations de ce genre.

Nous distinguerons deux cas suivant que Téquation linéaire proposée renferme un second membre ou en est dépourvue. Dans la suite de celle étude nous désignerons par (A) l'équation complète et par (B; Téquation

privée de second membre.

Nous emploierons d'ailleurs souvent la notation y^^^, au lien

de ^^, pour représenter la A**"' dérivée de y par rapport à j.

Enfin, si y,, //j,... t/k désignent des solutions de l'équation (B), nous dirons que ces solutions sont distinctes lorsque Je déterminant

Aa =

yi y^ Vk

formé avec ces k fonctions et leurs A' — 1 premières dérivées ne sera pas idenliquement nul.

Forme de Tlntégrale générale de Féquation (B)

456« Théorème I. — Si yi, yg,... yu sont des solutions de Vèquation (B), et si C,, Cj,.., C;^ désignent des constantes quelconques, V expression

y = Cl ?/, -H C^ î/j -h ... ^- Cuyk (0

est aussi une intégrale de (B).

La démonstration n'offre aucune difficulté : il suffit de substituer dans (B) l'expression (1) et ses n dérivées successives.

586 CHAPITRE XllI

de changer y en y -+- p- pour réduire à zéro le second membre.

Nous n'avons donc à considérer que l'équation (B) dans laquelle les coefGcients sont supposés constants.

Nous nommerons équation caractéristique relative à l'équation diiïérentielle (B) Téquation algébrique

f{r) = r» -h P, f— * -+- ... + P„- tr -+- P„ = 0, (4)

que Ton déduit de (B) en y remplaçant les dérivées y "^ yC" -0,... r/ par les puissances r", r*»-*,... r.

4«SO« Théorème TU. — Si Von désigne par r^^ r,,«.. r. Ui racines supposées distinctes de Véquation caractéristique '^) lintégrale générale de (B) sera

où C,, Cj,.., Cn sont des constantes arbitraires. En effet, si I od pose y = e'^ et que Fou substitue dans l'équation (B), on tombe surTéquation caractéristique (4;. Donc e^i^, e^iP^^,..t'^ sont n solutions particulières distinctes de l'équation (B) et par suite, en vertu du théorème II, l'expression (5) est l'intégrale générale de (B).

On peut d'ailleurs déterminer les constantes arbitraires^ Cj, Cj,... Cn de façon que, pour une valeur particulière quelconque x^ de Xy la fonction y et ses n — 1 dérivées prennent des valeurs données quelconques u^^ w,,... 1/^-1-

A cet effet, on substituera aux inconnues C^ C^,... C»le& suivantes -7,, y,,... ^n liées aux premières par les relations

L'expression (S) prendra alors la forme

5hS chapitre Xlll

d'où l'oD déduit en différentiani successivement par rapporter,

-</.r' •*"*^» rf/--* "^- ^ ,^^^^

Si Tj est une racine simple, le second membre de (S s*évanouit pour r = r^i donc aussi le premier membre, et e^i' est une solution de ^B) ; ce qu'on savait déjà.

Si r, est une raison double, r, annule à la fois /"(r) et /' (r , c'est-à-dire les seconds membres de (8) et de (9) ; donc aussi les premiers, et e^'i^ et xe^i^ sont deux solutions de (B).

Si r^ est racine triple, r^ annule à la fois /"(r), /^(r), /'/), c'est-à-dire les seconds membres de (8), (9), (10), et par conséquent aussi les premiers membres; donc

sont des solutions de P.).

En général, si /'j est une racine multiple d'ordre A:, l'équation ^B admet les k solutions particulières relatives à celte racine

et par conséquent la solution

C, e»-!-^ -^ C 0 e''^"" -^ Cj j^ e'i^ -4- ... -I- c; a;* - * e**»^ ou

qui contient A* constantes arbitraires. En lui ajoutant la partie

CHAPITKB HkU

multiplicité é^l à u, e!Ies iatroduiront dans la formide (i)

termes

COS 'Ir -r- 7) -r \ X C03 (âx -r- 7.) -t- .-